常微分方程1.2PPT课件

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1、1,序：什么是方程 微分方程及其应用 微分方程的基本概念 小结,主要内容,重点：理解微分方程的解等基本概念。,难点：微分方程的解（解、特解、通解）、积分曲线、方向场。,第一章 绪论,2,在初等数学中，曾经学习过代数方程，三角方程，指数方程和对数方程等等.在高等代数中又学习过高次代数方程，n元线性代数方程组.这些方程（组）有一个共同点，就是作为未知而要求的是一个或几个特定的值（称为方程的根或解）.但在高等数学中，常常需要研究的是另外一类性质上完全不同的方程.在这类方程中；作为未知而要去求的已经不是一个或几个特定的值，而是 一个函数.这类方程称为函数方程.,一、方程,第一节 微分方程的定义,3,例

2、如数学分析中的隐函数问题，就是在一定条件下，由方程 (1) 来确定隐函数，上述方程（1）是众所周知的隐函数方程，它是函数方程中最简单的一种.而隐函数是所要求的未知函数.,4,在数学分析中，不定积分问题，实际上是微分的逆运算问题，也可以用函数的概念叙述如下： 设f(x)是自变量为x的已知连续函数，试求函数y=y(x)满足下列方程：,5,方程（1）和方程（2）共同之处在于未知的都是函数，不同处在于方程（1）中只有未知函数本身，而方程（2）中却出现了未知函数的导数，这种情况不仅在研究数学时会遇到，而且在研究物理学、力学、化学、生物学、工程技术、甚至若干社会科学时也会出现，因为在研究这些实际问题时，往

3、往不能直接找到所研究的那些量之间的依赖关系，但是却能建立起它们和变化率（导数）之间的规律，于是，把包含未知函数的导数的方程叫做微分方程.,二、微分方程的定义,6,三、物体冷却过程的数学模型,问题：将某物体放置于空气中，在时刻 时，测量得它的温度为 ，10分钟后测量得温度为,问题与要求：决定此物体的温度 和时间 的关系，并计算20分钟后物体的温度.,基本假设：空气的温度保持为 .,7,分析：了解有关物体温度变化的基本规律：热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导；在一定的温度范围内（其中包括了上述问题的温度在内），一个物体的温度变化速度与这一物体和其所在介质温度的差值成比例，这就是牛顿（Newt

4、on）冷却定律.,8,假设：设物体 t 时刻的温度为 ，则温度变化速度以 来表示.注意到热量总是从温度高的 物体向温度低的物体传导的.因而 ，所以温差 恒正；又因物体将随时间而逐渐冷却，故温度变化速度 恒为负.因此由牛顿冷却规律得到 ：,其中k是比例常数，方程（1.1）就是物体冷却过程的数学模型，它含有未知函数u及它的(一阶)导数 ，这样的方程，就成为（一阶）微分方程.,9,改写（1.1）为：,变量u和t被分离出来了,对上式两边积分得到 ：,由此，令 ，有：,代入初始条件，并整理得到：,解曲线,其中 是积分常数，对上式进行变形又得到：,分析：符合实际情况，真实地反映了物理现象，即高温物体在低温

5、环境中的温度变化过程和情况.,10,四、 人口模型 英国人口统计学家马尔萨斯（Malthus）在担任牧师期间，查看了当地教堂 100 多年人 口出生统计资料，发现了这样一个现象：人口出生率是一个常数在 1798 年他发表了人 口原理一书，其中提出了闻名于世的 Malthus 人口模型,他的基本假设是:在人口自然增长的过程中，净相对增长率（单位时间内人口的净增长 数与人口总数之比）是常数，记此常数为 r （生命系数）,11,在 t 到 t + t 这段时间内人口数量 N = N (t) 的增长量为 N (t + t) N (t) = rN (t)t ， 于是 N (t) 满足微分方程,将上式改写

6、为 ，,于是变量 N 和 t 被“分离”，两边积分得 ln N = rt + 这里 为任意常数由对数的定义，上式变为 ，,(1.13),12,其中 因 N = 0亦是方程（1.13）的解因此c 可以是任意常数,如设初值条件为 时， ，,代入上式可得：,即方程（1.13）的满足初值条件的解为：,如果 r 0 ，上式说明人口总数 N (t) 将按指数规律无限增长将 t 以 1 年或 10 年为单位离散化，那么可以说，人口数是以 为公比的等比数列增加的,13,荷兰生物学家 Verhulst 引入常数 （环境最大容纳量）表示自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数，并假设净相对增长率为,即净相对增长率随

7、 N (t) 的增加而减少，当 N(t) 时，净增长率 0 ,按此假定，人口增长的方程应改为：,这就是 logistic 模型（阻滞增长模型）,14,前面介绍的实际问题，其实在自然科学和技术科学的其它领域中，例如化学、生物学、自动控制、电子技术、分支问题、混沌问题、非线性振动的复杂性等等，都提出了大量的微分方程问题.同样在社会科学的一些领域里也存在着微分方程的问题.,15,因此，微分方程是一门与实际联系比较密切的数学课程，应该注意它的实际背景与应用；而作为一门数学基础课程，又应该把重点放在应用数学方法研究微分方程本身的问题上.,16,第二节 微分方程的基本概念,定义：把包含未知函数的导数的方程

8、叫做 微分方程. 例如方程（1.1）.,1、微分方程,定义的注:联系自变量、未知函数及它的导数(或微分)的关系式,数学上称为微分方程.,2、常微分方程,定义：在所讨论的微分方程中，当未知函数是一元函数时，称为常微分方程，而未知函数是多元函数时，称为偏微分方程.,17,3、微分方程的阶,定义：微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数.,一般的n阶常微分方程为：,这里 是 的已知函数，一定含有 ； 是未知函数， 是自变量.,18,4、线性和非线性,定义：如果微分方程对未知函数和出现的各阶导数而言是一次有理整式，则此微分方程称为线性微分方程，否则称为非线性微分方程.,19,二阶，线

9、性,二阶，线性,一阶，非线性,二阶，非线性,20,5、解和隐式解,1、如果可微函数 代入方程（1.12）后，能使它变为恒等式，则称函数 为方程（1.12）的解.,2、如果由关系式 所确定的隐函数 是微分方程（1.12）的解，则称关系式 是微分方程（1.12）的积分或隐式解.,定义,21,6、通解和特解,定义：把含有 个独立的任意常数 的解,称为 阶方程（1.12）的通解.,类似地,定义n阶方程（1.12）的隐式通解。同样，不加以区分通解和隐式通解，统称为方程（1.12）的通解.,定解条件：为了确定微分方程一个特定的解，给出 这个解所必需满足的条件.常见的定解条件就是初始条件 和边界条件.,22

10、,定解问题：求微分方程满足定解条件（初始条件）的解. 初值问题(Cauchy问题)：当定解条件是初始条件时，相应的 定解问题就称为初值问题.这是本课程讨论的重点. 特解：把满足初始条件的解称为微分方程的特解.初始条件不 同对应的特解也不同，一般来说，特解可以通过初始条件的 限制，从通解中确定任意常数而得到.,初始条件：所谓n阶微分方程（1.12）的初始条件是指如下的n个条件：,当 时，,23,而微分方程的通解 代表xy平面上的一族曲线， 就称之为微分方程的积分曲线族.,满足初始条件 的特解就是通过点 的一条积分曲线.,方程（1.17）的积分曲线的每一点 上的切线斜率 刚好等于函数 在这点的值

11、.,7、积分曲线和方向场（一阶微分方程的几何意义）,积分曲线,24,方向场,设函数 的定义域为 ，在每一点 处画上一个有向小线段，其斜率等于 在该点的值，把带有这种直线段的区域 称为由方程（1.17）规定的方向场，又称向量场.,等斜线：,在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线（等倾斜线）.即：,25,图1.2,等斜线,积分曲线：图中实线,例1：讨论微分方程,等斜线是双曲线：,积分曲线的分布概况如左图.,拐点所在的曲线,26,方向场画法：适当画出若干条等斜线，再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量,这样即可画出这个方向场.,例2：画出方程 所确定的方向场示意图.,解,方程的等斜线为

12、,取(0,1)，(0,0)，(0,-1)，画出四条等斜线,再在每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的向量，如图方向场.,27,根据方向场即可大致描绘出积分曲线经过点(0,1)，(0,0)，(0,-1)的三条积分曲线如左图所示.,28,例3：考察方程,的方向场和它的积分曲线。,半直线族 中的直线上每一点的方向都和方向场的方向重合，故原方程的积分曲线是半直线族 .,除坐标原点（，）外，原方程在整个（x,y）平面上定义了一个方向场，在任意一点P(x,y)处方向场的方向由比式 确定，这与从坐标原点到P点的射线OP的方向一致,29,8、微分方程组,定义：用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方程

13、组.,Lorenz方程,Volterra两种种群竞争模型,(1.18),(1.19),30,高阶微分方程 的另一种形式（如果可能！）,如果把 都理解为未知函数，并作变换,上述高阶微分方程可以变为下列微分方程组,并可以记为向量形式,其中均为向量函数,分析：微分方程（组）的向量形式为其用线性代数知识进行研究讨论提供了方便.,31,9、驻定与非驻定、动力系统,如果方程组 的右端不含自变量 ，即,则称为驻定（自治）的，否则就称为非驻定的（非自治）的.,注：对于非驻定方程组总可以引入变换变为驻定方程组.,把满足恒同性和可加性的映射称为动力系统.动力系统分为连续和离散系统两种类型，对应有连续动力系统和离散动力系统.,注：记 为单参数 的 的映射（变换），则映射满足恒同性和可加性，即：,和,32,10、相空间、奇点和轨线,把不含自变量、仅由未知函数组成的空间称为相空间； 积分曲线在相空间中的投影称为轨线； 把驻定方程组的解称为微分方程组的平衡解（驻定解、常数解）或奇点（平衡点几何定义）.,33,本章小结,通过对实际问题的分析，引入了微分方程的一些基本概念：常微分方程和偏微分方程、微分方程的阶、线性和非线性、解和隐式解、特解和通解、积分曲线和方向场。并阐述了讨论微分方程的重要意义，指出了学习本课程的难点和重点.,作业：P27 4. 5. 6.,