《高考数学（四海八荒易错集）专题12 空间平行与垂直 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学（四海八荒易错集）专题12 空间平行与垂直 理（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题12 空间平行与垂直1，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)答案解析当mn，m，n时，两个平面的位置关系不确定，故错误，经判断知均正确，故正确答案为.2.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，点D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF.答案a或2a整理得x23ax2a20，解得xa或x2a.3如图，正方形BCDE的边长为a，
2、已知ABBC，将ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，对翻折后的几何体有如下描述：AB与DE所成角的正切值是；ABCE；VBACE是a3；平面ABC平面ADC.其中正确的是_(填写你认为正确的序号)答案解析作出折叠后的几何体的直观图如图所示：CEAD，又BDADD，BD平面ABD，AD平面ABD，CE平面ABD，又AB平面ABD，4.如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，ADDCa，ABC60，平面ACEF平面ABCD，四边形ACEF是平行四边形，点M在线段EF上(1)求证：BC平面ACEF；(2)当FM为何值时，AM平面BDE？证明你的结论(1)证明在等腰梯形ABCD中
3、，ABCD，ADDCa，ABC60，ADC是等腰三角形，且BCDADC120，DCADAC30，ACB90，即BCAC.又平面ACEF平面ABCD，平面ACEF平面ABCDAC，BC平面ABCD，BC平面ACEF.(2)解当FMa时，AM平面BDE.证明如下：设ACBDN，连接EN，如图当FMa时，AM平面BDE.5如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.证明(1)由已知，DE为ABC的中位线，DEAC，又由三棱柱的性质可得ACA1C1，DEA
4、1C1，且DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，AA1A1C1，又A1B1A1C1，且A1B1AA1A1，A1C1平面ABB1A1，B1D平面ABB1A1，A1C1B1D，又A1FB1D，且A1FA1C1A1，B1D平面A1C1F，又B1D平面B1DE，平面B1DE平面A1C1F.6如图1，在正ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BEAF2CF.点P为边BC上的点，将AEF沿EF折起到A1EF的位置，使平面A1EF平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图2所示(1)求证：A1EFP；(2)若BP
5、BE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由 (1)证明在正ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图1.图1因为EFEBE，所以A1E平面BEFC.因为FP平面BEFC，所以A1EFP.(2)解在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行理由如下：如图1，在正ABC中，因为BPBE，BEAF，所以BPAF，所以FPAB，所以FPBE.如图2，取A1P的中点M，连接MK，图2易错起源1、空间线面位置关系的判定例1、(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正
6、确的是()Al与l1，l2都不相交Bl与l1，l2都相交Cl至多与l1，l2中的一条相交Dl至少与l1，l2中的一条相交(2)关于空间两条直线a、b和平面，下列命题正确的是()A若ab，b，则aB若a，b，则abC若a，b，则abD若a，b，则ab答案(1)D(2)D解析(1)若l与l1，l2都不相交，则ll1，ll2，l1l2，这与l1和l2异面矛盾，l至少与l1，l2中的一条相交(2)线面平行的判定定理中的条件要求a，故A错；对于线面平行，这条直线与面内的直线的位置关系可以平行，也可以异面，故B错；平行于同一个平面的两条直线的位置关系：平行、相交、异面都有可能，故C错；垂直于同一个平面的两
7、条直线是平行的，故D正确，故选D.【变式探究】设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题：若mn，m，则n；若m，m，则；若mn，m，则n；若m，m，则.其中真命题的个数为()A1B2C3D4答案B【名师点睛】解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中【锦囊妙计，战胜自我】空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题
8、；(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断易错起源2、空间平行、垂直关系的证明例2、如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.(1)证明：BC平面PDA；(2)证明：BCPD；(3)求点C到平面PDA的距离(1)证明因为四边形ABCD是长方形，所以BCAD，因为BC平面PDA，AD平面PDA，所以BC平面PDA.(2)证明因为四边形ABCD是长方形，所以BCCD，因为平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，BC平面ABCD，所以BC平面PDC，因为PD平面PDC，所以BCPD
9、.(3)解如图，取CD的中点E，连接AE和PE.所以AD平面PDC，因为PD平面PDC，所以ADPD.设点C到平面PDA的距离为h，因为V三棱锥CPDAV三棱锥PACD，所以SPDAhSACDPE，即h，所以点C到平面PDA的距离是.【变式探究】如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，且BC2AD，ADCD，PBCD，点E在棱PD上，且PE2ED.(1)求证：平面PCD平面PBC；(2)求证：PB平面AEC.因为ADBC，所以ADOCBO，所以DOOBADBC12，又PE2ED，所以OEPB，又OE平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.【名师点睛】垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平
10、行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l，ala.【锦囊妙计，战胜自我】空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化易错起源3、平面图形的折叠问题例3、如图，在边长为4的菱形ABCD中，DAB60，点E，F分别是
11、边CD，CB的中点，ACEFO，沿EF将CEF翻折到PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的五棱锥PABFED，且PB.(1)求证：BDPA；(2)求四棱锥PBFED的体积(1)证明点E，F分别是边CD，CE的中点，(2)解设AOBDH.连接BO，DAB60，ABD为等边三角形，BD4，BH2，HA2，HOPO，在RtBHO中，BO，在PBO中，BO2PO210PB2，POBO.POEF，EFBOO，EF平面BFED，BO平面BFED，PO平面BFED，梯形BFED的面积S(EFBD)HO3，四棱锥PBFED的体积VSPO33.【变式探究】如图1，在RtABC中，ABC60，BAC90，AD是
12、BC上的高，沿AD将ABC折成60的二面角BADC，如图2.(1)证明：平面ABD平面BCD；(2)设点E为BC的中点，BD2，求异面直线AE和BD所成的角的大小所以AEF为异面直线AE与BD所成的角连接AF，DE，由BD2，则EF1，AD2，CD6，DF3.在RtADF中，AF.在BCD中，由题设BDC60，则BC2BD2CD22BDCDcosBDC28，即BC2，从而BEBC，cosCBD，【名师点睛】(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口；(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论【锦囊妙计，战胜自我】平面图形经过翻折成为空间图形后，原有
13、的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法1l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则()Ap是q的充分条件，但不是q的必要条件Bp是q的必要条件，但不是q的充分条件Cp是q的充分必要条件Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件答案A解析由l1，l2是异面直线，可得l1，l2不相交，所以pq；由l1，l2不相交，可得l1，l2是异面直线或l1l2，所以qp.所以p是q的充分条件，但不是q的必要条件故选A.2设a，b是平面内两条不同的直线，l是平面外的一条直线，则“la，lb”是“l”的()A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件答案C解析若a，b是平面内两条不同的直线，l是平面外的一条直线，la，lb，ab，则l可以与
