《高三数学复习文科--立体几何习题精选精讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学复习文科--立体几何习题精选精讲（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、例谈立体几何中的转化立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最重要的就是转化的思想方法，它贯穿立体几何教学的始终，在立体几何教学中占有很重要的地位。立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化，具体从以下几个方面入手。1、 位置关系的转化线线、线面、面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容，其精髓就是平行与垂直位置关系的相互依存及转化，平行与垂直问题不但能横向转化，而且可以纵向转化。例1 已知三棱锥SABC中，ABC90，侧棱SA底面ABC，点A在棱SB和SC上的射影分别是点E、F。求证EFSC。图1ESFCBA分析：A、E、F三点不共线，AFSC，要证EFSC，只要证SC平面
2、AEF，只要证SCAE（如图1）。又BCAB，BCSA，BC平面SAB，SB是SC在平面SAB上的射影。只要证AESB（已知），EFSC。B E A D1C F C1 图2D例2 设矩形ABCD，E、F分别为AB、CD的中点，以EF为棱将矩形折成二面角AEFC1(如图2)。求证：平面AB1E平面C1DF。分析一（纵向转化）：AEDF，AE平面C1DF， AE平面C1DF.同理，B1E平面C1DF，又AEB1EE，平面AB1E平面C1DF。分析二（横向转化）：AEEF，B1EEF，且AEB1EE，EF平面C1DF。同理，EF平面C1DF 。平面AB1E平面C1DF。2、降维转化由三维空间向二维平
3、面转化，是研究立体几何问题的重要数学方法之一。降维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一个平面中去，用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题。如线面垂直的判定定理的证明就是转化为三角形全等的平面问题。图-3例3 如图-3，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC=，BB1=2，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 . 分析：这类问题通常都是将几何体的侧面展开成平面图形来解决。又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平面上两相交直线成的角来进行的。例4 如图-4直四棱柱中，底面ABCD是直角梯形，A是直角，AB|CD，AB=4，AD=
4、2，DC=1，求异面直线与DC所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）解：由题意AB/CD，是异面直线BC1与DC所成的角.连结AC1与AC，在RtADC中，可得，又在RtACC1中，可得AC1=3.在梯形ABCD中，过C作CH/AD交AB于H，图-4得又在中，可得，在异而直线BC1与DC所成角的大小为。实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等等。3、割补转化“割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，通过“割”或“补”可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口。ABCPED图5例5 如图5，三棱锥PABC中，已知PAB
5、C，PABCn,PA与BC的公垂线EDh，求证：三棱锥PABC的体积Vn2h.此题证法很多，下面用割补法证明如下：分析一：如图5，连结AD、PD，BCDE，BCAB， BC平面APD，又DEAP，VPABCVBAPDVCAPDBCSAPD 。 B图6ACPB1C1E分析二：如图6，以三棱锥PABC的底面为底面，侧棱PA为侧棱，补成三棱拄 PB1C1ABC，连结EC、EB，则易证AP平面EBC， V三棱拄APSEBC n2h。VPABC = V三棱拄 = 。 A1 D1B1 E FD B C A1C14、等积转化“等积法”在初中平面几何中就已经有所应用，是一种很实用的数学方法与技巧。立体几何中的
6、“等积转化”（或称等积变换）是以面积、体积（尤其是四面体的体积）作为媒介，来沟通有关元素之间的联系，从而使问题得到解决。例6 如图7，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1EBFD1的体积。略解：易证四边形EBFD1是菱形，连结A1C1、EC1、AC1、AD1， 则VA1-EBFD1=2VA-EFD=2VF- A1ED1=2VC1- A1ED1 A O C B 图8 =2VE- A1C1D1=VA-A1C1D1=V正方体AC1a3。图-75、抽象向具体转化A D B CA1 D1 B1 C1 图9例7 A、B、C是球O面上三点，弧AB、
7、AC、BC的度数分别是90、90、60。求球O夹在二面角BAOC间部分的体积。分析：此题难点在于空间想象，即较抽象。教师 引导学生读题：条件即AOBAOC90，BOC60，然后给出图形（如图8），则可想象此题意即为用刀沿60二面角，以直径为棱将一个西瓜切下一块，求这一块西瓜的体积，（答：）。问题于是变得直观具体多了。例8 三条直线两两垂直，现有一条直线与其中两条直线都成60角，求此直线与另外一条直线所成的角。分析：由条件想象到长方体的三条棱也两两垂直，于是问题可以转化为如下问题：长方体一条对角线与同一顶点上的三条棱所成的角分别是60、60、，求的大小。根据长方体的性质，有coscos60cos
8、601，可求得45。立体几何的教学，关键是要调动学生的学习兴趣，让他们学会联想与转化。立体几何的许多定理、结论源自生活实际，源自平面几何，要教会学生联想实际模型，联想平面几何中已经熟悉的东西，借助可取之材来建立空间想象，加强直观教学，这样就容易让学生接受，让他们喜欢上这一门学科，从而更有效地培养他们的空间想象力，提高他们解决立体几何问题的能力。立方体在高考题中立方体是高中课本里空间图形中的最基本、最常用、最重要的几何体. 首先：其本身中的点、线、面的位置关系包涵了空间图形中的所有的位置关系. 其次：它与代数(如：不等式、函数与数列、排列组合等)、三角、解析几何有着密切联系. 因而它是高考命题的
9、热点. 下面从数学思想方法方面探究其重要性.一体现数形结合思想12004年天津卷(6)如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点.那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于.(A) (B) (C) (D)XYZ分析：可建立空间直角坐标系(如图),转化为空间向量的数量关系运用数量积来求解,可得=(1,1,1), =(1,0,2)=, =,有 =(1,1,1) (1,0,2)=3BACD又 = cos cos=3即cos=.故选(B)注：立方体具有的直观性特点从垂直联想到运用向量法求解(将形和数很好地结合起来)是个好方法.22003年全国卷（12）一个四面体的所有棱长
10、都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）（A） （B）4 （C） （D） 分析：本题中没有立方体,可充分挖掘是正四面体特点补形成立方体.如图,将正四面体ABCD补成立方体,则正四面体、立方体的中心与其外接球的球心共一点.因为正四面体的棱长为,所以正方体棱长为1,从而外接球半径R=,得.故选(A).注：“补形割体”构造模型,进行适当的变形为熟悉的模型从而很方便地进行计算使问题得到顺利的解决,是处理空间图形中惯用的手段.二体现转化与化归思想PMNlPNMlNlPMlMNPNlPM32003年全国(理)(16)下列5个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能
11、得出面MNP的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）_. 分析：易知是合要求的，由于五个图形中的在同一位置,只要观察图 中的平面MNP哪一个和中的平面MNP平行(转化为面面平行) 即可.故为:注：本题中选中平面MNP作为“参照系”,可清淅解题思路,明确解题目标.ABCDP42004年北京卷（4）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（A） 直线（B） 圆（C） 双曲线（D） 抛物线分析：易知P到直线C1D1的距离为：.由C1是定点, BC是定直线.条件即动点P到定点C1的距离等于到定直线
12、BC的距离.符合抛物线的定义,化归为抛物线问题.故选(D)注：立几中的解几问题是近年来才露脸的题型,要求熟练掌握立体几何和解析几何所有知识内容,更要有跳跃的思维,较强的转换能力.三体现分类讨论思想52000年全国卷（16）如图，E、F分别为正方体的面、 面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是_。（要求：把可能的图的序号都填上）分析：因正方体是由三对平行面所组成,所以只要将四边形在三个方向上作投影即可,因而可分为三类情况讨论.在面ABCD上作投影可得(平行四边形).在面上作投影可得(线段).在面上作投影可得(平行四边形).故可填为：注：截面、射影的问题是空间图形和平面问题间变换的一种重要题型,象本题一样的定性分析题一定要抓住图形的特性(平行、垂直等)进行分析.62004年湖南卷(10) 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,其中直角三角形的个数为(A)56 (B) 52 (C)48 (D)40分析：可将合条件的直角三角形分为两类：第一类：三个顶点在正方体的同一个面上时有：6=24个.第二类：三个顶点在正方体的相对的两个面上时,直角三角形所在的平面一定是正方体的对角面,因而有：64=24个.故
