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1、第四章 随机变量的数字特征与极限定理,返回,帮助,数学期望,方差,几个重要随机变量的数学期望与方差,协方差与相关系数,矩、协方差矩阵,大数定理与中心极限定理,小结与思考题,一.数学期望的定义,例1 设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示： 分数 40 60 70 80 90 100 人数 1 6 9 15 7 2,数学期望描述随机变量取值的平均特征,返回,下页,上页,则学生的平均成绩是总分总人数(分)。即,定义4.1 设X是离散型随机变量，它的分布律是: P(X=xk)=pk , k=1,2,上页,下页,返回,例2 掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。,返回,下页
2、,上页,例3 某厂生产的产品中，25%是一等品，50 %是二等品，15 %是三等品，10 %是次品。如果每件一，二，三等品分别获利5、4、3元，一件次品亏损2元，试问该厂可以期望每件产品获利多少元？,解 设X表示每件产品的利润，显然它是一个离散型随机变量，其分布律为,X,pi,-2 3 4 5,0.1 0.15 0.5 0.25,定义 4.2 设X是连续型随机变量，其概率密度函数为f(x), -x,则称,为随机变量X的数学期望。,所以,E(X)=(-2)x0.1+3x0.15+4x0.5+5x0.25=3.5,即每生产一件产品平均获利3.5元。,上页,下页,返回,例4. 若随机变量X服从拉普拉
3、斯分布，其密度函数为,试求E(X).,解,返回,下页,上页,例5：设随机变量X的分布律为,解:,求随机变量Y=X2的数学期望,X,Pk,-1 0 1,Y,Pk,1 0,4.1.2.随机变量函数的期望,返回,下页,上页,定理1 设X是离散型随机变量,它的分布律PX=xk=pk, k=1,2, 则Y=g(X)（g是连续实函数）,若 g(xk)pk绝对收敛， 则Y的期望E(g(X)为,推论: 设(X, Y)是二维离散型随机变量，它们的联合分布律为 PX=xi ,Y=yj,= pij, i, j=1, 2, , 则Z= g(X，Y)的期望,返回,下页,上页,例6 设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E
4、(XY),解:,返回,下页,上页,定理2 设X是连续型随机变量，它的概率密度为f(x), Y=g(X) (g是连续实函数),若 绝对收敛，则Y=g(X)的期望,推论 设(X, Y)是二维连续型随机变量，它的概率密度为f (x, y), Z=g(X, Y) (g是连续实函数) 绝对收敛,则Z=g(X, Y)的期望,返回,下页,上页,例7 长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间,解:设乘客于某时X分到达车站,候车时间为Y,则,=10分25秒,返回,下页,上页,0,10,30,55,60,例8 设X服从N(0，1)
5、分布，求E(X2),E(X3),E(X4),返回,下页,上页,返回,下页,上页,1. E(c)=c,c为常数; 2。E(cX)=cE(X), c为常数;,4.1.3.数学期望的性质,证明:设Xf(x),则,返回,下页,上页,3. E(X+Y)=E(X)+E(Y);,证明:设(X,Y)f(x,y),返回,下页,上页,4. 若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).,证明:设(X,Y)f(x,y),返回,下页,上页,例9.设某种疾病的发病率为1%，在1000个人中普查这种疾病,为此要化验每个人的血。方法是，每100个人一组，把从100个人抽来的血混在一起化验，如果混合血样呈阴性，则通过，如果混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样。求平均化验次数,解:设Xj为第j组的化验次数，,Xj,Pj,1 101,X为1000人的化验次数，则,返回,下页,上页,返回,下页,上页,例10 若XB(n,p),求E(X),解:设,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,则,返回,下页,上页,例11 若有n把看上去样子相同的钥匙，其中，只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设取到每把钥匙是等可能的，每把钥匙试开一次后除去。试用下面两种方法取求试开次数X的数学期望。,（1）写出X的分布律；,（2）不写出X的分布律；,解,而,所以,
