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1、3.1 静 电 场 分 析,1. 基本方程,积分形式,微分形式,及,2. 边界条件,两种电介质分界面,理想介质表面,理想导体表面,（静电场是有源无旋场）,对应静电场的基本方程 ，矢量 可以表示一个静电场。,例 已知 ，试判断它能否表示一个静电场？,解：根据静电场的旋度恒等于零的性质,3. 电位函数,在静电场中可先通过求解电位函数， 再利用上式可方便地求得电场强度 ，式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。,点电荷系,连续分布电荷,点电荷的电势：,，根据矢量恒等式，知,静电场,静电场的电位函数(Potential)，简称电位,静电场的电场强度矢量等于电位梯度的负值。,当取不同的 C 值时，
2、可得到不同的等位线（面）。, 在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即,线垂直于等位面，且总是指向电位下降最快的方向。,在直角坐标系中：, 物理意义,物理意义：把一个单位正电荷从点沿任意路径移动到点的过程中， 电场力所做的功。, 设为电位参考点,电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；,电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。, 静电位的微分方程,静电位满足的标量泊松方程,静电位满足的标量拉普拉斯方程,（在均匀、线性和各向同性的电介质中）,分界面上不存在自由电荷，, 静电位的边界条件,设点1与点2分别位于分界面的两侧，其电位分别为 和 。,其间距,又,介质分界面两侧电位连续,第二种媒
3、质为导体，,例 列出求解区域的微分方程,解: 分区域建立方程,例 两块无限大接地导体平板分别置于 和 处，在两板之间的 处有一面密度为 的均匀电荷分布，求两导体平板之间的电位和电场。,边界条件,通解,解得,电位：,电场强度（球坐标梯度公式）：,对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由 得到电场强度 的分布。, 静电位的边界条件,分界面上不存在自由电荷，,第二种媒质为导体，, 静电位的微分方程,泊松方程,拉普拉斯方程, 电位定义式, 电位与电场强度的关系,点电荷的电位,例 计算均匀带电球面电场中的电势
4、分布。球半径为R、总电量为q。,解：根据高斯定理求出电场的分布,r R E0,r R,设U0,rR时,rR时,rR时,4. 导体系统的电容,电容器广泛应用于电子设备的电路中：,在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁路、选频等作用。,通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂电路。,在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以减少电能的损失和提高电气设备的利用率。,电容与电容器上所带电量无关，完全由电容器本身的几何形状、尺寸及周围电介质的特性参数决定。,由物理学得知，平板电容器正极板上携带的电量 q 与极板间的电位差 U 的比值是一个常数，此常数称为平板电容器的电容，即
5、电容为,电容的单位F（法拉）太大。例如半径大如地球的孤立导体的电容只有 F。实际中，通常取F（微法）及pF（皮法）作为电容单位。,电容的计算思路： 设,例 试求球形电容器的电容。,解：设内导体的电荷为 ，则,同心导体间的电压,球形电容器的电容,当 时，,（孤立导体球的电容）, 双导体的电容,传输线：纵向尺寸远大于横向尺寸。平行板线、平行双线、同轴线,可作为平行平面电场（二维场）来研究，只需计算传输线单位长度电容。,计算步骤如下：,根据导体的几何形状，选取合适的坐标系；,假定两导体上分别带电荷 和 ；,根据假定的电荷求出 ；,由 求得电位差；,求出比值 。,例平行双线传输线，导线半径为a，轴距为
6、D。D a,设两导线单位长度带电量分别为 和 。,例 已知同轴线的内导体半径为 a，外导体的内半径为b，内外导体之间填充介质的介电常数为 。试求单位长度内外导体之间的电容。,解 由于电场强度一定垂直于导体表面，因此，同轴线中电场强度方向一定沿径向方向。又因结构对称，可以应用高斯定律。,设内导体单位长度内的电量为q，围绕内导体作一个圆柱面作为高斯面S，则,那么内外导体之间的电位差 U 为,因此同轴线单位长度内的电容为,多导体系统中，每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关，还与其他导体上的电荷有关，因为周围导体上电荷的存在必然影响周围空间静电场的分布，而空间的电场是由它们共同产生的。,此时，各个导体
7、上的电荷与导体间的电位差的关系为,式中Cii 称为第 i 个导体的固有部分电容；Cij 称为第 i 个导体与第j 个导体之间的互有部分电容。, 部分电容,在多导体系统中，把其中任意两个导体作为电容器的两个电极，设在这两个电极间加上电压U，极板上所带电荷分别为 ，则比值 称为这两个导体间的等效电容。,由 个导体构成的系统共有 个部分电容。,5. 电场能量,已知在静电场的作用下，带有正电荷的带电体会沿电场方向发生运动，这就意味着电场力作了功。静电场为了对外作功必须消耗自身的能量，可见静电场是具有能量的。,首先根据外力作功与静电场能量之间的关系计算电量为 Q 的孤立带电体的能量。,如果静止带电体在外
8、力作用下由无限远处移入静电场中，外力必须反抗电场力作功，这部分功将转变为静电场的能量储藏在静电场中，使静电场的能量增加。,由此可见，根据电场力作功或外力作功与静电场能量之间的转换关系，可以计算静电场能量。,设带电体的电量 Q 是从零开始逐渐由无限远处移入的。由于开始时并无电场，移入第一个微量 dq 时外力无须作功。,孤立导体,电场能量为,当第二个dq 移入时，外力必须克服电场力作功。若获得的电位为 ，则外力必须作的功为 dq ，,因此，电场能量的增量为 dq 。,带电体的电位随着电荷的逐渐增加而不断升高，可见电位是电量 q 的函数。,那么当电量增至最终值 Q 时，外力作的总功，也就是电量为 Q
9、 的带电体具有的能量为,双导体系统，导体1带电荷 ，导体2带电荷 ，电位分别为 和,电场能量为,对于 N 个带电体具有的总能量，也可采用同样的方法进行计算。,系统的总电场能为,多导体带电系统,当带电体的电荷为连续的体分布、面分布或线分布电荷时，由 ，求得这种分布电荷的带电体总能量为,从场的观点来看，静电场的能量分布在电场所占据的整个空间，应该计算静电场的能量分布密度。静电场的能量密度以小写英文字母we 表示。, 静电场的能量密度we,只要电荷分布在有限区域内，而闭合面无限扩大时点电荷电场,则,能量密度,对于各向同性的线性介质， ，代入后得,此式表明，静电场能量与电场强度平方成正比。因此，能量不
10、符合叠加原理。虽然几个带电体在空间产生的电场强度等于各个带电体分别产生的电场强度的矢量和，但是，其总能量并不等于各个带电体单独存在时具有的各个能量之和。事实上，这是因为当第二个带电体引入系统中时，外力必须反抗第一个带电体对第二个带电体产生的电场力而作功，此功也转变为电场能量，这份能量通常称为互有能，而带电体单独存在时具有的能量称为固有能。,例 半径为 a的球形空间均匀分布着体电荷密度为的电荷，试求电场能量。,解 可以通过二种途径获得相同结果,由高斯定理求电场强度，代入能量公式,由电位定义求电位，代入能量公式,6. 电场力,已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电体电荷之间的电场力
11、。但是，对于电荷分布复杂的带电系统，根据库仑定律计算电场力是非常困难的，有时甚至无法求积。为了计算具有一定电荷分布的带电体之间的电场力，通常采用虚位移法。这种方法是假定带电体在电场作用下发生一定的位移，根据位移过程中电场能量的变化与外力及电场力所作的功之间的关系计算电场力。,以平板电容器为例，设两极板上的电量分别为+q 及 -q ，板间距离为 l 。为了计算方便，假定在电场力作用下，极板之间的距离增量为dl。众所周知，两极板间的相互作用力实际上导致板间距离减小。因此，求出的作用力应为负值。,既然认为作用力 导致位移增加，因此，作用力 的方向为位移的增加方向。这样，为了产生 位移增量，电场力作的
12、功应为 。根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即,由此求得,式中脚注 q=常数 说明当极板发生位移时，极板上的电量没有发生变化，这样的带电系统称为常电荷系统。,已知平板电容器的能量为 。对于常电荷系统，发生位移时电量 q 未变，只有电容 C 改变了。,式中S 为极板的面积，l 为两极板的间距。将这些结果代入上式，求得平板电容器两极板之间的作用力为,已知平板电容器的电容,式中负号表明作用力的实际方向是指向位移减小的方向。,如果假定发生位移时，电容器始终与电源相连，这样，在虚位移过程中，两极板的电位保持不变，这种系统称为常电位系统。根据这种常电位的假定，也可以计算平板电容器两极板之间
13、的作用力，所得结果应该与上完全相同。,设在电场力作用下，极板间距的增量为dl。由于电容改变，为了保持电位不变，正极板的电荷增量为dq，负极板的电荷增量为-dq 。设正负极板的电位分别为 1 及 2 ，则电场能量的增量为,式中 为两极板之间的电压。,为了将 dq 电荷移至电位为 1的正极板，将电荷-dq移至电位为 2的负极板，外源必须作的功为,根据能量守恒原理，外源作功的一部分供给电场力作功，另一部分转变为电场能的增量，因此,求得,例 利用虚位移法计算平板电容器极板上受到的表面张力。,解 利用虚位移概念，假定由于同一极板上的同性电荷相斥产生的表面张力为F。在此表面张力F 的作用下，使极板面积扩大
14、了dS，则电场力作的功为FdS。根据能量守恒原理，这部分功应等于电场能量的减小值，即,已知平板电容器的能量为 ，代入上式，得,若虚位移时，极板与外源相连，因而电位保持不变。那么，表面张力F 应为,那么将 代入，即可获得同样结果。,如果将 及 两式中的变量 l 理解为一种广义坐标，也就是说，l 可以代表位移、面积、体积甚至角度。那么，企图改变这种广义坐标的作用力称为对于该广义坐标的广义力。,显然，对于不同的广义坐标，其广义力的含义不同。对于位移而言，广义力就是普通概念的力，单位为N；对于面积，广义力为表面张力，单位为N/m；对于体积，广义力为膨胀力或压力，单位为N/m2；对于角度，广义力为转矩，
15、单位为Nm。若规定广义力的方向仍然为广义坐标增加的方向，那么，广义力与广义坐标的乘积仍然等于功。这样，前两式可分别改写为,两式中的微分符号变为偏微分是考虑到系统的能量可能与几种广义坐标有关。l 代表对应于广义力的广义坐标。由上两式可见，带电系统的能量与多少种广义坐标有关，就存在多少种广义力。当带电系统的某一广义坐标发生变化时，若带电系统的能量没有发生变化，也就不存在使该广义坐标发生变化的广义力。,例 计算带电肥皂泡的膨胀力。,解 设肥皂泡的电量为q ，半径为a。利用常电荷系统公式，令式中广义坐标 l 代表体积 V，则受到的膨胀力F 为,已知半径为a，电量为q 的带电球的电位为,因此，携带的能量为,又知球的体积为,代入上式，得,
