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1、此文件可在网址下载,概率论习题讲解,3. 求出服从在B上均匀分布的随机变量(x,h)的分布密度及分布函数, 其中B为x轴、y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区域,求分布函数的过程：y=2x+1,F(x,y)=0的区域:,求分布函数的过程：y=2x+1,F(x,y)=1的区域:,求分布函数的过程：y=2x+1,x,(x,y),梯形的上底为x-(y-1)/2, 下底为x-(-1/2), 高为y, 面积就是,求分布函数的过程：y=2x+1,(x,y),三角形的底为x-(-1/2), 高为2x+1, 面积为,求分布函数的过程：y=2x+1,x,1,y,y=2x+1,(x,y),梯形的上底为(1-y)
2、/2, 下底为1/2, 高为y, 梯形的面积为,8.1 设(x,h)服从在A上的均匀分布, 其中A为x轴、y轴及直线x+y+1=0所围成的区域. 求(1) Ex;(2) E(-3x+2h);(3) E(xh);(4) s2(x),s(x).,x,y,x+y+1=0,-1,-1,A,8.1 设(x,h)服从在A上的均匀分布, 其中A为x轴、y轴及直线x+y+1=0所围成的区域. 求(1) Ex;(2) E(-3x+2h);(3) E(xh);(4) s2(x),s(x).解: (x,h)的分布密度为,x,y,x+y+1=0,-1,-1,A,由对称性得,因此,7.12 设某单位有200台电话机,
3、每台电话机大约有5%的时间要使用外线通话. 若每台电话机是否使用外线是独立的, 问该单位总机至少需要安装多少条外线, 才能以90%以上的概率保证每台电话机需要使用外线时可供使用.,7.12 设某单位有200台电话机, 每台电话机大约有5%的时间要使用外线通话. 若每台电话机是否使用外线是独立的, 问该单位总机至少需要安装多少条外线, 才能以90%以上的概率保证每台电话机需要使用外线时可供使用.解: 设x为每时刻用外线通话的电话机数, 则xB(200,0.05), Ex=10, s2(x)=9.5, 近似有xN(10,9.5), 假设有n根外线可满足题意的要求, 即Pxn=0.9, 但,即,反查
4、标准正态分布函数表得,解得,6.9 如果x,h的分布密度用下列表格给出:,那么a,b取什么值时, x,h才相互独立?,6.9 如果x,h的分布密度用下列表格给出:,那么a,b取什么值时, x,h才相互独立? 解: 将表格重绘成如下形式:,因为x与h相互独立, 就导致上面两行成比例, 上面三列也成比例. 因为(1/3)是(1/6)的二倍, 所以a和b就必须是1/9和1/18的二倍, 因此,5.17 设电子管的寿命具有密度函数,(单位:小时),问在150小时内 (1) 三只管子中没有一只损坏的概率是多少? (2) 三只管子全损坏的概率是多少?,5.17 设电子管的寿命具有密度函数,(单位:小时),
5、问在150小时内 (1) 三只管子中没有一只损坏的概率是多少? (2) 三只管子全损坏的概率是多少? 解: 假设一只管子寿命小于150小时的概率为p, 则,设x是三只管子中寿命小于150的数目, 则xB(3,1/3), 因此有,没有一只坏的概率为,三只都坏的概率为,4.8 设一个口袋中有六个球. 令A1、A2、A3依次表示这个球为四红、二白，三红、三白，两红、四白这三种情形. 设验前概率为,从这口袋中任取一个球, 得到了白球. 求相应的验后概率.,4.8 设一个口袋中有六个球. 令A1、A2、A3依次表示这个球为四红、二白，三红、三白，两红、四白这三种情形. 设验前概率为,从这口袋中任取一个球
6、, 得到了白球. 求相应的验后概率.,a1,a1,a1,a2,a3,a3,4.8 设一个口袋中有六个球. 令A1、A2、A3依次表示这个球为四红、二白，三红、三白，两红、四白这三种情形. 设验前概率为,从这口袋中任取一个球, 得到了白球. 求相应的验后概率. 解: 设取得白球为事件B, 则依题意有,根据全概率公式有,相应的后验概率为,同理算得,3.7 在线段AD上任取两点B,C, 在B,C处折断而得三个线段. 求这三个线段能构成三角形的概率,3.7 在线段AD上任取两点B,C, 在B,C处折断而得三个线段. 求这三个线段能构成三角形的概率.解: 设A点为原点, 线段的长度为a, 任取的两点B,
7、C距A点的距离为x,h, 因此x,h在一个方形区域G里服从均匀分布, 如下图所示,先考虑hx的情况可由对称性获得,三条线段能构成三角形, 要求每一条线段的长度小于另两条线段的长度之和, 而三条线段的长度分别为h, a-x, x-h, 因此得到三个不等式h+(a-x)x-h, h+(x-h)a-x, (a-x)+(x-h)h.整理这三个不等式, 得,h+(a-x)x-h, h+(x-h)a-x, (a-x)+(x-h)h.,满足不等式的区域如下图所示:,由对称性, 再加进hx的情况, 则可构成三角形的区域如下图所示:,由图中可看出所求概率为1/4,8.5 证明: 当k=Ex时, E(x-k)2的
8、值最小, 最小值为s2(x).,8.5 证明: 当k=Ex时, E(x-k)2的值最小, 最小值为s2(x).证: 将E(x-k)2视为k的函数, 即令f(k)=E(x-k)2.则f(k)=E(x2-2kx+k2)=E(x2)-2kE(x)+k2, 将f(k)对k求导数并令其为0, 得,解得k=E(x), 再将f(k)对k求二阶导得,可知E(x)在f(k)处取最小值, 证毕.,8.12 设x,h相互独立, 分布密度分别为,求E(xh).,8.12 设x,h相互独立, 分布密度分别为,求E(xh). 解: 因x,h相互独立, E(xh)=E(x)E(h), 而,因此,6.10 设随机变量(x,h
9、)的分布密度函数为,(1) 求参数c; (2) 证明x与h相互独立.,6.10 设随机变量(x,h)的分布密度函数为,(1) 求参数c; (2) 证明x与h相互独立. 解: (1) 因,j(x,y)=j1(x)j2(y), 所以x,h相互独立.,3.8 某城市有50%住户订日报, 有65%住户订晚报, 有85%住户至少订这两种报纸中的一种, 求同时订这两种报纸的住户的百分比.,3.8 某城市有50%住户订日报, 有65%住户订晚报, 有85%住户至少订这两种报纸中的一种, 求同时订这两种报纸的住户的百分比.解: 设A为住户订日报, B为住户订晚报, 则A,B满足P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB), 因此有P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.65-0.85=0.3,
