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1、第三章 常用试验设计的方差分析(Analysis of Variance ) ANOVA,多个均数的比较,2,方差分析由英国统计学家R.A.Fisher于1923年首创，为纪念Fisher，以F命名，故方差分析又称 F 检验 （F test）。用于推断多个总体均数有无差异,3,1、数据结构 设有k 个组，每组的观察值数据是来自该组的处理所代表的总体的一个样本。全部数据的结构如下：,方差分析的数学模型与基本假定,ai : 第i 个处理的总体平均数（第i组所来自总体的总体平 均数） eij : 随机误差,三个基本假定：,单因素试验观察值的线性模型（linear model）,5,6,组内离均差平方
2、和，简称组内平方和： 度量了组内的变异。由于组内变异与处理无关，是由于个体间的随机误差造成的，所以又称为误差平方和。,组间离均差平方和，简称组间平方和： 度量了组间的变异。由于组间的差异除了随机误差以外，还包括不同处理造成的差异，所以又称为处理平方和。,平方和与自由度的剖分,平方和的计算,8,总自由度的剖分,（i=1,2,k）,平方和与自由度的剖分,9,期望均方,均方：将组内平方和和组间平方和分别除以它们相应的自 由度，得到的统计量分别称为组内均方（误差均方） 和组间均方（处理均方）。,不称方差，而称为均方,10,期望均方,显然，各Si2的合并方差Se2 （以各处理内的自由度n-1为权的加权平
3、均数）也是2的无偏估计量，且估计的精确度更高。很容易推证处理内均方MSe就是各Si2的合并。,11,期望均方,效应方差,它也反映了各处理观测值总体平均数的变异程度，记为2,试验中各处理所属总体的本质差异体现在处理效应i的差异上。,12,期望均方,这是因为处理观测值的均数间的差异实际上包含了两方面的内容：一是各处理本质上的差异即i（或i）间的差异，二是本身的抽样误差。,非2的无偏估计量,是2 +2/n的无偏估计量,MSt,13,误差方差,处理效应,期望均方，简记为EMS（expected mean squares）:,14,期望均方,当处理效应的方差2 =0，亦即各处理观测值总体平均数i（i=1
4、，2，,k）相等时，处理间均方MSt与处理内均方一样，也是误差方差2的估计值，方差分析就是通过MSt 与MSe的比较来推断2是否为零即i是否相等的。,检验各组所代表的总体的平均数，即各个i之间是否存在差异 （1）假设 H0: 1 = 2 = = k 或 a1 = a2 = = ak = 0 HA: 至少有两个均数不等 或 至少有一个 a 0,F分布与F检验,（2）检验统计量,MSA: 组间均方， MSE:组内均方,当 H0 成立时，,当 H0 不成立时，,当H0不成立时，值只应该落在分布的一侧，即右侧。所以为单侧检验,17,（）统计推断,显著或极显著：至少有两个平均数间存在差异,选取显著性水平
5、（0.05或0.01） 查表找到F(dfA，dfE)的值 比较计算的 F 值与查表的F(dfA，dfE)值,方差分析表,19,各处理重复数相等的方差分析,抽测5个不同品种的若干头母猪的窝产仔数，结果见表6-12，试检验不同品种母猪平均窝产仔数的差异是否显著。 表6-12 五个不同品种母猪的窝产仔数,20,解：,21,根据df1=dft=4,df2=dfe=20查临界F值得：F0.05(4,20) =2.87,F0.05(4,20) =4.43，因为FF0.01(4,20)，即P0.01，表明品种间产仔数的差异达到1%显著水平。,22,多重比较(multiple comparison)方法,统计
6、上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较(multiple comparisons),多重比较的方法甚多，常用的有最小显著差数法(LSD法)和最小显著极差法(LSR法),23,三种多重比较方法，其检验尺度有如下关系： LSD法新复极差法q检验法 秩次距k=2时，取等号；秩次距k3时，取小于号。 在多重比较中， LSD法的尺度最小， q检验法尺度最大，新复极差法尺度居中。 用上述排列顺序前面方法检验显著的差数，用后面方法检验未必显著；用后面方法检验显著的差数，用前面方法检验必然显著 。,多重比较,24,标记字母法与多重直线法,25,标记字母法 （Any Questions？）,Table 3
7、mean of fibre for the different genotypes of KAP8.2 gene,Mean within a column with no common superscript alphabet differed significantly (P 0.01).,26,其他表示方法,27,SPSS软件分析：,弹出One-Way ANOVA 对话框从对话框左侧的变量列表中选“W” 使之进入 Dependent List “因变量框”框从对话框左侧的变量列表中选“B” 使之进入Factor （因素)框。,SPSS,Analyze,Compare means,One-w
8、ay ANOVA,28,29,30,31,方差分析的两种模型,32,（2）随机模型,33,34,单因素完全随机设计（Completely Randomized Design with Single Factor ),完全随机设计是将所有试验单元完全随机地分配到各个处理中，使得每个试验单元都有相同的机会接受某个处理，而不受试验人员主观倾向的影响其实质是将供试材料随机分组,35,完全随机设计的主要优点,完全随机设计简单、容易，处理数与重复数都不受限制，适用于试验条件、环境、试验材料差异较小的试验；统计分析简单，无论所获得的试验资料各处理重复数相同与否，都可用t检验或方差分析法进行统计分析；试验误差
9、自由度大于处理数和重复数相等的其他设计 。 主要缺点：在试验条件、环境、试验材料差异较大时，不宜采用此种设计方法,36,37,38,39,40,单因素系统分组设计试验的方差分析,是把试验空间逐级向低次级方向划分的试验设计方法，亦称为巢式设计对于单因素试验来讲，试验因素A的参试处理为共a个，先把试验空间分为a个组，每组随机安排一个处理，再把组分为m个亚组，在每个亚组中设置r个试验单元，供随机重复之用，这样的设计称为单因素二级系统分组设计,41,【例3-2-5】在温室中用四种培养液A1，A2，A3和A4培养某作物，每种培养液3盆，每盆4株一个月后测定其株高生长量(mm)，其结果如表3-2-11所示
10、,42,43,44,45,46,47,48,次级样本不等的试验分析起来很麻烦且精度不高，因而是不提倡的,49,49,两因素方差分析：试验指标同时受两个因素作用， 分为交叉分组资料和系统分组资料两类。,两因素完全随机试验的方差分析,无重复观察值的交叉分组资料 A因素：Ai，i=1、2a B因素：Bj，j=1、2b 因素A的每个水平与因素B的每个水平都彼此交叉，产生组合；在每个水平组合只有一个观测值（无重复），共有ab个观测值。,50,50,无重复观察值资料模式：,各个字母的含义,51,51,资料模式：,52,52,总平方和 =A因素平方和+B因素平方和+误差平方和,53,53,自由度的剖分,54
11、,两因素完全随机有重复资料的方差分析,55,55,资料模式：,x111,x112x11n x11.,x1b1,x1b2x1bn x1b.,.,xa11,xa12xa1n xa1.,xab1,xab2xabn xab.,在因素A和因素B的每个水平组合中都有n个观测值。,56,在进行双向分类资料的方差分析时，除了要注意分析每个处理因素的作用以外，还要注意分析它们之间的交互作用。 有重复和无重复资料方差分析的主要区别： 利用有重复发资料可以分析两因素各水平之间的交互作用。 交互作用 定义：简称互作，指两个或两个以上因素之间相 互作用效应的简称，也称交互作用。,57,57,有互作,58,58,数学模型
12、,59,59,平方和与自由度的剖分：,（1）先将离均差平方和剖分为：,（2）再将两边求和：,0,SST:总平方和,SSE：误差平方和,SSt,SSt：处理平方和，反映了A因素和B因素以及它们之间的互作对观测值的总的影响。,60,60,（3）将处理平方和做进一步剖分：,0,（4）两边求和：,SSA,SSAB,SSB,SSt,61,61,总平方和 =A因素平方和+B因素平方和 +互作平方和+误差平方和,62,62,平方和的计算公式,2.总平方和,3.A因素平方和,1. 矫正项,63,63,4.B因素平方和,5.处理平方和,64,64,6.互作平方和,7.误差平方和,65,66,66,例6.6】为了
13、研究饲料中钙磷含量对幼猪生长发育的影响，将钙(A)、磷(B)在饲料中的含量各分4个水平进行交叉分组试验。先用品种、性别、日龄相同，初始体重基本一致的幼猪48头，随机分成16组，每组3头，用能量、蛋白质含量相同的饲料在不同钙磷用量搭配下各喂一组猪，经两月试验，幼猪增重结果(kg)列于表6-29，试分析钙磷对幼猪生长发育的影响。,67,67,表6-29 不同钙磷用量(%)的试验猪增重结果(kg),68,68,1、计算各项平方和与自由度,69,69,70,70,表6-30 不同钙磷用量方差分析表,2、列出方差分析表，进行F检验,查临界F值：F0.05(3,32)=2.90，F0.01(3,32)=4
14、.47，F0.01(9,32)=3.02。因为，FAF0.05(3,32)；FBF0.01(3,32)；FABF0.01(9,32)，表明钙、磷及其互作对幼猪的生长发育均有显著或极显著影响。 因此，应进一步进行钙各水平平均数间、磷各水平平均数间、钙与磷水平组合平均数间的多重比较和进行简单效应的检验。,71,71,3、多重比较 (1)钙含量(A)各水平平均数间的比较 不同钙含量平均数多重比较表见表6-31。,表6-31 不同钙含量平均数比较表(q法),表6-32 q值与LSR值表,72,72,表6-33 不同磷含量平均数比较表(q法),(2)磷含量(B)各水平平均数间的比较 不同磷含量平均数多重
15、比较表见表6-33。,表6-32 q值与LSR值表,73,73,(3)各水平组合平均数间的比较 因为水平组合数通常较大(本例ab=44=16)，采用最小显著极差法进行各水平组合平均数的比较，计算较麻烦。为了简便起见，常采用T检验法。所谓T检验法，实际上就是以q检测法中秩次距k最大时的LSR值作为检验尺度检验各水平组合平均数间的差异显著性。,此例,74,74,75,75,(4)简单效应的检验 简单效应实际上是特定水平组合平均数间的差数。 检验尺度仍为(3)中的LSR0.05=6.51,LSR0.01=7.65。,76,76,A1水平(1.0),A2水平(0.8),77,77,A4水平(0.4),
16、A3水平(0.6),78,78,B因素各水平上A因素各水平平均数间的比较,B2水平(0.6),B1水平(0.8),79,79,B4水平(0.2),B3水平(0.4),80,SPSS软件分析,步骤：,SPSS,ANALYZE,General Linear Model,Univariate,AnalyzeGeneral linear model（一般线性模型）Univariate（单变量）弹出Univariate对话框从对话框左侧的变量列表中选“W” 使之进入 Dependent List框从对话框左侧的变量列表中选“Ca” 和“P”使之进入Fixed Factor（固定因素）框。,81,82,83,84,85,86,
