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1、1,第三章 刚体的定轴转动,2,3-0 第三章教学基本要求,3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律,3-2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律,第三章 刚体的定轴转动,3,教学基本要求,一、掌握描述刚体定轴转动的角位移、角速度和角加速度等概念.,二、掌握力对固定转轴的力矩的计算方法,了解转动惯量的概 念,三、理解刚体定轴转动的动能定理和刚体服从质点组的功能转换关系.,四、理解刚体定轴转动定律.,五、理解角动量的概念, 理解刚体定轴转动的角动量守恒定律.,七、能综合应用转动定律和牛顿运动定律及质点、刚体定轴转动的运动学公式计算质点刚体系统的简单动力学问题.,六、会计算力矩的功 (只限于恒定力
2、矩的功) 、定轴转动刚体的转动动能和对轴的角动量.,八、能综合应用守恒定律求解质点刚体系统的简单动力学问题. 明确选择分析解决质点刚体系统力学问题规律时的优先考虑顺序.,4,3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律,预习要点 注意描述刚体定轴转动的运动学方法. 阅读附录1中矢量乘法. 力对转轴的力矩如何计算? 领会刚体定轴转动的动能定理的意义. 注意区分平动动能和转动动能的计算式. 注意力矩的功的计算方法. 转动惯量的定义是什么? 转动惯量与哪些因素有关? 刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何? 注意它的应用方法.,5,一、刚体及刚体定轴转动,刚体:在外力作用下,形状和大小都不发生变化的物体
3、(任意两质点间距离保持不变的特殊质点组).,刚体的运动形式:平动、转动 .,平动:刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同. 转动:刚体中所有的点都绕同一直线作圆周运动.,转动分定轴转动和非定轴转动. 转轴不动, 刚体绕转轴运动叫刚体的定轴转动;垂直于转轴的平面叫转动平面.,6,描述刚体定轴转动的物理量,角位移,角坐标,角速度,角加速度,定轴(Oz轴)条件下,由Oz轴正向俯视,逆时针转向的 取正,顺时针取负.,7,刚体的匀变速转动,(下一页),非匀变速转动时:,类似于 匀变速直线动,但是,切记!,(角加速度为恒量),8,角量与线量的关系,一刚体绕定轴转动时,其上各质点的角量都 相同;各点的线速度
4、v 与各点到转轴的距离 r 成 正比,距离越远,线速度越大;同样,距离越远 处,其切向加速度和法向加速度也越大。,总加速度:,9,求: t =6 0 s时的转速 ; 角加速随时间变化的规律; 启动后6 0 s 内转过的圈数。,解:根据题意转速随时间的变化关系, 将t =6 0 s 代入,即得:,(下一页),10, t =6 0 s 时转过的角度为,则 t =6 0 s 时电动机转过的圈数,角加速度随时间变化的规律为:,11,二、刚体定轴转动的动能定理,( :力臂),刚体绕Oz轴旋转, O为轴与转动平面的交点,力 作用在刚体上点 P , 且在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的位矢.,对
5、转轴z的力矩,力矩,12,力矩的功,力矩作功,13,转动动能,刚体内部质量为 的质量元的速度为,动能为,刚体定轴转动的总能量(转动动能),14,定义转动惯量,相当于描写转动惯性的物理量.,转动惯量,单位:kg m2(千克米2).,刚体定轴转动动能计算式:,对质量连续分布的刚体,任取质量元dm,其到轴的距离为r,则转动惯量,15,刚体定轴转动的动能定理,刚体是其内任两质点间距离不变的质点组,刚体做定轴转动时,质点间无相对位移,质点间内力不作功,外力功为其力矩的功;并且刚体无移动,动能的变化只有定轴转动动能的变化.,由质点组动能定理,16,合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量.
6、,得刚体定轴转动的动能定理,2. 刚体的定轴转动的动能应用 计算.,1. 如果刚体在运动过程中还有势能的变化,可用质点组的功能原理和机械能转换与守恒定律讨论. 总之,刚体作为特殊的质点组,它服从质点组的功能转换关系.,17,转动惯量 J,与转动惯量有关的因素: 刚体的质量 刚体的形状 转轴的位置,J称为刚体对转轴的转动惯量,与质点的质量相对应。刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上具有相似性。,三、刚体定轴转动的转动定律,18,若质量连续分布,在(SI)中,J 的单位:kgm2,质量为线分布,质量为面分布,质量为体分布,其中、 分别为质量的线密度、面密度和体密度。,刚体对某一转轴的转动惯量等于
7、每个质元的质量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。,(下一页),19,几种常见形状的刚体的转动惯量,20,21,设棒的线密度为 ,取一距离转轴 OO 为 处的质量元,求质量为m、长为l的均匀细长棒,对通过棒中心和过端点并与棒垂直的两轴的转动惯量.,如转轴过端点垂直于棒,刚体的转动惯量与刚体的质量m、刚体的质量分布和转轴的位置有关.,转动惯量的计算举例,22,解:,J 是可加的,所以若为薄圆筒(不计厚度)结果相同。,(下一页),在圆环上任取质量元 dm,23,例、求质量为M、半径为R、厚为l 的均匀圆盘 的=转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,解:任取半径为r 宽为dr 的同心细圆环,(下
8、一页),可见,转动惯量与其厚度 l 无关。所以,实心圆柱对 其轴的转动惯量也是 。,24,转动定律,由动能定理:,取微分形式:,两边除dt,由于,故得,刚体定轴转动定律:刚体作定轴转动时,合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积.,25,七、牛顿定律和转动定律的综合应用,如果在一个物体系中,有的物体作平动,有的物体作定轴转动,处理此问题仍然可以应用隔离法. 但应分清哪些物体作平动,哪些物体作转动. 把平动物体隔离出来,按牛顿第二定律写出其动力学方程;把定轴转动物体隔离出来,按转动定律写出其动力学方程. 有时还需要利用质点及刚体定轴转动的运动学公式补充方程,然后对这些方程综合求解.,26,例:
9、一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮,绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体,滑轮可视为均质圆盘, 质量为m,半径为r,绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张力.,受力图如下,,设,解:,27,得解,28,1)系统对轴的转动惯量J是杆的转动惯量J1与小球的转动惯量J2之和.,例: 一根质量均匀分布的细杆,一端连接一个大小可以不计的小球,另一端可绕水平转轴转动. 某瞬时细杆在竖直面内绕轴转动的角速度为 ,杆与竖直轴的夹角为 . 设杆的质量为 、杆长为 l,小球的质量为 .,求: 1)系统对轴的转动惯量; 2)在图示位置系统的转动动能; 3)在图示位置系统所受重力
10、对轴的力矩.,解:,29,2)系统的转动动能为:,3)系统所受重力有杆的重立和小球的重力.,则系统所受重力对轴的力矩的大小为:,30,3-2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律,预习要点 认识质点对定点的动量矩的定义, 刚体对转轴的动量矩如何计算? 刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是怎样的? 动量矩守恒定律的内容及守恒定律的条件是什么?,31,一、动量矩(角动量),1. 质点的动量矩,质量为 的质点以速度 在空间运动,某时刻相对原点 O 的位矢为 ,质点相对于原点的动量矩(角动量),大小,的方向符合右手法则.,单位 或,32,质点对定点O的动量矩 在某坐标轴Oz上的投影 称为该质点
11、对轴Oz的动量矩. 质点作圆运动时,其对过圆心O且运动平面垂直的轴Oz的动量矩:,或,又,故得,(取正号LZ与Oz同向,负号反向),33,2. 刚体的动量矩,刚体作定轴转动时,其内所有质点都在与轴垂直的平面内作圆周运动,刚体对轴的动量矩为其所有质点对同一轴的动量矩之和.,即,L为正,其方向沿Oz正向,反之沿Oz负向.,对刚体组合系统,总动量矩为各部分对同轴动量矩之和.,34,二、刚体定轴转动时的动量矩定理,刚体所受的外力矩等于刚体动量矩的变化率.,将上式变形后积分,动量矩定理: 作用在刚体上的冲量矩等于刚体动量矩的增量.,由刚体定轴转动定律,35,动量矩守恒定律: 当刚体转动系统受到的合外力矩
12、为零时,系统的动量矩守恒.,三、动量矩守恒定律,若 ,,花样滑冰 跳水运动员跳水,1. 对一般的质点系统,若质点系相对于某一定点所受的合外力矩为零时,则此质点系相对于该定点的动量矩始终保持不变.,2. 动量矩守恒定律与动量守恒定律一样,也是自然界的一条普遍规律.,36,(1),解:,杆和球在竖直方向所受重力和支持力与轴平行,对轴无力矩;桌面及轴皆光滑,无摩擦力矩;轴对杆的反作用力过轴也无力矩.因此,球与杆在碰撞过程中,所受外力矩为零,在水平面上,碰撞过程中系统角动量守恒.,即:,例:在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为m、长为2l、可绕过与杆垂直的光滑轴中心转动的细杆.有一质量为m的小球以与杆
13、垂直的速度 与杆的一端发生完全弹性碰撞,求小球的反弹速度 及杆的转动角速度.,37,弹性碰撞动能守恒,(2),其中,联立(1)、(2)式求解,38,例 行星运动的开普勒第二定律认为,对于任一 行星,由太阳到行星的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。试用角动量守恒定律证明之。,39,解 将行星看为质点,在dt 时间内以速度 完成的 位移为 ,矢径 在d t 时间内扫过的面积为dS(图中阴影)。,根据质点角动量的定义,则,40,矢径在单位时间内扫过的面积(称为掠面速度),万有引力属于有心力, 行星相对于太阳所在处 点O的角动量是守恒的, 即 = 恒矢量,故有,恒量,行星对太阳所在点O 的角动量守恒,
14、不仅角动量的大小不随时间变化,即掠面速度恒定,而且角动量的方向也是不随时间变化的,即行星的轨道平面在空间的取向是恒定的。,41,例 质量为m的小球系于细绳的一端,绳的另一端缚在一根竖直放置的细棒上, 小球被约束在水平面内绕细棒旋转, 某时刻角速度为1,细绳的长度为r1。当旋转了若干圈后, 由于细绳缠绕在细棒上, 绳长变为r2, 求此时小球绕细棒旋转的角速度2。,解 小球受力 绳子的张力 ,指向细棒; 重力 ,竖直向下;支撑力 ,竖直向上。 与绳子平行, 不产生力矩; 与 平衡,力矩始终为零。所以, 作用于小 球的力对细棒的力矩始终等于零, 故小 球对细棒的角动量必定是守恒的。,42,根据质点对轴的角动量守恒定律,式中v1是半径为r1时小球的线速度, v2是半径为r2时小球的线速度。,代入上式得,解得,可见, 由于细绳越转越短, , 小球的角速度 必定越转越大, 即 。,而,43,例 半径为R的光滑圆环上A点有一质量为m的小球,从静止开始下滑,若不计摩擦力,求小球到达B点时的角动量和角速度。,解 小球受重力矩作用,由角动量定理:,44,利用初始条件对上式积分,得到,