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1、 不定积分求解方法及技巧小汇总摘要:总结不定积分基本定义,性质和公式,求不定积分的几种基本方法和技巧,列举个别典型例子,运用技巧解题。一 不定积分的概念与性质定义1 如果F(x)是区间I上的可导函数,并且对任意的xI,有F(x)=f(x)dx则称F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数。定理1(原函数存在定理)如果函数f(x)在区间I上连续,那么f(x)在区间I上一定有原函数,即存在可导函数F(x),使得F(x)=f(x)(xI)简单的说就是,连续函数一定有原函数定理2 设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则(1) F(x)+C也是f(x)在区间I上的原函数,其中C是任意函数;(2)
2、f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。定义2 设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,那么f(x)的全体原函数F(x)+C称为f(x)在区间I上的不定积分,记为f(x)d(x),即f(x)d(x)=F(x)+C其中记号称为积分号,f(x)称为被积函数,f(x)d(x)称为被积表达式,x称为积分变量,C称为积分常数。性质1 设函数f(x)和g(x)存在原函数,则f(x)g(x)dx=f(x)dxg(x)dx.性质2 设函数f(x)存在原函数,k为非零常数,则kf(x)dx=kf(x)dx.二 换元积分法的定理如果不定积分g(x)dx不容易直接求出,但被积函数可分解为g(x)=f(
3、x) (x).做变量代换u=(x),并注意到(x)dx=d(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分,于是有g(x)dx=f(x) (x)dx=f(u)du.如果f(u)du可以积出,则不定积分g(x)dx的计算问题就解决了,这就是第一类换元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。定理1 设F(u)是f(u)的一个原函数,u=(x)可导,则有换元公式f(x) (x)dx=f(u)du=F(u)+C=F(x)+C.第一类换元法是通过变量代换u=(x),将积分f(x) (x)dx化为f(u)du.但有些积分需要用到形如x=(t)的变量代换,将积分f(x)dx化为f(t) (t
4、).在求出后一积分之后,再以x=(t)的反函数t=(X)带回去,这就是第二类换元法。即 f(x)dx=f(t) (t)dt.为了保证上式成立,除被积函数应存在原函数之外,还应有原函数t=(x)存在的条件,给出下面的定理。定理2 设x=(t)是单调,可导的函数,并且(t)0.又设f(t) (t)具有原函数F(t),则f(x)dx=f(t) (t)dt=F(t)+C=F(x)+C 其中(x)是x=(t)的反函数。三 常用积分公式1 基本积分公式(1)kdx=kx+C(k是常数); (2)xdx=+C(u-1);(3)=ln+C; (4)=arctanx+C; (5) =arcsinx+C; (6)
5、 cosxdx=sinx+C; (7) sinxdx=-cosx+C ; (8) =secxdx=tanx+C; (9) =cscxdx=-cotx+C; (10) secxtanxdx=secx+C; (11) cscxcotxdx=-cscx+C; (12) edx= e+C; (13) adx= e+C; (14) shxdx=chx+C; (15) chxdx=shx+C. (16) tanxdx=-ln+C; (17) cotxdx=ln+C; (18) secxdx=ln+C; (19)cscxdx=ln+C; (20) =+C; (21) =arcsin+C; (22) =ln(
6、x+C; (23) =ln+C.2.凑微分基本类型四 解不定积分的基本方法四求不定积分的方法及技巧小汇总1. 利用基本公式。(这就不多说了)2. 第一类换元法。(凑微分)设f()具有原函数F()。则其中可微。用凑微分法求解不定积分时,首先要认真观察被积函数,寻找导数项内容,同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时,不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试,或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2:例1:【解】例2:【解】3. 第二类换元法:设是单调、可导的函数,并且具有原函数,则有换元公式第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种:4. 分部积
7、分法.公式:分部积分法采用迂回的技巧,规避难点,挑容易积分的部分先做,最终完成不定积分。具体选取时,通常基于以下两点考虑:(1) 降低多项式部分的系数(2) 简化被积函数的类型举两个例子吧!例3:【解】观察被积函数,选取变换,则例4:【解】上面的例3,降低了多项式系数;例4,简化了被积函数的类型。有时,分部积分会产生循环,最终也可求得不定积分。在中,的选取有下面简单的规律:将以上规律化成一个图就是:(axarcsinx)(lnxPm(x)sinx)但是,当时,是无法求解的。对于(3)情况,有两个通用公式:5. 几种特殊类型函数的积分。(1) 有理函数的积分有理函数先化为多项式和真分式之和,再把
8、分解为若干个部分分式之和。(对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现时,记得用递推公式:)例5:【解】故不定积分求得。(2)三角函数有理式的积分万能公式:的积分,但由于计算较烦,应尽量避免。对于只含有tanx(或cotx)的分式,必化成。再用待定系数 来做。(3) 简单无理函数的积分一般用第二类换元法中的那些变换形式。像一些简单的,应灵活运用。如:同时出现时,可令;同时出现时,可令;同时出现时,可令x=sint;同时出现时,可令x=cost等等。学习完不定积分,觉得这部分内容对我们思维的灵活性要求很大,应该加大习题量,达到见多识广的效果,做完习题注意总结,以及类似题目的整理。熟记三角函数公式,不定积分基本公式,掌握各种求积分的方法。7