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1、1. 函数的傅里叶级数展开,一.傅里叶级数的引进 在物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波),它是形如 的波,其中 是振幅, 是角频率, 是初相位.其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来.这就是说,设 是一个周期为 的波,在一定条件下可以把它写成 其中 是 阶谐波, 我们称上式右端的级数是由 所确定的傅里叶级数,二. 三角函数的正交性 设 是任意实数, 是长度为 的区间,由于三角函数 是周期为 的函数,经过简单计算,有 利用积化和差的三角公式容易证明 还有,我们考察三角函数系 其中每一个函数在长为 的区间上定义，其中任何两个不同的函数乘积沿区间上的积分等零 ，而
2、每个函数自身平方的积分非零 。我们称这个函数系在长为 的区间上具有正交性。,三、傅里叶系数 设函数 已展开为全区间设的一致收敛的三角级数 现在利用三角函数系数的正交性来研究系数 与 的关系。将上述展开式沿区间 积分，右边级数可以逐项积分，由 得到 即 又设 是任一正整数，对 的展开式两边乘以 沿 积分，由假定，右边可以逐项积分，由 和 ，得到,即 同样可得 因此得到欧拉-傅里叶公式,自然，这些系数也可以 沿别的长度为 的区间来积分。 以上是在 已展开为一致收敛的三角级数的假定下得到系数的表达式的。然而从欧拉-傅里叶公式的形式上看，只要周期为 的函数 在区间 上可积和绝对可积（如果 式有界函数，
3、则假定它是可积的。这时它一定式绝对可积的；如果 是无界函数，就假定他是绝对可积，因而也是可积的，这样，不论在哪一种情形，都是可积和绝对可积了），就可以按欧拉-傅里叶公式来确定所有的数 ，从而作出三角级数,我们称这级数是 关于三角函数系 的傅里叶级数，而 称为 的傅里叶系数，记为,四、收敛判别法 傅里叶级数的收敛判别法。设函数 在 上可积和绝对可积 若 在 点的左右极限 和 都存在，并且两个广义单侧导数 都存在，则 的傅里叶级数在 点收敛。当 是 的连续点时它收敛与 ，当 是 的间断点（一定是第一类间断点）时收敛于,例1 在 上展开函数 为傅里叶级数。 例2 在 上展开函数 为傅里叶级数。 例3
4、 在 上展开 为傅里叶级数。,例4 将 在 上展开为余弦级数。 例5 将以下函数展开为正弦级数,五、傅里叶级数的复数形式 傅里叶级数的 阶谐波 可以用复数形式表示。由欧拉公式 得 如果记 那么上面的傅里叶级数就化成一个简洁的形式,这就是傅里叶级数的复数形式， 为复振幅， 与 是一对共轭复数,六、收敛判别法的证明 1、狄利克雷积分 为了研究傅里叶级数的收敛性问题，我们必须把傅里叶级数的部分和表示为一个特定形式的反常积分 狄利克雷积分。 设 在 上可积和绝对可积，它的傅里叶级数为 其中,傅里叶级数的部分和 由三角公式 当 ，有公式,当 时把右边理解为 时的极限值，值一等式也就成立。把它应用到 的表
5、达式中，得到 经过验证知道，被积函数是 的周期为 的函数，可以把积分区间换为 ，因此 作代换 ，得,上面 的几种积分表达式都称为狄利克雷积分。,2、黎曼引理 黎曼引理 设函数 在区间 上可积和绝对可积，那么以下的极限式成立 局部性定理 函数 的傅里叶级数在 点的收敛和发散情况，只和 在这一点的充分领近区域的值有关。,3、迪尼判别法及其推论 迪尼定理（迪尼判别法） 设能取到适当 ，使由函数 以及 点所作出的 满足条件：对某正数 ，使在 上， 为可积和绝对可积，那么 的傅里叶级数在 点收于 。 利普希茨判别法（地理判别法的一个推论） 如果函数 在 点连续，并且对于充分小的正数 在 点的利普希茨条件
6、 成立，其中 皆是正数，且 ，那么 的傅里叶级数在 点收敛于 ，更一般地，如果对于充分小的 成立,同前，那么 的傅里叶级数在 点收敛于 一个重要推论 如果 在 点有有限导数 ，或是有两个单侧的有限导数,甚至只是有更一般的有限导数 那么 的傅里叶级数在 点收敛于 或 因为这时对于函数 在 点的 的利普希茨条件是成立的。,七、傅里叶级数的性质 一、一致收敛性 1设周期为 的可积和绝对可积函数 在比 更宽的区间 上有有限导数 ，那么 的傅里叶级数在区间 上一致收敛于 。 2设周期为 的可积和绝对可积函数 在比 更宽的区间 上连续且为分段单调函数，那么 的傅里叶级数在区间 上一致收敛于 。,二，傅里叶级数的逐项求积和逐项求导 设 是 上分段连续函数，它的傅里叶级数是 我们并不假定右端级数的和是 甚至也不假定它收敛，然而它却可以逐项积分，设 和 是 上任意两点，则有 三，最佳平方平均逼近 设 是任意一个 次三角多项式,其中 都是常数。又设 是 上可积和平方可积函数，称 是用三角多项式 在平方平均意义下逼近 的偏差。 设 的傅里叶级数是 我们并不假定右端的级数是否收敛以及是否收敛于 ，但它的 次部分和 是 的最佳平方平均逼近，亦即对任何 次三角多项式 ，都有,
