《高考数学(四海八荒易错集)专题08 平面向量 理》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学(四海八荒易错集)专题08 平面向量 理(16页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、专题08 平面向量1已知向量,则ABC等于()A30B45C60D120答案A解析|1,|1,cosABC,ABC30.2已知非零向量m,n满足4|m|3|n|,cosm,n.若n(tmn),则实数t的值为()A4B4C.D答案B3已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE2EF,则的值为()AB.C.D.答案B解析如图所示,.又D,E分别为AB,BC的中点,且DE2EF,所以,所以.又,则()2222.又|1,BAC60,故11.故选B.4如图,在ABC中,DEBC交AC于E,BC边上的中线AM交DE于N,设a,b,用a,b表示向量.则
2、等于()A.(ab) B.(ab)C.(ab) D.(ab)答案C解析因为DEBC,所以DNBM,则ANDAMB,所以.因为,所以.因为M为BC的中点,所以()(ab),所以(ab)故选C.5如图,BC、DE是半径为1的圆O的两条直径,2,则等于()ABCD答案B解析2,圆O的半径为1,|,()()2()()201.6在ABC中,(cos32,cos58),(sin60sin118,sin120sin208),则ABC的面积为()A.B.C.D.答案B解析|1,所以|.则cos32cos28sin32sin28(cos32cos28sin32sin28)cos(3228)cos60,故cos,
3、.又,0,180,所以,60,故B180,18060120.故ABC的面积为S|sinB1sin120.故选B.7如图,在半径为1的扇形AOB中,AOB60,C为弧上的动点,AB与OC交于点P,则的最小值是_答案8已知向量a,b,|a|1,|b|2.若对任意单位向量e,均有|ae|be|,则ab的最大值是_答案解析由已知可得:|ae|be|aebe|(ab)e|,由于上式对任意单位向量e都成立|ab|成立6(ab)2a2b22ab12222ab.即652ab,ab.易错起源1、平面向量的线性运算例1、(1)设0,向量a(sin2,cos),b(cos,1),若ab,则tan_.(2)(2016
4、课标全国乙)设D为ABC所在平面内一点,3,则()A.B.C.D.答案(1)(2)A【变式探究】(1)在ABC中,AB2,BC3,ABC60,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若,则等于()A1B.C.D.(2)如图,正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点,那么等于()A.B.C.D.答案(1)D(2)D解析(1),2,即.故.(2)在CEF中,有.因为点E为DC的中点,所以.因为点F为BC的一个三等分点,所以.所以,故选D.【名师点睛】(1)对于平面向量的线性运算,要先选择一组基底;同时注意共线向量定理的灵活运用(2)运算过程中重视数形结合,结合图形分析向量间的关系【
5、锦囊妙计,战胜自我】1在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理选好基底,变形要有方向不能盲目转化2在用三角形加法法则时,要保证“首尾相接”,结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量;在用三角形减法法则时,要保证“同起点”,结果向量的方向是指向被减向量易错起源2、平面向量的数量积例2、(1)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB8,AD5,3,2,则的值是_(2)若b,|a|2|b|,且(ab)b2,则向量a,b的夹角为()A.B.C.D.答案(1)22(2)C(2)b2cos2cos2cos2sin21,所以|b|1,|a|2.由(ab)b2,可得abb22,故ab.故
6、cosa,b.又a,b0,所以a,b,故选C.【变式探究】(1)已知点A,B,C,D在边长为1的方格点图的位置如图所示,则向量在方向上的投影为()AB1CD.(2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为_;的最大值为_答案(1)A(2)11解析(1)不妨以点A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,易得(2,3),(4,2),所以向量在方向上的投影为.故选A.(2)方法一分别以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(t,0),t0,1,则(t,1),(0,1),所以(t,1)(0,1)1.因为
7、(1,0),所以(t,1)(1,0)t1,故的最大值为1.方法二由图知,无论E点在哪个位置,在方向上的投影都是CB1,|11,当E运动到B点时,在方向上的投影最大即为DC1,()max|11.【名师点睛】 (1)数量积的计算通常有三种方法:数量积的定义,坐标运算,数量积的几何意义;(2)可以利用数量积求向量的模和夹角,向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算【锦囊妙计,战胜自我】1数量积的定义:ab|a|b|cos.2三个结论(1)若a(x,y),则|a|.(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则|.(3)若a(x1,y1),b(x2,y2),为a与b的夹角,则cos.易错起源3、平面
8、向量与三角函数例3、已知函数f(x)2cos2x2sinxcosx(xR)(1)当x0,)时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c3,f(C)2,若向量m(1,sinA)与向量n(2,sinB)共线,求a,b的值解(1)f(x)2cos2xsin2xcos2xsin2x12sin(2x)1,令2k2x2k,kZ,解得kxk,kZ,因为x0,),所以f(x)的单调递增区间为0,(2)由f(C)2sin(2C)12,得sin(2C),而C(0,),所以2C(,),所以2C,解得C.因为向量m(1,sinA)与向量n(2,sinB)共线,所以.由正
9、弦定理得,由余弦定理得c2a2b22abcos,即a2b2ab9.联立,解得a,b2.【变式探究】已知平面向量a(sinx,cosx),b(sinx,cosx),c(cosx,sinx),xR,函数f(x)a(bc)(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)若f,求sin的值解(1)因为a(sinx,cosx),b(sinx,cosx),c(cosx,sinx),所以bc(sinxcosx,sinxcosx),f(x)a(bc)sinx(sinxcosx)cosx(sinxcosx)则f(x)sin2x2sinxcosxcos2xsin2xcos2xsin.则当2k2x2k,kZ,即kxk,k
10、Z时,函数f(x)为减函数所以函数f(x)的单调递减区间是,kZ.(2)由(1)知,f(x)sin,又f,则sin,sin.因为sin2cos21,所以cos.又sinsinsincoscossin,所以当cos时,sin;当cos时,sin.【名师点睛】在平面向量与三角函数的综合问题中,一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题,如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系,利用向量模表述三角函数之间的关系等;另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题,在解决此类问题的过程中,只要根据题目的具体要求,在向量和三角函数之间建立起联系,就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题【锦囊妙计
11、,战胜自我】平面向量作为解决问题的工具,具有代数形式和几何形式的“双重型”,高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题,通过向量运算作为题目条件1在ABC中,已知D是AB边上一点,若2,则等于()A.B.CD答案A解析在ABC中,已知D是AB边上一点,2,(),.2ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足2a,2ab,则下列结论正确的是()A|b|1BabCab1D(4ab)答案D3在等腰ABC中,BAC90,ABAC2,2,3,则的值为()ABC.D.答案A解析由已知得到()()22,ABC是等腰直角三角形,BAC90,ABAC2,所以220022,故选A.4已知向量a,b满足(a2b)(ab)6,且|a|1,|b|2,则a与b的夹角为()A.B.C.D.答案B解析设a与b的夹角为,(a2b)(ab)6,且|a|1,|b|2,1ab86,ab1|a|b|cos,cos,又0,故选B.5已知平面向量a、b(a0,ab)满足|a|3,且b与ba的夹角为30,则|b|的最大值为()A2B4C6D8答案C解析令a,b,则ba,如图,b与ba的夹角为30,OBA30,|a|3,由正弦定理得,|b|6sinOAB6,故选C.6若点M是ABC所在平面内的一点,且满足53,则ABM与ABC的面积比值为_