注册设备工程师10年培训课件4

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1、第四章 静态场边值问题的解法,本章主要介绍泊松方程或拉普拉斯方程的求解。求解边值问题的方法，可以分为解析法和数值法两大类。,拉普拉斯方程和泊松方程 拉普拉斯方程和泊松方程是静态场的基本方程。,边值型问题的分类 第一类边值问题（狄利赫利（Dirichlet）问题）：边界上的位函数已知。 第二类边值问题（诺伊曼（Neumann）问题）：位函数在边界上的法向导数已知。 第三类边值问题（混合边值问题）：部分边界上位函数已知，部分边界上位函数的法向导数已知。 如果边界是导体，则上述三类问题分别变为：已知各导体表面的电位；已知各导体表面的总电量；已知一部分导体电位与另一部分导体的电荷量。,边值问题 研究方

2、法,计算法,实验法,作图法,解析法,数值法,实测法,模拟法,定性,定量,积分法,分离变量法,镜像法、电轴法,微分方程法,保角变换法,有限差分法,有限元法,边界元法,矩量法,模拟电荷法,数学模拟法,物理模拟法,4.1 直角坐标系中的分离变量法,应用条件： 界面形状适合用直角坐标系表示, 既场域边界与正交坐标面重合或平行时。,分析方法： 用分离变量法求通解，重点是利用边界条件求定解。 直角坐标系中的拉普拉斯方程：,变量分离,设,拉普拉斯方程变为,上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程：,其中,、 和 为常数，但不能全为实数或全为虚数。,常微分方程的解 以常微分方程 为例，

3、其解的形式为：,若 为实数，则,若 为虚数，即 ，则,或,其中,双曲正弦曲线， 通过原点对原点对称,双曲余弦曲线， 不通过原点，对y轴对称， 顶点（同极小点）：A(0,1),求定解,根据边界条件确定通解中的各个常数。,请参照例题来学习体会。,和 的情况与此类似。故拉普拉斯方程的解为,例4.1.1 求如图长方体积中的电位函数。边界条件为除zc面电位不为零外，其他各表面的电位都为零。Zc表面上给定的电位函数为U（x，y）。,解：显然，长方形体积内的电位满足拉普拉斯方程。,首先观察边界条件，有,要满足在x=0，x=a的边界上，电位为零的边界条件，在f(x)的三种可能的解中只能有,根据x=0面上的边界

4、条件得到,即,又根据x=a的边界条件，有,从而得到 f(x)的解的形式为,同理，对于 g(y)，有,由分离常数之间的关系可知，h(z)只能或者是双曲函数，或者是指数函数，同样要根据边界条件来定。由于当z=0时，h(z)=0，显然采用双曲函数比较方便，代入边界条件：,得到,这里,这样，长方形体积内电位的通解的形式为,令,为新的待定系数，对于具体的U(x,y)，可以利用三角函数的正交性，得出待定系数。,例如对于,代入 z=C 的边界条件，有,两边同乘以,利用三角函数的正交性，在0-a和0-b的区域对x和y积分，有,即,同理，假如,代入边界条件，有,同样利用三角函数的正交性，对上式两边同乘以,在0-

5、a和0-b的区域对x和y积分，有,对等式右边积分，得到,从而有,Cnm由上式确定。,如果有多个边界条件电位不为零，则可利用叠加原理，将问题分解为只有其中一个边界电位不为零，其余边界电位为零，分别求解，最后的解就是所有这些问题的解的叠加结果。,例4.1.2：求如图所示导体槽内的电位。槽的宽度为d，在x和z方向都是无穷大，槽由两块L形的导体构成，两块导体间有一狭缝，外加恒定电压U0。,解：由于在z方向是连续的，因此这个问题是个二维问题，电位只是x和y和函数。 首先考虑边界条件，有,以及当x趋于无穷时，电位应该有限。,对于上面的二维边值问题，可采用叠代法求解，即将原来的边值问题分成如下两个边值问题的

6、叠加来解决。即,1和2分别是图（a）和图（b）的解,对于图（a），当y=a时，电位为U0，当y=0时，电位为0，它相当于求两个无限大平板之间的电位，这是一个一维问题，即电位只在y方向有变化。电位满足的方程为：,根据边界条件，得到：,对于图（b），需首先找出x=0处的边界条件。由于问题的解是图（a）和图（b）问题叠加的结果，因此图（a）和图（b）边界条件的叠加应该等于原来的边界条件，即,从而得到,这两个场叠加后，在y=0和y=d两平面上的边界条件与原题中的一样，而在x=0的平面上有,也和原题相同。根据唯一性定理可知 是我们所求的解。现在只需求解 。,由上述分析可见，场是对称于x=0平面的，只需求

7、出 时的解即可。为了满足y=0和y=d时 的条件，g(y)必定取正弦函数 ；又因为 时， 应为零，所以f(x)应是随x衰减的函数，即取 ，再由 ，,得 。,于是 的解具有如下形式,代入x=0的边界条件，得,用 乘上式两边，并对y从 积分得,只有当s为偶数时， 才不为零，且有,用 2n代替s，n=1,2,3,，得 。于是,和 叠加后，得电位解为,4.2 圆柱坐标系中的分离变量法,应用条件： 界面形状适合用圆柱坐标系表示。 分析方法： 用分离变量法求通解，重点是利用边界条件求定解。,圆柱坐标系中的拉普拉斯方程：,当电位在z方向没有变化时，拉普拉斯方程简化为,设,代入，二维拉普拉斯方程被分离为两个常

8、微分方程，即,拉普拉斯方程变为,要在 r 、 取任意值时，上式都能成立，式中的每一项都必须是常数，即：,而且,则上式可分解为下列两个常微分方程,令,是分离常数, = 0 时，式（F-1）和式（F-2）的解是,（F-1）,（F-2）, 0 时，式（F-1）可写为：,对于g () ，即式（F-2）的解为,这是一个变系数常微分方程，称为欧拉（Euler）方程， 即（式F-1）的解为：,在许多实际问题中, 坐标变量 的变化范围是0 2 ,而电位又必须是单值的,即,这就要求, 应当是整数 ,以 n 表示(n=1,2,3, ).,将上述各式中的 换成 n ,则可得圆柱坐标中的二维拉普拉斯方程的同解是:,(

9、4.2.7),例：一根半径为r0的，介电常数为 的无限长介质圆柱体，放置于均匀外电场E0中，且与E0相垂直。设外电场方向沿x，圆柱轴与z轴相合，如图所示。求圆柱内外的电位函数。,解：在圆柱坐标中 ，外电场 ，可用一个电位函数 表示，故有,设柱内和柱外两个区域的电位函数分别为 和 ，因圆柱无限长，它们均与z无关，解为二维通解,对于 ，当 时，圆柱介质极化的影响已不复存在，场仍然是原来的均匀场 ，所以有这是柱外区域中的一个边界条件。,当 时，,然后用 和 分别乘上式的两边，对 从 积分，因为右边只有 的余弦项，所以只有 的项的系数不等于零，其余的项的系数都为零，所以得到,且当 时， ，得到 ，故柱

10、外区域的解为,式中 仍为待定常数。 其次，圆柱内的解应为,因为 处， 必须为有限制，故通解中所有r的幂项都不存在。这一条件为自然边界条件。,和 为两个区域的电位函数，它们在交界面处相衔接，应用介质交界面的边界条件，首先， 时， 。得到,上式中同样只有 的余弦项系数不等于零，即 ，而上式则为,现利用 时，,得,从以上所得的两个方程式，求解得,于是得到圆柱体外和内的电位函数分别为,圆柱体外和内的电场强度变量为,上式中的第二式表示圆柱体内的电场 是一个均匀电场，它的大小和外加均匀场 相比要小，这是由于介质圆柱被极化后表面出现束缚电荷，它们的电场在圆柱内与外电场方向相反之故。,4.3 球坐标系中的分离

11、变量法,在二维情况下，场在方向无变化，此时,拉氏方程变为：,令,代入，有：,在该式中引入一个新的自变量 ,于是该式可变为,上式的两个解为 和 ，故,于是我们得到电位的解为,分析问题，选坐标系，定坐标轴。 列电位方程。 变量分离，将偏微分方程转换为常微分方程。 分析边界条件，确定解的一般形式。 利用边界条件确定解中的常数。,前提 给定边界与一个适当坐标系的坐标面相合，或者分段地与坐标面相合。 在坐标系中，待求偏微分方程的解可表示为三个函数的乘积，其中每个函数分别是一个坐标的函数。 思路 先将偏微分方程转换为常微分方程，再利用边界条件求解。 解题步骤,分离变量法小结,44 镜像法,镜像法的原理,在

12、已知边界条件，已知电荷分布时，由于边界条件和电荷分布相互影响，直接求解泊松方程和拉普拉斯方程是比较困难的。此时，可在研究的区域之外，用假想的电荷来代替原来的边界，即：由假想的电荷和原来的电荷共同产生的场在边界上满足原来的边界条件，则在所研究的区域内的场即为真实电荷与假想电荷（又称为镜像电荷）产生的场的叠加。采用镜像法可以使这类问题的场解过程变得简单，但它的应用范围是有限的。,思路 用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷。 保持求解区域中场方程和边界条件不变。 使用范围：界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。 步骤 确定镜像电荷的大小和位置。 去掉界面，按原电荷和镜像电荷求解所求

13、区域场。 求解边界上的感应电荷。 求解电场力。,镜像法应用,镜像法应用举例,1. 无限大接地平面上的点电荷 设在无限大导体平面（z=0）附近有一点电荷q，与平面的距离为z=h，如图所示，假设导电平面的电位为零，求上半空间的电场。,解：显然，当点电荷靠近导体平面时，导体平面上会产生感生电荷，上半空间的电场是点电荷与感生电荷电场的合成的结果。,考虑到镜象法的原理，在z=0的平面之下与q对称地放置一个电量为-q的镜象电荷，显然，这个镜象电荷与原来电荷的合成电场满足无限大导体平面的边界条件，即无限大导体平面的影响由镜象电荷-q来代替，上半空间的电场或电位分布就由原来电荷和镜象电荷的场的叠加得出。如图所

14、示：,直接求解感生电荷的分布显然是一个比较困难的问题。,由此得到在上半空间的电位为,求得无限大导体平面上的感生电荷密度：,电场强度：,其中，,感应电荷：,点电荷的平面镜像,设有一点电荷q置于相交成直角的两个半无限大导电平板之前，试分析如何求解这一电场。,设想将导电板撤出，使整个空间充满介电常数为的介质。在如图所示的位置上，放入三个镜像电荷。这样能保证原电场的边界条件不变。原问题中的电场可看成由此四个电荷产生。注意：这种方法只能用来求第一象限的电场。,2. 1800/n角度相交的导体面和点电荷,对于夹角为 的两个相连无限大导电平板间置有点电荷的问题，只要n为整数，在 区域内，可用镜像法解决。,3

15、.点电荷介质分界面的镜像法 例4.4.1 在z0和z0两半空间的场。,解：首先观察电场满足的边界条件，设上半空间的电位为1,下半空间的电位为2，则在分界面上满足的边界条件为：,在下半空间与真实电荷对称的位置放置电荷量为q 的镜象电荷，则在上半空间的电位为:,其中：,对于下半空间，在真实电荷位置，同样放置电量为q的镜象电荷，这样在下半空间，电位为：,根据边界条件，有,即,和,即,联立求解，得到,4. 点电荷与导体球,（a）接地导体球,一个半径为a的接地导体球，在与球心O相距d1的P1点有一点电荷q1，求球外的电位函数。,解：设想在球内P点有一镜象电荷q2，距离球心为d2，如图所示，选择坐标原点和球心重合,则空间（球外）任意点的电位为：,在球面上电位为零，有：,由于在整个球面上，电位都为零，可取两特殊点，试探求解。,对于A点有：,有：,对于B点有：,代入，有：,即：,联立求解：,可以证明，将此结果代入完全满足球面电位为零的条件，从而得到球外电位表达式为：,其中：,空间任意点的电场强度为：,同时，可以证明，总的球面电荷等于镜像电荷。,当电荷位于球内时，则镜像电荷与上题的实际电荷位置互换，则表达式与球外问题相同。值得注意的是，此时的电位是球内的电位问题。,点电荷位于接地导体球附近的场图,(b) 不接地导体球,对于不接地导体球，其球面电位为常数，同