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1、1 一、知识要点梳理一、知识要点梳理 知识点一:方程和方程的解知识点一:方程和方程的解 1.方程:含有_的_叫方程1.方程:含有_的_叫方程 注意:a.必须是等式 b.必须含有未知数。注意:a.必须是等式 b.必须含有未知数。 易错点:(1).方程式等式,但等式不一定是方程;(2).方程中的未知数可以用 x 表 示,也可以用其他字母表示;(3).方程中可以含多个未知数。 易错点:(1).方程式等式,但等式不一定是方程;(2).方程中的未知数可以用 x 表 示,也可以用其他字母表示;(3).方程中可以含多个未知数。 考法:判断是不是方程:考法:判断是不是方程: 例:下列式子:(1).8-7=1+
2、0 (2).例:下列式子:(1).8-7=1+0 (2). 1、 一元一次方程:1、 一元一次方程: 一元一次方程的标准形式是:ax+b=0(其中 x 是未知数,a,b 是已知数,且 a0)。 要点诠释:要点诠释: 一元一次方程须满足下列三个条件: (1) 只含有一个未知数; (2) 未知数的次数是 1 次; (3) 整式方程 2、方程的解:2、方程的解: 判断一个数是否是某方程的解:将其代入方程两边,看两边是否相等 知识点二:一元一次方程的解法知识点二:一元一次方程的解法 1、方程的同解原理(也叫等式的基本性质)1、方程的同解原理(也叫等式的基本性质) 等式的性质 1:等式两边加(或减)同一
3、个数(或式子) ,结果仍相等。 如果,那么;(c 为一个数或一个式子)。 等式的性质 2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为 0 的数,结果仍相等。 如果,那么;如果,那么 要点诠释:要点诠释: 分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为 0 的数,分数的值不变。 即:(其中 m0) 特别须注意 :特别须注意 : 分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数 (特别是分母中的小数) 化为整数,如方程:=1.6,将其化为: =1.6。方程的 右边没有变化,这要与“去分母”区别开。 2、解一元一次方程的一般步骤:2、解一元一次方程的一般步骤: 解一元一次方程的一般步骤 解一元一次方程的一般步骤 变
4、形 步骤 变形 步骤 具 体 方 法具 体 方 法变 形 根 据变 形 根 据注 意 事 项注 意 事 项 去分 母 去分 母 方程两边都乘以 各个分母的最小公倍 数 等式性质 2 1不能漏乘不含分母的项; 2分数线起到括号作用,去掉分母 后,如果分子是多项式,则要加括号 2 去括 号 去括 号 先去小括号, 再去 中括号, 最后去大括号 乘法分配律、 去括号法则 1分配律应满足分配到每一项 2注意符号,特别是去掉括号 移 项 移 项 把含有未知数的 项移到方程的一边, 不 含有未知数的项移到 另一边 等式性质 1 1移项要变号; 2 一般把含有未知数的项移到方程 左边,其余项移到右边 合并
5、同 合并 同 类 项 类 项 把方程中的同类项 分 别 合 并 , 化 成 “ ” 的 形 式 (bax )0a 合并同类项 法则 合并同类项时,把同类项的系数 相加,字母与字母的指数不变 未知 数的 系数 化成 “1” 未知 数的 系数 化成 “1” 方程两边同除以 未知数的系数,得a a b x 等式性质 2 分子、分母不能颠倒 要点诠释:要点诠释: 理解方程 ax=b 在不同条件下解的各种情况,并能进行简单应用: a0 时,方程有唯一解; a=0,b=0 时,方程有无数个解; a=0,b0 时,方程无解。 牛刀小试牛刀小试 例 1、解方程例 1、解方程 (1)y- 5 2 2 2 1 y
6、y 例 2、由两个方程的解相同求方程中子母的值例 2、由两个方程的解相同求方程中子母的值 已知方程的解与方程的解相同,求m的值.104xx522xm 例 3 、解方程知识与绝对值知识综合题型例 3 、解方程知识与绝对值知识综合题型 解方程:7 3 | 12| x 3 二、经典例题透析二、经典例题透析 类型一:一元一次方程的相关概念类型一:一元一次方程的相关概念 1、已知下列各式: 2x51;871;xy;xyx2;3xy6;5x3y4z0; 8;x0。其中方程的个数是() A、5B、6C、7D、8 举一反三:举一反三: 变式 1变式 1判断下列方程是否是一元一次方程: (1)-2x2+3=x
7、(2)3x-1=2y (3)x+=2 (4)2x2-1=1-2(2x-x2) 变式 2变式 2已知:(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+60 是一元一次方程,求a的值。 变式 3变式 3(2011 重庆江津)已知 3 是关于 x 的方程 2xa=1 的解,则 a 的值是( ) A5 B5 C7 D2 类型二:一元一次方程的解法类型二:一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤是:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。如 果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上,根据方程原形和特点,灵活安排解题步骤, 并且巧妙地运用学过的知识,就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。 1巧凑整数解方
8、程:1巧凑整数解方程: 2、 举一反三:举一反三: 变式变式解方程:2x5 2 巧去括号解方程:2 巧去括号解方程: 4、 举一反三:举一反三: 4 变式变式解方程: 4运用拆项法解方程:4运用拆项法解方程: 5、 5巧去分母解方程:5巧去分母解方程: 6、 举一反三:举一反三: 变式变式(2011 山东滨州) 依据下列解方程的过程, 请在前面的括号 内填写变形步骤,在后面的括号内填写变形依据。 解:原方程可变形为 (_) 去分母,得 3(3x+5)=2(2x-1). (_) 去括号,得 9x+15=4x-2. (_) (_),得 9x-4x=-15-2. (_) 合并,得 5x=-17. (
9、合并同类项) (_),得 x=. (_) 6巧组合解方程:6巧组合解方程: 7、 思路点拨思路点拨:按常规解法将方程两边同乘 72 化去分母,但运算较复杂,注意到左边的第 一项和右边的第二项中的分母有公约数 3, 左边的第二项和右边的第一项的分母有公约数 4, 移项局部通分化简,可简化解题过程。 7巧解含有绝对值的方程:7巧解含有绝对值的方程: 8、|x2|30 思路点拨 :思路点拨 : 解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号,转化为一般的一元一 次方程。对于只含一重绝对值符号的方程,依据绝对值的意义,直接去绝对值符号,化为两 个一元一次方程分别解之,即若|x|m,则 xm 或 xm;
10、也可以根据绝对值的几何意义 进行去括号,如解法二。 5 举一反三:举一反三: 【变式 1】【变式 1】 (2011 福建泉州)已知方程,那么方程的解是_. ; 变式 2变式 2 5|x|-163|x|-4 变式 3变式 3 8利用整体思想解方程:8利用整体思想解方程: 9、 思路点拨:思路点拨:因为含有的项均在“”中,所以我们可以将作为一个整体, 先求出整体的值,进而再求的值。 参考答案参考答案 例 1:解:例 1:解:是方程的是,共六个,所以选 B B 总结升华总结升华:根据定义逐个进行判断是解题的基本方法,判断时应注意两点:一是等式; 二是含有未知数,体现了对概念的理解与应用能力。 举一反
11、三举一反三 1.解析1.解析:判断是否为一元一次方程需要对原方程进行化简后再作判断。 答案:(1) (2) (3)不是, (4)是 2.解析2.解析:分两种情况: (1)只含字母 y,则有(a-3)(2a+5)0 且 a-30 (2)只含字母 x,则有 a-30 且(a-3)(2a+5)0 不可能 综上,a的值为。 3.答案:3.答案:B 例 2.例 2. 解解:移项,得。 合并同类项,得 2x1。 系数化为 1,得 x。 举一反三举一反三 解:原方程可变形为 2x5 6 整理,得 8x18(215x)2x5, 去括号,得 8x18215x2x5 移项,得 8x15x2x5182 合并同类项,
12、得9x21 系数化为 1,得 x。 例 4例 4 解:去括号,得 去小括号,得 去分母,得(3x5)88 去括号、移项、合并同类项,得 3x21 两边同除以 3,得 x7 原方程的解为 x7 举一反三举一反三 解:依次移项、去分母、去大括号,得 依次移项、去分母、去中括号,得 依次移项、去分母、去小括号,得 ,x48 例 5例 5解:解:原方程逆用分数加减法法则,得 移项、合并同类项,得。 系数化为 1,得。 例 6例 6 解:原方程化为 去分母,得 100 x(1320 x)7 去括号、移项、合并同类项,得 120 x20 7 两边同除以 120,得 x 原方程的解为 总结升华总结升华:应用
13、分数性质时要和等式性质相区别。可以化为同分母的,先化为同分母, 再去分母较简便。 举一反三举一反三 【答案】解:原方程可变形为 (_分式的基本性质_) 去分母,得 3(3x+5)=2(2x-1). (_等式性质 2_) 去括号,得 9x+15=4x-2. (去括号法则或乘法分配律_) (_移项_),得 9x-4x=-15-2. (等式性质 1_) 合并,得 5x=-17. (合并同类项) (_系数化为 1_),得 x=. (等式性质 2) 例 7例 7 解:移项通分,得 化简,得 去分母,得 8x1449x99。 移项、合并,得 x45。 例 8 解法一:例 8 解法一:移项,得|x2|3 当
14、 x20 时,原方程可化为 x23,解得 x5 当 x20 时,原方程可化为(x2)3,解得 x1。 所以方程|x2|30 的解有两个:x5 或 x1。 解法二:解法二:移项,得|x2|3。 因为绝对值等于 3 的数有两个:3 和3,所以 x23 或 x23。 分别解这两个一元一次方程,得解为 x5 或 x1。 举一反三举一反三 1.【答案】 2.解:5|x|-3|x|16-4 2|x|12 |x|6 x6 3.解:|3x-1|8 3x-18 3x18 8 3x9 或 3x-7 x3 或 例 9例 9 解:移项通分,得: 化简,得: 移项,系数化 1 得: 总结升华总结升华 : 解一元一次方程
15、有一般程序化的步骤,我们在解一元一次方程时,既要学会 按部就班(严格按步骤)地解方程, 又要能随机应变(灵活打乱步骤)解方程。 对于一般解题步 骤与解题技巧来说,前者是基础,后者是机智,只有真正掌握了一般步骤,才能熟能生巧。 三、课堂练习三、课堂练习 一、选择题一、选择题 1、已知下列方程:(1)x-2=;(2) 0.3x=1;(3) =5x-1;(4) x -4x=3;(5) x=0;(6) x+2y=0.其中 x 3 2 x 2 一元一次方程的个数是( ) A 2 B 3 C 4 D 5 2、下列四组变形中,正确的是( ) A 由 5x+7=0,得 5x= -7 B 由 2x-3=0,得 2x-3+3=0 C 由=2,得 x= D 由 5x=7,得 x=35 6 x 3 1 3、一个水池有甲、乙两个水龙头,单独开甲水龙头 2 小时可把空池灌满 ; 单独开乙水龙头 3 小时可把空池灌满,若同时开放两个水龙头,灌满空池需( ) A小时 B小时 C2 小时 D3 小时 5 6 6 5 4、下