《高考数学(四海八荒易错集)专题09 等差数列与等比数列 文》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学(四海八荒易错集)专题09 等差数列与等比数列 文(12页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、专题09 等差数列与等比数列1已知等差数列an前9项的和为27,a108,则a100等于()A100B99C98D97答案C解析由等差数列性质,知S99a527,得a53,而a108,因此公差d1,a100a1090d98,故选C.2设等差数列an的前n项和为Sn,且a10,a3a100,a6a70的最大自然数n的值为()A6B7C12D13答案C解析a10,a6a70,a70,a1a132a70,S130的最大自然数n的值为12.3已知各项不为0的等差数列an满足a42a3a80,数列bn是等比数列,且b7a7,则b2b12等于()A1B2C4D8答案C解析设等差数列an的公差为d,因为a4
2、2a3a80,所以a73d2a3(a7d)0,即a2a7,解得a70(舍去)或a72,所以b7a72.因为数列bn是等比数列,所以b2b12b4.4已知各项都为正数的等比数列an满足a7a62a5,存在两项am,an使得4a1,则的最小值为()A.B.C.D.答案A5定义在(,0)(0,)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列an,f(an)仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”现有定义在(,0)(0,)上的如下函数:f(x)x2;f(x)2x;f(x);f(x)ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()ABCD答案C解析等比数列性质,anan2a,f(an)f
3、(an2)aa(a)2f2(an1);f(an)f(an2)f2(an1);f(an)f(an2)ln|an|ln|an2|(ln|an1|)2f2(an1)故选C.6已知an为等差数列,Sn为其前n项和若a16,a3a50,则S6_.答案6解析a3a52a40,a40.又a16,a4a13d0,d2.S666(2)6.7已知an是等差数列,Sn是其前n项和若a1a3,S510,则a9的值是_答案20解析设等差数列an公差为d,由题意可得:解得则a9a18d48320.8设等比数列an满足a1a310,a2a45,则a1a2an的最大值为_答案64解析设等比数列an的公比为q,解得a1a2an
4、(3)(2)(n4)nN*,当n3或4时,取到最小值6,此时取到最大值2664,a1a2an的最大值为64.9若等比数列an的各项均为正数,且a10a11a9a122e5,则lna1lna2lna20_.答案50解析数列an为等比数列,且a10a11a9a122e5,a10a11a9a122a10a112e5,a10a11e5,lna1lna2lna20ln(a1a2a20)ln(a10a11)10ln(e5)10lne5050.10已知数列an,bn满足a1,anbn1,bn1 (nN*),则b2015_.答案解析anbn1,且bn1,bn1,a1,且a1b11,b1,bn1,1.又b1,2
5、.数列是以2为首项,1为公差的等差数列,n1,bn.则b2015.易错起源1、等差数列、等比数列的运算例1、(1)已知数列an中,a3,a7,且是等差数列,则a5等于()A. B. C. D.(2)已知等比数列an的各项都为正数,其前n项和为Sn,且a1a79,a42,则S8等于()A15(1) B15C15D15(1)或15(1)答案(1)B(2)D解析(1)设等差数列的公差为d,则4d,4d,解得d2.2d10,解得a5.(2)由a42,得a1a7a8,故a1,a7是方程x29x80的两根,所以或因为等比数列an的各项都为正数,所以公比q0.当时q,所以S815(1);当时,q,所以S81
6、5.故选D.【变式探究】(1)已知an是等差数列,公差d不为零若a2,a3,a7成等比数列,且2a1a21,则a1_,d_.(2)已知数列an是各项均为正数的等比数列,a1a21,a3a42,则log2_.答案(1)1(2)1006【名师点睛】在进行等差(比)数列项与和的运算时,若条件和结论间的联系不明显,则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解,但要注意消元法及整体计算,以减少计算量【锦囊妙计,战胜自我】1通项公式等差数列:ana1(n1)d;等比数列:ana1qn1.2求和公式等差数列:Snna1d;等比数列:Sn(q1)3性质若mnpq,在等差数列中amanapaq;在等比数列中aman
7、apaq.易错起源2、等差数列、等比数列的判定与证明例2、已知数列an的前n项和为Sn (nN*),且满足anSn2n1.(1)求证:数列an2是等比数列,并求数列an的通项公式;(2)求证:. (2),()()().【变式探究】(1)已知数列an中,a11,an12an3,则an_.(2)已知数列bn的前n项和为Tn,若数列bn满足各项均为正项,并且以(bn,Tn) (nN*)为坐标的点都在曲线ayx2xb (a为非零常数)上运动,则称数列bn为“抛物数列”已知数列bn为“抛物数列”,则()Abn一定为等比数列Bbn一定为等差数列Cbn只从第二项起为等比数列Dbn只从第二项起为等差数列答案(
8、1)2n13(2)B解析(1)由已知可得an132(an3),又a134,故an3是以4为首项,2为公比的等比数列an342n1,an2n13.(2)由已知条件可知,若数列bn为“抛物数列”,设数列bn的前n项和为Tn,则数列bn满足各项均为正项,并且以(bn,Tn)(nN*)为坐标的点都在曲线ayx2xb (a为非零常数)上运动,即aTnbbnb,当n1时,aT1bb1bab1bb1bbb1b0abab12b0,即b1;当n2时,由aTnbbnb,及aTn1bbn1b,两式相减得abn(bb)(bnbn1)(bb)(bnbn1)0,由各项均为正项,可得bnbn11(n2),由等差数列的定义可
9、知bn一定为等差数列【名师点睛】 (1)判断一个数列是等差(比)数列,也可以利用通项公式及前n项和公式,但不能作为证明方法(2)q和aan1an1(n2)都是数列an为等比数列的必要不充分条件,判断时还要看各项是否为零【锦囊妙计,战胜自我】数列an是等差数列或等比数列的证明方法(1)证明数列an是等差数列的两种基本方法:利用定义,证明an1an(nN*)为一常数;利用中项性质,即证明2anan1an1(n2)(2)证明an是等比数列的两种基本方法:利用定义,证明(nN*)为一常数;利用等比中项,即证明aan1an1(n2)易错起源3、等差数列、等比数列的综合问题例3、已知等差数列an的公差为1
10、,且a2a7a126.(1)求数列an的通项公式an与前n项和Sn;(2)将数列an的前4项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前3项,记bn的前n项和为Tn,若存在mN*,使对任意nN*,总有SnTm恒成立,求实数的取值范围解(1)由a2a7a126得a72,a14,an5n,从而Sn.(2)由题意知b14,b22,b31,设等比数列bn的公比为q,则q,Tm81()m,()m随m增加而递减,Tm为递增数列,得4Tm8.又Sn(n29n)(n)2,故(Sn)maxS4S510,若存在mN*,使对任意nN*总有SnTm,则106.即实数的取值范围为(6,)【变式探究】已知数列a
11、n的前n项和为Sn,且Sn13(an1),nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn满足若bnt对于任意正整数n都成立,求实数t的取值范围【名师点睛】(1)等差数列与等比数列交汇的问题,常用“基本量法”求解,但有时灵活地运用性质,可使运算简便(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数,然后利用函数的性质求解数列问题(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数,通过求数列的值域求解【锦囊妙计,战胜自我】解决等差数列、等比数列的综合问题,要从两个数列的特征入手,理清它们的关系;数列与不等式、函数、方程的交汇问题,可以结合数列的单调性、最值求解1在等差数列an中,若a4a6a8a10a121
12、20,则2a10a12的值为()A20B22C24D28答案C解析由a4a6a8a10a12(a4a12)(a6a10)a85a8120,解得a824,a8a122a10,2a10a12a824.2已知在等差数列an中,a1120,d4,若Snan (n2),则n的最小值为()A60B62C70D72答案B解析由题意可知,Snna1d2n2122n,ana1(n1)d1244n,由Snan得2n2126n124,解得n1或n62,又n2,n62,故选B.3在等比数列an中,a14,公比为q,前n项和为Sn,若数列Sn2也是等比数列,则q等于()A2B2C3D3答案C解析由题意可得q1,由数列Sn2是等比数列,可得S12,S22,S32成等比数列,所以(S22)2(S12)(