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1、- 1 - 初二数学(上)应知应会的知识点初二数学(上)应知应会的知识点 因式分解 1. 因式分解:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解;注 意:因式分解与乘法是相反的两个转化. 2因式分解的方法:常用“提取公因式法” 、 “公式法” 、 “分组分解法” 、 “十字相乘法”. 3公因式的确定:系数的最大公约数相同因式的最低次幂. 注意公式:a+b=b+a; a-b=-(b-a); (a-b)2=(b-a)2; (a-b)3=-(b-a)3. 4因式分解的公式: (1)平方差公式: a2-b2=(a+ b) (a- b) ; (2)完全平方公式: a2+2ab+b2=(a
2、+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2. 5因式分解的注意事项: (1)选择因式分解方法的一般次序是:一 提取、二 公式、三 分组、四 十字; (2)使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性; (3)因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止; (4)因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正; (5)因式分解的最后结果要求加以整理; (6)因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式. 6因式分解的解题技巧:(1)换位整理,加括号或去括号整理;(2)提负号;(3) 全变号;(4)换元;(5)配方;(6)把相同的式子看作整体;(7)灵活分组;(8) 提取分数系数
3、;(9)展开部分括号或全部括号;(10)拆项或补项. 7完全平方式:能化为(m+n)2 的多项式叫完全平方式;对于二次三项式x2+px+q, 有“ x2+px+q 是完全平方式 q 2 p 2 ”. 分式 1分式:一般地,用A、B 表示两个整式,AB 就可以表示为B A 的形式,如果B 中 含有字母,式子B A 叫做分式. 2有理式:整式与分式统称有理式;即 分式 整式 有理式 . 3 对于分式的两个重要判断 : (1) 若分式的分母为零, 则分式无意义, 反之有意义 ; (2) 若分式的分子为零,而分母不为零,则分式的值为零;注意:若分式的分子为零,而分 母也为零,则分式无意义. 4分式的基
4、本性质与应用: (1)若分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式,分式的值不变; (2)注意:在分式中,分子、分母、分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值 - 2 - 不变; 即 分母 分子 分母 分子 分母 分子 分母 分子 (3)繁分式化简时,采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法,比较简单. 5分式的约分:把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分;注意:分 式约分前经常需要先因式分解. 6最简分式:一个分式的分子与分母没有公因式,这个分式叫做最简分式;注意:分 式计算的最后结果要求化为最简分式. 7分式的乘除法法则: , bd ac d c b a bc ad
5、c d b a d c b a . 8分式的乘方: 为正整数)(n. b a b a n n n . 9负整指数计算法则: (1)公式: a0=1(a0), a-n= n a 1 (a0); (2)正整指数的运算法则都可用于负整指数计算; (3)公式: nn a b b a , n m m n a b b a ; (4)公式: (-1)-2=1, (-1)-3=-1. 10分式的通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相 等的同分母的分式,叫做分式的通分;注意:分式的通分前要先确定最简公分母. 11最简公分母的确定:系数的最小公倍数相同因式的最高次幂. 12同分母与异分
6、母的分式加减法法则: ; c ba c b c a bd bcad bd bc bd ad d c b a . 13含有字母系数的一元一次方程:在方程ax+b=0(a0)中,x 是未知数,a 和b 是用字母 表示的已知数,对x 来说,字母a 是x 的系数,叫做字母系数,字母b 是常数项,我们 称它为含有字母系数的一元一次方程.注意 : 在字母方程中,一般用a、 b、 c 等表示已知数, 用x、y、z 等表示未知数. 14公式变形:把一个公式从一种形式变换成另一种形式,叫做公式变形;注意:公式 变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意 : 字母方程两边同时乘以含字母的代 数式时,一般需要先
7、确认这个代数式的值不为0. 15分式方程:分母里含有未知数的方程叫做分式方程;注意:以前学过的,分母里不 含未知数的方程是整式方程. 16分式方程的增根:在解分式方程时,为了去分母,方程的两边同乘以了含有未知数 - 3 - 的代数式,所以可能产生增根,故分式方程必须验增根;注意:在解方程时,方程的两 边一般不要同时除以含未知数的代数式,因为可能丢根. 17分式方程验增根的方法:把分式方程求出的根代入最简公分母(或分式方程的每个 分母) ,若值为零,求出的根是增根,这时原方程无解;若值不为零,求出的根是原方 程的解;注意:由此可判断,使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根. 18分式方程的
8、应用:列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样,但需要 增加“验增根”的程序. 数的开方 1平方根的定义:若x2=a,那么x 叫a 的平方根, (即a 的平方根是x) ;注意:(1)a 叫x 的平方数, (2)已知x 求a 叫乘方,已知a 求x 叫开方,乘方与开方互为逆运算. 2平方根的性质: (1)正数的平方根是一对相反数; (2)0 的平方根还是0; (3)负数没有平方根. 3平方根的表示方法:a 的平方根表示为 a 和 a .注意: a 可以看作是一个数,也 可以认为是一个数开二次方的运算. 4算术平方根:正数a 的正的平方根叫a 的算术平方根,表示为 a .注意:0 的算术平
9、方根还是0. 5三个重要非负数: a20 ,|a|0 , a 0 .注意:非负数之和为0,说明它们都是0. 6两个重要公式: (1) aa 2 ; (a0) (2) )0a (a )0a (a aa2 . 7立方根的定义:若x3=a,那么x 叫a 的立方根, (即a 的立方根是x).注意:(1)a 叫x 的立方数;(2)a 的立方根表示为 3 a ;即把a 开三次方. 8立方根的性质: (1)正数的立方根是一个正数; (2)0 的立方根还是0; (3)负数的立方根是一个负数. - 4 - 9立方根的特性: 33 aa . 10无理数:无限不循环小数叫做无理数.注意:和开方开不尽的数是无理数.
10、11实数:有理数和无理数统称实数. 12实数的分类:(1) 无限不循环小数 负无理数 正无理数 无理数 数有限小数与无限循环小 负有理数 正有理数 有理数 实数 0 (2) 负实数 正实数 实数 0 . 13数轴的性质:数轴上的点与实数一一对应. 14无理数的近似值:实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求,则结果应该 用无理数表示;如果题目有近似要求,则结果应该用无理数的近似值表示.注意:(1) 近似计算时,中间过程要多保留一位;(2)要求记忆: 414 . 1 2 732 . 1 3 236 . 2 5 . 三角形三角形 几何A 级概念:(要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明) 1
11、三角形的角平分线定义: 三角形的一个角的平分线与这个角的对 边相交,这个角的顶点和交点之间的线 段叫做三角形的角平分线.(如图) A BCD 几何表达式举例: (1) AD 平分BAC BAD=CAD (2) BAD=CAD AD 是角平分线 2三角形的中线定义: 在三角形中,连结一个顶点和它的对边 的中点的线段叫做三角形的中线.(如 图) A B CD 几何表达式举例: (1) AD 是三角形的中线 BD = CD (2) BD = CD AD 是三角形的中线 3三角形的高线定义: 从三角形的一个顶点向它的对边画垂 线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的 几何表达式举例: (1) AD 是ABC
12、 的高 ADB=90 - 5 - 高线. (如图) A BCD (2) ADB=90 AD 是ABC 的高 4三角形的三边关系定理: 三角形的两边之和大于第三边,三角形 的两边之差小于第三边.(如图) A BC 几何表达式举例: (1) AB+BCAC (2) AB-BCAC 5等腰三角形的定义: 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. (如图) A BC 几何表达式举例: (1) ABC 是等腰三角形 AB = AC (2) AB = AC ABC 是等腰三角形 6等边三角形的定义: 有三条边相等的三角形叫做等边三角形. (如图) A B C 几何表达式举例: (1)ABC 是等边三角形 AB
13、=BC=AC (2) AB=BC=AC ABC 是等边三角形 7三角形的内角和定理及推论: (1)三角形的内角和180;(如图) (2)直角三角形的两个锐角互余;(如图) (3)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和; (如图) (4) 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (1) (2) (3) (4) 几何表达式举例: (1) A+B+C=180 (2) C=90 A+B=90 (3) ACD=A+B (4) ACD A 8直角三角形的定义: 有一个角是直角的三角形叫直角三 角形.(如图) A BC 几何表达式举例: (1) C=90 ABC 是直角三角形 (2) ABC
14、是直角三角形 C=90 D A BC A BC A BC - 6 - 9等腰直角三角形的定义: 两条直角边相等的直角三角形叫等 腰直角三角形.(如图) A B C 几何表达式举例: (1) C=90 CA=CB ABC 是等腰直角三角形 (2) ABC 是等腰直角三角 形 C=90 CA=CB 10全等三角形的性质: (1)全等三角形的对应边相等;(如图) (2)全等三角形的对应角相等.(如图) 几何表达式举例: (1) ABCEFG AB = EF (2) ABCEFG A=E 11全等三角形的判定: “SAS” “ASA” “AAS” “SSS” “HL”. (如图) (1) (2) (3
15、) 几何表达式举例: (1) AB = EF B=F 又 BC = FG ABCEFG (2) (3)在RtABC 和RtEFG 中 AB=EF 又 AC = EG RtABCRtEFG 12角平分线的性质定理及逆定理: (1)在角平分线上的点到角的两边 距离相等;(如图) (2)到角的两边距离相等的点在角 平分线上.(如图) A O B C D E 几何表达式举例: (1)OC 平分AOB 又CDOA CEOB CD = CE (2) CDOA CEOB 又CD = CE OC 是角平分线 13线段垂直平分线的定义: 垂直于一条线段且平分这条线段的 几何表达式举例: (1) EF 垂直平分A
16、B A BCG E F A BCG E F A B C E F G - 7 - 直线,叫做这条线段的垂直平分线. (如图) A B E F O EFAB OA=OB (2) EFAB OA=OB EF 是AB 的垂直平分线 14线段垂直平分线的性质定理及逆 定理: (1)线段垂直平分线上的点和这条 线段的两个端点的距离相等;(如 图) (2)和一条线段的两个端点的距离 相等的点,在这条线段的垂直平分线 上.(如图) AB C M N P 几何表达式举例: (1) MN 是线段AB 的垂直平 分线 PA = PB (2) PA = PB 点P在线段AB的垂直平分线 上 15等腰三角形的性质定理及推论: