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1、德莫根公式,记号 概率论 集合论 样本空间, 必然事件 空间 不可能事件 空集 样本点 元素 AB A发生必然导致B发生 A是B的子集 AB= A与B互不相容 A与B无相同元素 AB A与B至少有一发生 A与B的并集 AB A与B同时发生 A与B的交集 AB A发生且B不发生 A与B的差集 A不发生、对立事件 A的余集,基本事件互不相容，基本事件之并=,注意点(1),注意点(2),若 A1，A2，An 有 1. Ai互不相容； 2. A1A2 An= 则称 A1，A2，An 为的一组分割.,样本空间的分割,非负性公理： P(A)0; 正则性公理： P()=1; 可列可加性公理：若A1, A2,
2、 , An 互不相容，则,概率的公理化定义,从 n 个元素中任取 r 个，求取法数. 排列讲次序，组合不讲次序. 全排列：Pn= n! 0! = 1. 重复排列：nr 选排列：,1.2.2 排列与组合公式,组 合,组合：,加法原理,完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+mn种不同的方法.,乘法原理,完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有m1种方法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第 n 步有mn种方法，则完成这件事共有 m1m2mn种不同的方法.,n 个人围一圆桌坐
3、， 求甲、乙两人相邻而坐的概率.,解：考虑甲先坐好，则乙有n-1个位置可坐， 而“甲乙相邻”只有两种情况，所以,P(A) = 2/(n-1)。,例,n个人坐成一排， 求甲、乙两人相邻而坐的概率. (注意：请与上一题作比较),解：1) 先考虑样本空间的样本点数： 甲先坐、乙后坐，则共有n(n1) 种可能. 2) 甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能. 3) 甲在中间(n2)个位置上，则乙左右都可坐， 所以共有2(n2)种可能。由此得所求概率为：,例,AB=，P(A)=0.6，P(AB)=0.8， 求 B 的对立事件的概率。,解：由 P(AB) = P(A) + P(B)P(AB) = P(A)+P
4、(B),例,得 P(B) = P(AB)P(A) = 0.80.6 = 0.2，,所以 P( ) = 10.2 = 0.8.,例,解：因为 P(AB) = P(A)P(AB) ，所以先求 P(AB),由加法公式得 P(AB) = P(A)+P(B)P(AB),= 0.4+0.30.6=0.1,所以 P(AB) = P(A)P(AB) = 0.3,P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6， 求 P(AB).,例,解：因为A、B、C 都不出现的概率为,= 1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC) = 11/41/41/4+0+1/6+1/60 =15
5、/12 = 7/12,P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/6, 求 A、B、C 都不出现的概率.,口袋中有n1个黑球、1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球.求第k 次取到黑球的概率.,利用对立事件,解：记A为“第k 次取到黑球” ，则A的对立事件为,“第k 次取到白球” .,而“第k 次取到白球” 意味着：,“第1次第k1次取到黑球，而第k 次取到白球”,例,解：用对立事件进行计算,记 A=“至少出现一次6点”，,则所求概率为,一颗骰子掷4次，求至少出现一次6点的概率.,例,解：记 B = “至少出现一次双6点”，,则所求概率为
6、,两颗骰子掷 24 次， 求至少出现一次 双6点 的概率.,从 1, 2, , 9中返回取n次， 求取出的n个数的乘积能被10整除的概率.,利用对立事件和加法公式,解：因为 “乘积能被10整除” 意味着：,“取到过5”(记为A) 且 “取到过偶数” (记为B)。,因此所求概率为 P(AB).,利用对立事件公式、德莫根公式和加法公式,甲掷硬币n+1次，乙掷n次. 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.,利用对称性,解：记甲正=甲掷出的正面数，乙正=乙掷出的正面数. 甲反=甲掷出的反面数，乙反=乙掷出的反面数.,因为 P(甲正乙正)= P(n+1-甲反 n-乙反),= P(甲反-1乙反),=
7、P(甲反乙反),= 1P(甲正乙正) (对称性),所以 2P(甲正乙正)=1,由此得 P(甲正乙正)=1/2,1) 缩减样本空间： 将 缩减为B=B. 2) 用定义： P(A|B) = P(AB) / P(B).,条件概率 P(A|B) 的计算,10个产品中有7个正品、3个次品，从中 不放回地抽取两个， 已知第一个取到次 品，求第二个又取到次品的概率.,P(B|A) = P(AB) / P(A) = (1/15) / (3/10) = 2/9,解：设 A = 第一个取到次品， B = 第二个取到次品，,例,条件概率 P(A|B)满足概率的三条公理. 由此得： P(AB|C) = P(A|C)
8、+ P(B|C) P(AB|C)； 若 A 与 B 互不相容，则 P(AB|C) = P(A|C) + P(B|C) ； P( |B) = 1 P(A|B).,条件概率是概率,P(|B) = 1 ; P(B|) 1 ; P(A|) = P(A) ; P(A|A) = 1.,注 意 点,乘法公式; 全概率公式； 贝叶斯公式.,条件概率的三大公式,性质1.4.2 (1) 若 P(B)0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)0，则 P(AB) = P(A)P(B|A). (2) 若 P(A1A2 An1)0，则 P(A1A2 An) = P(A1)P(A2|A1) P(An|A1
9、A2 An1),乘法公式,乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率. 一批零件共有100个，其中10个不合格品。从中一个一个不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率. 解：记 Ai=“第i 次取出的是不合格品” Bi=“第i 次取出的是合格品”, 目的求 P(B1B2A3) 用乘法公式 P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1) P(A3|B1B2) =,乘法公式的应用,性质1.4.3 若事件B1, B2 , , Bn是样本空间的一组分割，且 P(Bi)0，则,全概率公式,全概率公式用于求复杂事件的概率. 使用全概率公式关键在于寻找另一组事件 来“分割”样本空间. 全概率公式最简单的形式：
10、,注意点(1),若事件B1, B2 , , Bn是互不相容的，且 P(Bi)0，,注意点(2),则由 可得,设10 件产品中有 3 件不合格品，从中 不放回地取两次，每次一件，求取出 的第二件为不合格品的概率。,解： 设 A = “第一次取得不合格品”， B = “第二次取得不合格品”. 由全概率公式得：,= (3/10)(2/9)+(7/10)(3/9),= 3/10,例,n 张彩票中有一张中奖，从中不返回地摸 取，记 Ai为“第 i 次摸到中奖券” ，则 (1) P(A1) =1/n . (2) 可用全概率公式计算得 P(A2)=1/n . (3) 可用归纳法计算得 P(Ai)=1/n ,
11、 i=1, 2, , n.,摸 彩 模 型,n 张彩票中有 k 张中奖，从中不返回地摸取， 记 Ai 为“第 i 次摸到奖券” ，则 P(Ai) = k/n , i=1, 2, , n 结论：不论先后，中彩机会是一样的.,摸 彩 模 型 (续),甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、 m只黑球. 从甲口袋任取一球放入乙口袋，然后 从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白 球的概率. 概率为：,全概率公式的例题,乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率； 全概率公式是求“最后结果”的概率； 贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因”的概率.,贝叶斯公式,若事件B1, B2 , , Bn是
12、样本空间的一组分割，且P(A)0, P(Bi)0，则,贝叶斯（Bayes）公式,1) B1, B2, ., Bn可以看作是导致A发生的原因; 2) P(Bj|A)是在事件A发生的条件下, 某个原因Bj 发生的概率, 称为 “后验概率”; 3) Bayes公式又称为“后验概率公式”或“逆概公式”; 4) 称P(Bj) 为“先验概率”.,注 意 点,例 某商品由三个厂家供应，其供应量为：甲厂家是乙厂家的2倍；乙、丙两厂相等。各厂产品的次品率为2%, 2%, 4%. 若从市场上随机抽取一件此种商品，发现是次品，求它是甲厂生产的概率?,解：用1、2、3分别记甲、乙、丙厂，设 Ai =“取到第i 个工厂
13、的产品”，B=“取到次品”， 由题意得: P(A1)=0.5, P(A2)=P(A3)=0.25； P(B|A1)= P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=0.04.,= 0.4,由Bayes公式得:,事件的独立性 直观说法：对于两事件，若其中任何一个 事件的发生不影响另一个事件的发生， 则这两事件是独立的. P(A|B) = P(A) P(AB)/P(B) = P(A) P(AB) = P(A)P(B),独立性,定义 若事件 A 与 B 满足： P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立，简称A与B独立. 结论 A、B 为两个事件，若 P(A)0, 则 A 与 B 独立等价于
14、P(B|A)=P(B). 性质 若事件A与B独立，则 A 与 独立、 与 B独立、 与 独立.,两个事件的独立性,实际应用中，往往根据经验来判断两个事件 的独立性：例如 返回抽样、甲乙两人分别工作、重复试验等.,事件独立性的判断,多个事件的相互独立性,对于A、B、C三个事件，称满足： P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C) 为A、B、C 两两独立. 称满足：P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 为A、B、C三三独立.,定义1.5.3 若事件 A1,A2 , An满足： 两两独立、三三独立、n n 独立 则称A1,A2 , An 相互独立.
15、,若A、B、C 相互独立，则 AB 与 C 独立, AB 与 C 独立, AB 与 C 独立.,一 些 结 论,例 两射手独立地向同一目标射击一次，其 命中率分别为 0.9 和 0.8，求目标被击中的概率.,解: 设 A =“甲中”, B= “乙中”, C= “目标被击中”, 所以,解法i) P(C) = P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B) = 0.9+0.80.90.8 = 0.98.,解法ii) 用对立事件公式 P(C) = P(AB) = 1 (1 0.9)(1 0.8) = 1 0.02 = 0.98.,例 甲、乙两人独立地对同一目标射击 一次，其命中率分别为 0.6 和 0.7，现已知 目标被击中，求它是甲击中的概率.。,解:设 A =“甲中”, B= “乙中”, C= “目标被击中”, 所以,P(A|C) = P(AC)/P(C) = P(A)/P(A)+P(B)P(A)P(B) = 0.6/0.88 = 15/22,例 两射手轮流对同一目标进行射击，甲先射， 谁先击中则得胜。每次射击中，甲、乙命中目标 的概率分别为 和 ，求甲得胜的概率。,解:,因为 P(甲胜) = + (1 )(1 ) P(甲胜),所以 P(甲胜) = / 1 (1 )(1 ) .,例 口袋中有3个白球、5个黑球，甲、乙 两人轮流从口袋中有返回地取一球，甲先取.
