《数值计算方法课件-CH6 逐次逼近法―6.2 解线性方程组的迭代法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值计算方法课件-CH6 逐次逼近法―6.2 解线性方程组的迭代法（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六章 逐次逼近法,6.2 解线性方程组的迭代法,数值计算方法,解线性方程组的迭代法,线性方程组,-(2.1),1）系数矩阵A是不断变动的，若A阶数很高,则运算量将 会很大，占用计算机内存就很大； 2）程序实现较复杂。,直接法求解存在的问题：,1）求解过程中系数矩阵不变，且程序设计简单； 2）存在着迭代收敛性和收敛快慢的问题。,迭代法求解的优缺点：,一、迭代法的基本思想,线性方程组,-(2.1),应用迭代法求解时，可将(2.1)变形为等价方程组,-(2.2),显然,(2.1)式和(2.2)式同解。,用不同方式构造迭代公式可以得到不同的迭代法。,(2.2)式称为迭代公式,B,迭代矩阵,对线性方程
2、组 采用以下步骤:,依此类推，得到一个向量序列：,如何建立迭代公式？,现假设已导出与 等价的迭代公式 ，那么 计算 的解就变成求序列的极限。,-(2.2),-(2.3),通常称使用（2.3）式求解的方法为求解线性方程组的 迭代法，也称为迭代过程或迭代格式。,迭代法在迭代过程中产生了一个序列 ，如果其极限存在,即,则称迭代法收敛,否则称迭代法发散。,将它们记作统一的一般形式为：,求解线性方程组问题转化为求序列极限问题,由于,则 为方程组的 解, 从而也是 的解.,用迭代法求解 , 就是求向量序列 的极限, 建立两种简单迭代格式,Jacobi 迭代法, 迭代法的收敛条件,Gauss-Seidel
3、迭代法,二、简单迭代法,也称基本迭代法,研究对象线性方程组：,注: 非奇异, 且,将上述方程组改写为：,Jacobi 迭代法,- (2.5),上式的迭代格式：,- (2.4),(2.5) 式,或,- (2.7),- (2.6),0,0,-L,-U,D,写成矩阵形式：,-L,-U,D,Jacobi 迭代阵,方程组 Ax=b,迭代格式：,Jacobi 迭代法求解方程组的一般步骤：,列写迭代格式; 标量形式 矩阵形式,2. 选初值 ;,3. 将初值代入迭代格式, 得迭代序列;,何时停止？,4. 判断前后两次计算解的差值(范数) 是否小于 事先给定的误差限 , 若 , 停止迭代, 作为方程组的解; 否
4、则继续迭代, 直至收敛.,例1: 用Jabobi 迭代法求解线性方程组,1. 列写迭代格式,解:,- ,要求 时停止计算。,2. 选初值 x(0) = (0, 0, 0)T, 直接代入以上迭代格式, 得解序列 x(1), x(2), , x(k), ,或将 式写为,或按下式计算,得迭代格式,2. 将初值 x(0) = (0, 0, 0)T 代入以上迭代格式, 得解序列 x(1), x(2), , x(k), ,3. 按给定误差限判断 x(k) 是否可作为最终解.,Jacobi 迭代的缺点:,对 Jacobi 迭代法进行加工, 得到:,实际上, 比 精确！,对已算信息未能充分利用, 如,Gaus
5、s-Seidel (G-S) 迭代法,- (2.9),(2.9) 式,- (2.10),Gauss-Seidel迭代法，简称G-S法,写成矩阵形式：,Gauss-Seidel 迭代阵,迭代格式：,例2: 用G-S 迭代法求解例1中的线性方程组,1. 由例1结果直接得,解:,2. 将初值 x(0) = (0, 0, 0)T 直接代入以上迭代格式, 得解 序列 x(1), x(2), , x(k), ,3. 按给定误差限判断 x(k) 是否可作为最终解.,注: 相对于 Jacobi 迭代法,G-S 迭代法具有以下特点,更快的收敛速度(前提是这两种方法都收敛时),三、迭代法的收敛性,迭代法简单易于编
6、程，但迭代法的求解过程相当于求极限的过程，如何判断这个极限过程是否收敛是一个需要考虑的问题。,实际中使用的迭代法应该是收敛的。这里先给出用线性方程组的系数矩阵和迭代格式的迭代矩阵进行判断的方法，这两种方法都是判断收敛性的充分条件，然后给出用谱半径判断收敛性的充分必要条件。,定理1（P221）若线性方程组Ax=b中的系数矩阵A为严格对角占优阵,即 则Jacobi迭代法和G-S法均收敛.(判断收敛性的充分条件),矩阵A的主对角线上元素的绝对值大于与其同一行的其他元素绝对值的和,定理2（补充的内容）如果线性方程组Ax=b中的迭代格式为 且迭代矩阵B满足 则迭代法对任意给定的初值 均收敛.(判断收敛性
7、的充分条件),B的行范数等于B中每一行所有元素绝对值和的最大值,定理3（P220）迭代法 对任意 和 f 均收敛的充要条件为 这里 为矩阵B的谱半径.,定理3的应用步骤： 1）确定迭代矩阵B； 2）求矩阵B的特征值； 3）用谱半径判断迭代法收敛性.,选择使用判定定理的原则:, 首先, 判断系数矩阵 A 是否为严格对角占优;, 若 A 不是严格对角占优, 求出( Jacobi 法和 G-S 法的) 迭代矩阵 B, 判断 B 的范数是否小于1;, 若 以上两条件均不满足, 求迭代矩阵 B 的谱半径 , 判断 是否小于1.,注意:,1)若对同一个线性方程组Ax=b，Jacobi法和G-S法都收敛，则G-S法比Jacobi法收敛速度快。,2) Jacobi法收敛时，G-S法不一定收敛。(P220，例4),例4（P220） 设线性方程组,问使用Jacobi法和G-S法求解是否收敛。,
