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1、专题16 等腰三角形的性质阅读与思考等腰三角形是一类特殊三角形，具有特殊的性质，这些性质为角度的计算、线段相等、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据因此，在解与等腰三角形相关的问题时，除了要运用全等三角形知识方法外，又不能囿于全等三角形，应善于利用等腰三角形的性质探求新的解题途径，应熟悉以下基本图形、基本结论 图1中， 图2中，只要下述四个条件：；中任意两个成立，就可以推出其余两个成立 B C A D 图1 A D B C 1 2 图2 例题与求解【例1】如图，在ABC中，D在AC上，E在AB上，且ABAC，BCBD，ADDEBE，则A_ （五城市联赛试题）解题思路：图中有很多相关的角，
2、用A的代数式表示这些角，建立关于A的等式 A B C D E 【例2】如图，在ABC中，已知BAC900，ABAC，D为AC中点，AEBD于E，延长AE交BC于F，求证：ADBCDF（安徽省竞赛试题）解题思路：ADB与CDF对应的三角形不全等，因此，需构造全等三角形，而在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的高(中线)是一条常用的辅助线A B C D E F 【例3】如图，在ABC中，ACBC，ACB900，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又AEBD，求证：BD是ABC的角平分线（北京市竞赛试题）解题思路：ABC的角平分线与AE边上的高重合，故应作辅助线补全图形，构造全等三角形、等
3、腰三角形A E B C D 【例4】如图，在ABC中，BACBCA440，M为ABC内一点，使MCA300，MAC160，求BMC度数 （北京市竞赛试题） B C M A B C M A 图3 N 解题思路：作等腰ABC的对称轴(如图1)，通过计算，证明全等三角形，又440+160600；可以AB为一边，向点C所在的一侧作等边ABN，连结CN，MN(如图2)；或以AC为一边，向点B所在的一侧作等边ACN，连结BN(如图3) B C M A 图1 D O B C M A 图2 N 【例5】如图，ABC是边长为1的等边三角形，BDC是顶角BDC1200的等腰三角形，以D为顶点作一个600角，角的两
4、边分别交AB于M，交AC于N，连结MN，形成一个三角形求证：AMN的周长等于2（天津市竞赛试题） 解题思路：欲证AMN的周长等于2，只需证明MNBM+CN，考虑用补短法证明 B A C D N M 【例6】如图，ABC中，ABC460，D是BC边上一点，DCAB，DAB210，试确定CAD的度数（北京市竞赛试题） 解题思路：解本题的关键是利用DCAB这一条件B D C A 能力训练A级1如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夹角为450，那么这个等腰三角形的底角为_2如图，已知A150，ABBCCDDEEF，则FEM_3如图，在等边ABC的AC，BC边上各取一点P、Q，使APCQ，AQ，BP相交于点
5、O，则 BOQ_.4如图，在ABC中，BCA900，BAC600，BC4，在CA的延长线取点D，使ADAB，则D，B两点之间的距离是_(第2题) B A C D E F M N A B C Q P O (第3题) A B C D (第4题) 5如图，在ABC中，ABAC，D为BC上一点，BFCD，CEBD，那么EDF等于（ ） A900-AB900-A C1800-A D450-A6如图，在ABC中，ACB900，ACAE，BCBF，则ECF（ ） A600B450 C300D不确定（安徽省竞赛试题） A C B E F 第5题图 第6题图7ABC的一个内角的大小是400，且AB，那么C的外角
6、的大小是（ ）A1400B800或1000C1000或1400D800或1400(“希望杯”邀请赛试题)8三角形三边长，满足，则三角形一定是（ ）A等边三角形B以为底边的等腰三角形C以为底边的等腰三角形D等腰三角形 （北京市竞赛试题）9如图，在ABC中，ABAC，D，E分别是腰AB，AC延长线上的点，且BDCE，连结DE交BC于G，求证：DGEG （湖北省竞赛试题）A B C D G E 10如图，在ABC中，BAC900，ABAC，BE平分ABC，CEBE，求证：CEBD（江苏省竞赛试题）A B C D E 11已知RtABC中，ACBC，C900，D为AB边中点，EDF900，将EDF绕D
7、点旋转，它的两边分别交AC，BC(或它们的延长线)于E、F，当EDF绕D点旋转到DEAC于E时(如图1)，易证：SDEF+SCEFSABC，当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，SDEF，SCEF，SABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 （牡丹江市中考试题）A B C A B C A B C E D F E D F D F 图1 图2 图3 12如图，在ABC中，ABAC，BAC800，O为ABC内一点，且OBC100，OCA200，求BAO的度数（天津市竞赛试题） B级1如图，在ABC中，ABC1000
8、，AMAN，CNCP，则MNP_ A B C N M P (第1题) A B C P E F (第2题) A B C N M (第3题) 2如图，在ABC中，ABAC，BAC900，直角EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下4个结论：AECF；EPF是等腰直角三角形；S四边形AEPFSABC；EFAP当EPF在ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)上述结论正确的是_ （苏州市中考试题）3如图，在ABC中，ABBC，M，N为BC边上两点，并且BAMCAN，MNAN，则MAC的度数是_4如图，在ABC中，ABAC，BAC与ACB的平分线相交于D，ADC
9、1300，那么CAB的大小是（ ）A800 B500 C400 D200 A (第4题) B C D (第5题) A B C D A B D E C M (第6题) 5如图，在ABC中，BAC1200，ADBC于D，且AB+BDDC，则C的大小是（ ） A200 B250 C300 D4506如图，在ABC中，ACBC，ACB900，AE平分BAC交BC于E，BDAE于D，DMAC交AC的延长线于M，连CD，下列四个结论：ADC450；BDAE；AC+CEAB；AB-BC2MC其中正确结论的个数为（ ） A1个 B2个 C3个 D4个7如图，已知ABC为等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，并且使AEBD，连结CE、DE，求证：CEDEA B C D E 8如图，ABC中，已知C600，ACBC，又ABC、ABC、ABC都是ABC外的等边三角形，而点D在AC上，且BCDC 证明：CBDBDC； 证明：ACDDBA； 对ABC、ABC、ABC、ABC，从面积大小关系上，你能得出什么结论？（江苏省竞赛试题）A B C D A B C 9在ABC中，已知ABAC，且过ABC某一顶点的直线可将ABC分成两个等腰三角形，试求ABC各内角的度数
