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1、第四章 网络的代数方程,线性时不变电路的分析方法的基本思想：,主要内容：,选变量、列方程、联立求解。,节点分析法（改进节点法等）、回路分析法、割集法 稀疏列表法、混合分析法、约束网络法、端口分析法,第一章介绍了结构约束（KCL，KVL）； 还需要元件约束,41 概述,网络方程的分类：,（2）微分代数方程,（1） 代数方程,线性或非线性电阻电路的方程,线性动态电路的变换域方程,线性或非线性动态电路的时域方程,网络解变量的选取,（2）计算机辅助计算,（1）手工计算,方程数目少：,节点电压、树支电压 网孔电流、回路电流 状态变量,通用性,节点电压附加电流 节点电压支路电压支路电流,独立变量,完备,且
2、方程适合计算机建立,42 支路方程的矩阵形式,两类约束： 基尔霍夫定律的矩阵形式 支路方程的矩阵形式,选取支路的主要方式 ：,（1）复合支路（一般支路或标准支路）,（2）元件级支路, 4-2 支路VAR的矩阵形式,此时，U、I 均为bx1列向量。Z、Y均为b x b对称矩阵。若无耦合电感则为对角阵，分别称为支路阻抗和支路导纳阵。,1、不含受控源（复合支路）,写成矩阵：,由上式解出 ,有,写成矩阵：,规定：阻抗(导纳)只能是单一的电阻、电感或电容等，而不能是它们的组合,2、含受控源（复合支路）P149,受另一支路的电压或电流控制，均可转化成受该支路的元件电压或电流控制。,受另一支路的电压或电流控
3、制，均可转化成受该支路的元件电压或电流控制。,把上式写成矩阵形式：,设受控源的各控制量均为各支路的元件电压或电流（均可化为这种形式）则：,无互感对角，有互感对称,元件上的电压和电流关系为,代入上式得：,由上式得：,控制系数有“”、“”之分。支路方向与标准支路相同者为+号，相反为-号，没有为0。,称为流控型支路方程 为支路阻抗矩阵,称为压控型支路方程 为支路导纳矩阵,由 得：,由 得：,3、复合（典型、标准）支路与本科的区别：,例 电路如图 所示，图中元件的下标代表支路的编号，取支路2、4、5为树支。在下列两种情况下写出关联矩阵、基本回路矩阵、基本割集矩阵、支路阻抗矩阵、支路导纳矩阵、支路电压源
4、列向量和支路电流源列向量（1） （2）,解 电路的有向图如图所示，实线为树支，虚线为连支,基本回路矩阵为,基本割集矩阵为,则关联矩阵为,支路电压源列向量为,支路电流源列向量为,（1）,支路导纳矩阵为,支路阻抗矩阵为,(2),支路阻抗矩阵为,支路4和5的VAR为,支路导纳矩阵为,式中,若,支路导纳矩阵不存在,编号规律：存在耦合时，应将各耦合电感的支路连续编号,（全耦合）,例 电路及其有向图分别如图所示，试写出该电路的支路电压源列向量Us、支路电流源列向量Is、支路阻抗矩阵Zb和支路导纳矩阵Yb。 P150,电路中没有独立电压源，故支路电压源列向量,支路电流源列向量为,解,元件阻抗矩阵Ze和元件导
5、纳矩阵Ye分别为,受控源的控制系数矩阵分别为,所求支路阻抗矩阵和支路导纳矩阵分别为,受控源变受控电流源，控制量再用元件电压表示,受控源变受控电压源，控制量再用元件电流表示,4、非线性电阻电路的复合（典型、标准）支路（p151）请自己看。,43 电路代数方程的矩阵形式（复习本科知识 ）,一、线性电路代数方程的矩阵形式,1、节点电压方程的矩阵形式,节点导纳矩阵,定义,节点电流源列向量,节点电压方程的矩阵形式,例 在图电路中 。试写出该电路对应的运算电路的节点电压方程的矩阵形式。图 中,(a),(b),解 作出电路的有向图和运算电路分别如图( b )和( c )所示。关联矩阵为 由图( c )可得支
6、路 电压源列向量为,(c),支路电流源列向量为 支路导纳矩阵为 把以上各矩阵代入 即得运算形式的 节点电压方程的矩阵形式,2、回路电流方程的矩阵形式,定义,回路电压源列向量,回路阻抗矩阵,回路电流方程的矩阵形式,例2 电路及其有向图(实线代表树支)如图所示。用相量形式写出回路电流方程的矩阵形式。 解 相应的基本回路矩阵为,支路阻抗矩阵为 支路电压源列向量 支路电源源列向量 把上述各矩阵代入,得 本例所选基本回路正好对应网孔，因此，回路电流方程即为网孔电流方程。,3、割集电压方程的矩阵形式,定义,割集电流源列向量,割集导纳矩阵,割集电压方程的矩阵形式,例 电路及其有向图(实线代表树支)如图3所示
7、。试写出该电路割集电压方程的矩阵形式。 解 基本割集矩阵为,支路电压源列向量 支路电流源列向量 支路导纳矩阵为 将以上各矩阵代入割集电压方程的矩阵形式 得,二、非线性电路代数方程的矩阵形式P155,4-4 混合分析法,顾名思义，就是类似于混合参数的形式列出方程，待求量或未知量均既有电压又有电流。,1 .目的：让受控源和独立源都以其最自然的形式出现。,VCCS，VCVS ，CCCS ，CCVS ，理想电压源或理想电流源（无伴电压、电流源）均可。,2 .取支路的方法：独立源可以与Ze，Ye组合，而受控源单独作为一条支路,单列一条支路,3 .建立混合分析法矩阵方程,1）：以树支电压Ute，连支电流I
8、le为独立变量,对除去独立源的网络列H参矩阵,很方便地处理各种受控源和无伴独立源,4）把2)，3)代入1)中整理得：,这就是混合分析法的矩阵方程。由该式解出的是树支的元件电压和连支的元件电流。,或写成P157的形式,4 .选树原则,树支：控制电压支路，无伴（理想）电流源，受控电流源支路，,连支：控制电流支路，无伴（理想）电压源，受控电压源支路，,电阻、电感和电容既可以是树支也可以是连支。,该方法要求这种树存在。,控制电压支路：VCCS，VCVS 控制电流支路：CCCS，CCVS 受控电流支路：VCCS，CCCS 受控电压支路：VCVS，CCVS,VCCS，控制支路选树支，受控支路树支；,CCC
9、S，控制支路选连支，受控支路树支：,VCVS，控制支路选树支，受控支路连支：,CCVS,控制支路选连支,受控支路连支：,树支：控制电压支路，无伴（理想）电流源，受控电流源支路，,连支：控制电流支路，无伴（理想）电压源，受控电压源支路，,或,采用1，1式：CCVS；采用2，2式：VCCS 连 连 树 树,采用1式：VCVS；采用2式：CCCS 树 连 连 树,效果相同,开路线：是控制电压量树支 短路线：是控制电流量连支,总结以上规则： VCCS 的控制支路和受控支路均应选作树支 CCCS 的控制支路应为连支,受控支路为树支 VCVS 的控制支路应为树支,受控支路为连支 CCVS的两条支路均应选作
10、连支 理想变压器和负阻抗变换器的两条支路分属连支和树支 回转器的两条支路均为连支或均为树支 电阻、电感、电容可以选作树支,也可以选作连支 开路线只能选作树支,短路线只能选作连支,混合分析法失效 ： 当网络中存在较多的多口元件时,有可能无法选出一个能同时满足上述要求的树。,5 .注意事项,3）受控源方向与复合支路一致（与支路方向相同）为正，反为负，无为零,1）Is、Us与复合支路一致（与支路方向相反）为正，反为负，无为零；,2）Is、Us的顺序与Qf，Bf支路的列写顺序一致；,树支：控制电压支路，无伴（理想）电流源，受控电流源支路，,连支：控制电流支路，无伴（理想）电压源，受控电压源支路，,例4
11、-1 列出图示电路的混合分析法矩阵方程,解（1）图、选树；,P157,(2）建立除去独立源的H参阵,(3）写出Bf，Qf：,(4）写出Us、Is,(5）写出Bf Us ，Qf Is ：,(6）写出Ql +H12 ， Bt H21 ：,可见，各元件以其自然形式出现。 如果找不到特定树，方法失效,4-6 稀疏列表法,1 . 方法实质 KCL、KVL、VAR联立构成2b+n-1 个方程,2 . 不取复合支路做为支路,3 . 方程组,优点：对元件和支路无限制,适应性很强，而且方程易于建立，如同填写表格一样，所以叫做列表法。,缺点：方程多，规模大；但其矩阵中零元素所占比例很大， 稀疏矩阵技术的发展已使这
12、一问题得到解决。,与本科“2b表格法”相近,共2b个方程,4 支路方程M,N系数的填写举例,对电阻或电感支路,对电导或电容支路,对VCVS支路,对VCCS支路,当电路中电感间有耦合时，设为k，j支路,可见方程的建立非常的灵活方便。稀疏列表法常用于大型的电路分析软件，手工计算的不多。,5 列方程的步骤：,1，画有向图，一个元件一条支路，写A,4，支路方程的矩阵形式,例4.6-1 列出图示电路的列表法方程,9,1,2,3,4,5,稀疏表格法例题,例 在图示电阻网络中,双口电阻元件的伏安关系为,（1）,（2）,试分别列写上述两种情况下的表格方程。,P165 例462,解 将节点和连接在一起，可画出图
13、示的网络有向图。相连点选为参考点,KCL :,KVL :,(1) 支路方程,把以上诸式合成一个总的矩阵方程即为表格方程,A,1,0,M,N,(2) 支路方程为,双口网络方程,负载网络方程,电源网络方程,把KCL方程、KVL方程与以上诸式合成一个总的矩阵方程即为表格方程,4-7 节点法,一.传统节点法： 节点法是应用最广泛的一种系统化、规范化的方法。因为在计算机上找节点最容易；在工程实际中（如电力系统中,特别是对电力系统潮流计算）独立节点数往往少于独立回路数。 可以直接处理VCCS，间接处理CCCS，而对无伴电压源，较难处理。下面简单复习一下节点法。,元件方程（关系或约束）为(支路电流的矩阵方程
14、),1 .方程：,设网络的节支关联矩阵为A,设网络的所有支路均为压控型，则,由KCL A i =0,节点导纳阵,得节点电压方程,由此求得支路电压和电流,节点电流列向量,由KVL,2.含受控源（CS）的处理方法：,3. 含互感支路,含互感支路的处理方法,同名端流入：,异名端流入：,例4-1 列出图示电路的节点电压方程。,解：含互感。用方法一,选为参考节点，支路编号如图,写出关联矩阵A，Us，Is,处理互感支路求出支路阻抗阵,处理互感支路求出支路阻抗阵,求出支路阻抗阵导纳阵,Y=Z-1,或直接生成支路导纳阵,Y=Z-1,其中,例4-2 列出图示电路的节点电压方程,解：,方法二：,（1）选5节点为参
15、考点，节点支路编号、画出图,去掉简单,补零,因为 是4阶方阵,如上例题,列出图示电路的节点方程,该题前面用矩阵分块处理过， 下面用刚讲的部分节点相联 法处理。,解：,从节点处把原网络分开,网络N1,网络N2,对网路N1列节点电压方程,网络N1,网络N2,对网路N2列全节点电压方程,全节点方程:,1 .适用范围：a）：求转移函数， b）：节点方程的降阶解法（手算）。,二. 外节点方程（实际为节点电压方程的分块解法）,节点法是以电路中的全部节点（对参考节点）电压为待求量的方法。,在很多情况下，关心的只是电路部分节（例如端口的电压），则把这些节点称为外节点，其余称为内节点。在很多情况下，只要求出外节
16、点的节点电压即可。,用Ua Ub分别表示外节点和内节点的节点电压列向量。,2 .外节点方程：,节点电压方程为：YnUn=In，设外节点为a，内节点为b。,这就是外节点方程：,解：,例4-4 求图示双T选频网络的转移函数：,选参考节点如图,取和节点为外节点，、节点为内节点，令G=1/R，,（1）列出 YnUn=In,式中电压和电流均为像函数,Yaa,Yba,Yab,Ybb,Ub,Ua,Ib,Ia,三 .节点方程的降阶（类似外节点方程法）,切断支路后，a、d为N1、N2的共有节点，选为外节点。Il，Im一为流入一为流出，N1、N2只有一点相连，可以分别计算。,二式相加消去(切割支路的电流），从而达到降阶和简化计算的目的,注意事项：,（1）切割电路时，切割支路与N1，
