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1、第二章 逻辑代数基础,主讲教师：栾庆磊,本章学习内容,第2章,1. 逻辑代数的公式和定理,2. 逻辑函数的表示方法,3. 逻辑函数的化简方法（重点）,第2章 逻辑代数基础,2-2 逻辑代数中的三种基本运算,2-3 逻辑代数中的基本公式和定理,2-4 逻辑函数及其表示方法,返回,第2章,2-5、逻辑函数的化简方法,2-6、具有无关项的逻辑函数及其化简,2-1 概述,前面已讨论，利用二值数字逻辑中的1（逻辑1）和0（逻辑0）不仅可以表示二进制数，还可以表示事物的两种对立的逻辑状态。在逻辑代数中可以抽象地表示为 0 和 1 ，称为逻辑0状态和逻辑1状态。,11 概述,逻辑代数（又称布尔代数【Bool
2、ean Algebra】）,第2章,是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分析和设计数字电路的数学工具。,回顾“二值数字逻辑”,参与逻辑运算的变量称为逻辑变量，用字母A，B表示。每个变量的取值非0 即1。 0、1不表示数的大小，而是代表两种不同的逻辑状态。,逻辑变量【Boolean Variable Or Logic Variable】,返回,基本逻辑运算包括：,三种基本逻辑运算：与【AND】、或【OR】、非【NOT】,几种导出逻辑运算：与 或【AND-OR】 与 非【NAND】 与或非【AND-OR-Invert(AND-OR-I)】 异 或【Exclusive-OR(XOR)】 同 或【 E
3、xclusive-NOR(XNOR) 】,第2章,描述这些运算常见的方法有4种：, 用语句【Statement】描述； 用逻辑表达式【Logical Expression】描述 用真值表【Truth Table】描述 用逻辑符号【Logical Symbol】描述,2-2 逻辑代数中的三种基本运算,灯灭,B断开,A断开,与运算【AND Operation】,功能表,逻辑表达式：L=A B=AB,真值表,约定：开关A、B断开时为逻辑0，合上时为逻辑1；灯灭时为逻辑0，灯亮时为逻辑1。,逻辑符号,旧法：用 或表示与运算,实现与逻辑的电路称为与门,A,B,L=AB,旧符号,返回,描述：只有条件都具备
4、，结果才发生。（逻辑乘）,B闭合,与运算【AND Operation】,功能表,逻辑表达式：L=A B=AB,真值表,约定：开关A、B断开时为逻辑0，合上时为逻辑1；灯灭时为逻辑0，灯亮时为逻辑1。,逻辑符号,旧法：用 或表示与运算,实现与逻辑的电路称为与门,A,B,L=AB,旧符号,A仍断,返回,描述：只有条件都具备，结果才发生。（逻辑乘）,灯灭,B断开,与运算【AND Operation】,功能表,逻辑表达式：L=A B=AB,真值表,约定：开关A、B断开时为逻辑0，合上时为逻辑1；灯灭时为逻辑0，灯亮时为逻辑1。,逻辑符号,旧法：用 或表示与运算,实现与逻辑的电路称为与门,A,B,L=A
5、B,旧符号,A闭合,返回,描述：只有条件都具备，结果才发生。（逻辑乘）,灯灭,A闭合,与运算【AND Operation】,功能表,逻辑表达式：L=A B=AB,真值表,约定：开关A、B断开时为逻辑0，合上时为逻辑1；灯灭时为逻辑0，灯亮时为逻辑1。,逻辑符号,旧法：用 或表示与运算,实现与逻辑的电路称为与门,A,B,L=AB,旧符号,返回,描述：只有条件都具备，结果才发生。（逻辑乘）,灯亮,B闭合,或运算【OR Operation】,第2章,功能表,逻辑表达式：L=A+B,真值表,逻辑符号,实现或逻辑的电路称为或门,1,A,B,L=AB,旧符号,断开A,返回,描述：只要任一条件具备，结果就会
6、发生。（逻辑加）,断开B,或运算【OR Operation】,第2章,功能表,逻辑表达式：L=A+B,真值表,逻辑符号,实现或逻辑的电路称为或门,1,A,B,L=AB,旧符号,断开A,返回,描述：只要任一条件具备，结果就会发生。（逻辑加）,合上B,或运算【OR Operation】,第2章,功能表,逻辑表达式：L=A+B,真值表,逻辑符号,实现或逻辑的电路称为或门,1,A,B,L=AB,旧符号,合上A,返回,描述：只要任一条件具备，结果就会发生。（逻辑加）,断开B,或运算【OR Operation】,第2章,功能表,逻辑表达式：L=A+B,真值表,逻辑符号,实现或逻辑的电路称为或门,1,A,B
7、,L=AB,旧符号,合上A,返回,描述：只要任一条件具备，结果就会发生。（逻辑加）,合上B,Y,第2章,非运算【NOT Operation】,功能表,真值表,逻辑符号,实现非逻辑的电路称为非门,旧符号,描述：条件具备，结果不发生； 条件不具备，结果必发生。 （逻辑求反）,与非运算,逻辑表达式：,第2章,真值表：,符号：,4、其他一些常用的逻辑运算都可以由与、或、非组合而成。常用的如下：,旧符号：,或非运算,第2章,逻辑表达式：,真值表：,符号：,与或非运算,逻辑表达式：,第2章,符号：,异或运算,逻辑表达式：,真值表：,第2章,符号：,同或运算,逻辑表达式：,真值表：,符号：,第2章,各种逻辑
8、运算汇总表,返回,23 逻辑代数的基本公式和定理,10,1,0A=0,11,1+A=1,2,1A=A,12,0+A=A,3,AA=A,13,A+A=A,4,14,5,AB=BA,15,A+B=B+A,6,A(BC)=(AB)C,16,A+(B+C)=(A+B)+C,7,A(B+C)=AB+AC,17,A+BC=(A+B)(A+C),8,18,9,19,试证明： A+AB=A,1) 列真值表证明,2) 利用基本公式证明,A+BC,AB+C,二、推广举例,A B,0 0,0 1,1 0,1 1,A+AB,0+00=0,0+01=0,1+10=1,1+11=1,A,0,0,1,1,A+AB=A(1+
9、B)=A1=A,常用公式的证明与推广,一、证明举例,返回,2-4 逻辑函数及其表示方法,例：某一逻辑电路，对输入两路信号A、B进行比较，,一、真值表表示法,A,B,Y,0 0,0 1,1 0,1 1,0,1,1,0,真值表表示法、,逻辑函数式表示法、,逻辑图表示法、,波形图表示法、,卡诺图表示法等。,试表示其逻辑关系。,A、B相异时，输出为1；相同 时，输出0。,输 入,输出,（状态表表示法）,2-4-1,二、逻辑函数式表示法,(一） 最小项,1、二变量的全部最小项,A B,最小项,编号,0 0,0 1,1 0,1 1,A B,m0,m1,m2,m3,2、三变量的全部最小项,A B C,最小项
10、,编号,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,m0,A B C,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,3、四变量的全部最小项,编号为 m0 m15,在 n 变量逻辑函数中，若 m 是包含 n 个因子的乘项积，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在 m 中出现一次，则称m 为该组变量的最小项。,（略）,在真值表中，将为“1”的输出逻辑值所对应的输入变量的最小项相加，即得对应的函数式。,（二） 逻辑函数式表示法,Y=,+,已知：,所以：,三、 逻辑图表示法,A,B,Y,=,m1,+,m2,=, （ m1 ， m2 ）,四、 波形图表示
11、法,A,B,Y,五、卡诺图表示法,（在本章第五节中讲）,2-4-2 逻辑函数的两种标准形式,最小项之和形式 、 最大项之积形式。这里，重点介绍最小项之和形式。,一、最小项,标准形式：,（已讲过）,最小项的性质：,2）全体最小项之和为1；,3）任意两个最小项的乘积为0；,1）在输入变量的任何取值下必有一个且仅有一个最小项的值为1；,4）具有相邻性的两个最小项可以合并，并消去一对因子。,例如:,将它们合并，可消去因子:,二变量全部最小项有m0m3共4个；,三变量全部最小项有m0m7共8个；,四变量全部最小项有m0m15共16个；,只有一个因子不同的两个最小项是具有相邻性的最小项。,= BC,二、逻
12、辑函数的最小项之和形式,= AB,=（m0，m2，m3）,例2：Y=AB+C 可化为,= （m 1，m 3，m 5，m 6，m 7）,= m 3,+ m 2,+ m 0,+,Y= AB,+ m 6,+ m 7,+ m 3,+ m 5,+ m 1,= m 7,*三.最大项Mi（i取02n-1） 定义：在n变量逻辑函数中，若为n个变量之和，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在中必须且只能出现一次,则称为该组变量的最大项。 输入变量的每一组取值都使一个对应的最大项的值为 Mi的重要特性： 在输入变量的任何取值下必须有一个最大项且仅有一个最大项的值为0； 全体Mi之积为0； 任意两个Mi之和为1；
13、 只有一个变量不同的两个Mi的乘积等于各相同变量之和。,【例】 写出函数 的最大项之积的标准形式。 解:,利用公式A+BC=(A+B)(A+C),利用公式：,利用基本公式 可以把任何逻辑函数化为最大项之积 的标准形式。,也可以写成,或 或,返回,2-5 逻辑函数的化简方法,2-5-1、最简标准,一般来说，同一个逻辑函数可以写成不同的表达式。用基本逻辑门电路去实现某函数时，表达式越简单，需用门电路的个数就越少，因而也就越经济可靠。因此，实现逻辑函数之前，往往要对它进行化简，先求出其最简表达式，再根据最简表达式去实现逻辑函数。最简表达式有很多种，最常用的有最简与或表达式和最简或与表达式。不同类型的
14、逻辑函数表达式，最简的定义也不同。 函数的最简与或表达式必须满足的条件有: (1)与项个数最少。 (2)与项中变量的个数最少。 函数的最简或与表达式必须满足的条件有: (1)或项个数最少。 (2)或项中变量的个数最少。,常见的化简方法有公式法和卡诺图法两种。,2-5-2、常用的最简形式,逻辑函数式中，包含的或运算的项最少；每一项中包含与运算的因子最少，则此函数式为最简函数式,有与-或式和与非-与非式。,= AB+C,= AB+C,=,（最简与非-与非式）,将与-或式取两次非可得与非-与非式。,（最简与或式）,二输入四或门74LS32一片（四2输入或门）,只需要：二输入四与非门74LS00一片(
15、四2输入与非门),按与-或式AB+C设计此逻辑电路，,需两块芯片,二输入四与门74LS10一片（四2输入与门）,2-5-3、逻辑函数的公式化简法,常用的公式化简方法：,利用基本公式和常用公式，再配合并项法、吸收法、配项法。,公式化简法（代数法） 公式法化简逻辑函数，就是通过利用逻辑函数的基本公式，对函数进行消项、消因子等，以求得函数的最简表达式。常用方法有以下四种。 1. 并项法 利用公式 ，将两个与项合并为一个，消去其中的一个变量。,【例】 求函数 的最简与或表达式。 解:,2、 吸收法 利用公式 ，吸收多余的与项。 【例】 求函数 的最简与或表达式。 解: F=(A+AB+ABC)(A+B+C) =A(A+B+C) =AA+AB+AC =A+AB+AC =A,3. 消去法 利用公式 ，消去与项多余的因子。 【例】 求函数 的最简与 或表达式。 解:,4、 配项、消项法 利用公式 ，进行配项，以消去更多的与项。 【例】 求函数 的最简与或表达式。 解:,【例】 求函数 的最简与或表达式。 解:,图解化简法（卡诺图化简法） 1.用卡诺图化简法求函数的最简与或表达式 卡诺图：
