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1、第二章 轴向拉伸和压缩,2-1 轴向拉伸和压缩的概念,第二章 轴向拉伸和压缩,工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。,屋架结构简图,桁架的示意图,受轴向外力作用的等截面直杆拉杆和压杆,（未考虑端部连接情况）,第二章 轴向拉伸和压缩,2-2 内力截面法及轴力图,材料力学中所研究的内力物体内各质点间原来相互作用的力由于物体受外力作用而改变的量。,. 内力,根据可变形固体的连续性假设，内力在物体内连续分布。,通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的合力和合力偶简称为该截面上的内力(实为分布内
2、力系的合成)。,第二章 轴向拉伸和压缩,. 截面法轴力及轴力图,FN=F,第二章 轴向拉伸和压缩,（1）假想地截开指定截面；,（2）用内力代替另一部分对所取分离体的作用力；,（3）根据分离体的平衡求出内力值。,步骤：,横截面mm上的内力FN其作用线与杆的轴线重合(垂直于横截面并通过其形心)轴力。无论取横截面mm的左边或右边为分离体均可。 轴力的正负按所对应的纵向变形为伸长或缩短规定: 当轴力背离截面产生伸长变形为正；反之，当轴力指向截面产生缩短变形为负。,轴力背离截面FN=+F,用截面法求内力的过程中，在截取分离体前，作用于物体上的外力(荷载)不能任意移动或用静力等效的相当力系替代。,轴力指向
3、截面FN=-F,第二章 轴向拉伸和压缩,轴力图(FN图)显示横截面上轴力与横截面位置的关系。,第二章 轴向拉伸和压缩,例题2-1 试作此杆的轴力图。,等直杆的受力示意图,第二章 轴向拉伸和压缩,(a),为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN,为方便，取横截面11左边为分离体，假设轴力为拉力，得 FN1=10 kN(拉力),解：,第二章 轴向拉伸和压缩,为方便取截面33右边为分离体，假设轴力为拉力。,FN2=50 kN(拉力),FN3=-5 kN （压力），同理，FN4=20 kN (拉力),第二章 轴向拉伸和压缩,轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。,思考：为何在F1，F2，F3
4、作用着的B，C，D 截面处轴力图 发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？,第二章 轴向拉伸和压缩,例题2-2：试作此杆的轴力图。,解：,第二章 轴向拉伸和压缩,第二章 轴向拉伸和压缩,第二章 轴向拉伸和压缩,2-3 应力拉(压)杆内的应力,.应力的概念,受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积A上分布内力的平均集度即平均应力， ，其方向和大小一般而言，随所取A的大小而不同。,第二章 轴向拉伸和压缩,该截面上M点处分布内力的集度为 ，其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。,第二章 轴向拉伸和压缩,总应力 p,法向分量,正应力s,某一截面上法向分布内力在某一点处的集度,
5、切向分量,切应力t,某一截面上切向分布内力在某一点处的集度,应力量纲：ML-1T-2 应力单位：Pa(1 Pa = 1 N/m2，1 MPa = 106 Pa)。,第二章 轴向拉伸和压缩,.拉(压)杆横截面上的应力,(1) 与轴力相应的只可能是正应力s，与切应力无关；,(2) s在横截面上的变化规律横截面上各点处s 相等时可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力轴力FN；横截面上各点处s 不相等时，特定条件下也可组成轴力FN。,第二章 轴向拉伸和压缩,为此：,1. 观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉(压)后的相对位移：两横向线仍为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。,2. 设想横向线为杆
6、的横截面与杆的表面的交线。平截面假设原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对于拉(压)杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。,第二章 轴向拉伸和压缩,3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截面上各点处的正应力s 都相等。,4. 等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式 。,第二章 轴向拉伸和压缩,注意：,1. 上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。,2. 即使是等直杆，在外
7、力作用点附近，横截面上的应力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。,3. 圣维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响”。,第二章 轴向拉伸和压缩,这一原理虽被许多实验所证实，但没有经过严格的理论证明，也没有确切的数学表达式，因此不能随便使用。上图为不能应用圣维南(Saint-Venant)原理的例子（详见奚绍中编 材料力学精讲，p15)。,第二章 轴向拉伸和压缩,例题2-2 试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知F = 50 kN。,第二章 轴向拉伸和压缩,段柱横截面上的正应力,所以，最大工作应力为 s
8、max= s2= -1.1 MPa (压应力）,解：段柱横截面上的正应力,(压应力),(压应力),第二章 轴向拉伸和压缩,例题2-3 试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的拉应力。已知：d = 200 mm，= 5 mm，p = 2 MPa。,第二章 轴向拉伸和压缩,而,所以,解：薄壁圆环 (d )在内压力作用下，径向截面上的拉应力可认为沿壁厚均匀分布，故在求出径向截面上的法向力FN后用式 求拉应力。,第二章 轴向拉伸和压缩,. 拉(压)杆斜截面上的应力,斜截面上的内力：,变形假设：两平行的斜截面在杆受拉(压)而变形后仍相互平行。=两平行的斜截面之间的所有纵向线段伸长变形相同。,第二章 轴向拉
9、伸和压缩,斜截面上的总应力：,推论：斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同，即斜截面上各点处的总应力pa相等。,式中， 为拉(压)杆横截面上(a =0)的正应力。,第二章 轴向拉伸和压缩,斜截面上的正应力(normal stress)和切应力(shearing stress)：,正应力和切应力的正负规定：,第二章 轴向拉伸和压缩,思考：1. 写出图示拉杆其斜截面k-k上的正应力sa和切应力ta与横截面上正应力s0的关系。并示出它们在图示分离体的斜截面k-k上的指向。,2. 拉杆内不同方位截面上的正应力其最大值出现在什么截面上？绝对值最大的切应力又出现在什么样的截面上？,第二章 轴向拉伸和压缩,3
10、. 对于拉(压)杆知道了其横截面上一点处正应力s0(其上的切应力t0= 0)，是否就可求出所有方位的截面上该点处的应力，从而确定该点处所有不同方位截面上应力的全部情况该点处的应力状态(state of stress)？,第二章 轴向拉伸和压缩,2-4 拉(压)杆的变形 胡克定律,拉(压)杆的纵向变形,基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：,纵向总变形l = l1-l （反映绝对变形量）,纵向线应变 （反映变形程度）,第二章 轴向拉伸和压缩,x 截面处沿x方向的纵向平均线应变为,图示一般情况下在不同截面处杆的横截面上的轴力不同，故不同截面的变形不同。,第二章 轴向拉伸和压缩,线应变的正负规定：伸长
11、时为正，缩短时为负。,一般情况下，杆沿x方向的总变形,x截面处沿x方向的纵向线应变为,第二章 轴向拉伸和压缩,横向变形与杆轴垂直方向的变形,在基本情况下,第二章 轴向拉伸和压缩,引进比例常数E，且注意到F = FN，有,胡克定律(Hookes law),适用于拉(压)杆。,式中：E 称为弹性模量(modulus of elasticity)，由实验测定，其量纲为ML-1T-2，单位为Pa；EA 杆的拉伸(压缩)刚度。,胡克定律(Hookes law),工程中常用材料制成的拉(压)杆，当应力不超过材料的某一特征值(“比例极限”)时，若两端受力,第二章 轴向拉伸和压缩,胡克定律的另一表达形式：,单
12、轴应力状态下的胡克定律,第二章 轴向拉伸和压缩,低碳钢(Q235)：,注意：1. 单轴应力状态受力物体内一点处取出的单元体，其三对相互垂直平面上只有一对平面上有应力的情况。,第二章 轴向拉伸和压缩,2. 单轴应力状态下的胡克定律阐明的是沿正应力s方向的线应变e 与正应力之间的关系，不适用于求其它方向的线应变。,第二章 轴向拉伸和压缩,单轴应力状态下，应力不超过比例极限时：,第二章 轴向拉伸和压缩,低碳钢(Q235)：n = 0.240.28。,亦即,横向变形因数(泊松比)(Poissons ratio),单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，某一方向的线应变e 与和该方向垂直的方向(横
13、向)的线应变e的绝对值之比为一常数，此比值称为横向变形因数或泊松比(Poissons ratio)：,第二章 轴向拉伸和压缩,2.横截面B, C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变形是什么关系？,思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的 弹性模量E。,1.列出各段杆的纵向总变形lAB，lBC，lCD以及整个杆纵向变形的表达式。,第二章 轴向拉伸和压缩,第二章 轴向拉伸和压缩,位移：,变形：,3. 图(b)所示杆，其各段的纵向总变形以及整个杆的纵向总变形与图(a)的变形有无不同？各横截面及端面的纵向位移与图(a)所示杆的有无不同？何故？,第二章 轴向拉伸和压缩,(a),第二章 轴向拉伸
14、和压缩,位移：,变形：,例题2-4 求例题2-3中所示薄壁圆环其直径的改变量d。已知,第二章 轴向拉伸和压缩,2. 如果在计算变形时忽略内压力的影响，则可认为 薄壁圆环沿圆环切向的线应变e(周向应变)与径向截面上的正应力s 的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即,解：1. 前已求出圆环径向截面上的正应力此值小于钢的比例极限(低碳钢Q235的比例极限sp200 MPa)。,第二章 轴向拉伸和压缩,从而有圆环直径的改变量(增大)为,3. 圆环的周向应变e与圆环直径的相对改变量ed有如下关系：,第二章 轴向拉伸和压缩,例题2-5 如图所示杆系，荷载 P = 100 kN，试求结点A的位移A。已知：a
15、 = 30 ，l = 2 m，d = 25 mm，杆的材料(钢)的弹性模量为E = 210 GPa。,第二章 轴向拉伸和压缩,由胡克定律得,其中,1. 求杆的轴力及伸长,解：结点A的位移A系由两杆的伸长变形引起，故需先求两杆的伸长。,由结点 A 的平衡(如图)有,第二章 轴向拉伸和压缩,2. 由杆的总变形求结点 A 的位移,根据杆系的布置、约束、杆的材料以及受力情况均与通过结点 A 的铅垂线对称可知，结点A只有竖向位移(如图)。,第二章 轴向拉伸和压缩,亦即,画杆系的变形图，确定结点A的位移,由几何关系得,第二章 轴向拉伸和压缩,从而得,此杆系结点 A 的位移(displacement)是因杆
16、件变形(deformation)所引起 ，但两者虽有联系又有区别。变形是指杆件几何尺寸的改变，是个标量；位移是指结点位置的移动，是个矢量，它除了与杆件的变形有关以外，还与各杆件所受约束有关。,第二章 轴向拉伸和压缩,2-5 拉(压)杆内的应变能,应变能(strain energy)弹性体受力而变形时所积蓄的能量。,弹性变形时认为，积蓄在弹性体内的应变能V在数值上等于外力所作功W，V = W。 应变能的单位为 J（1J=1Nm）。,第二章 轴向拉伸和压缩,拉杆(压杆)在线弹性范围内的应变能,或,第二章 轴向拉伸和压缩,亦可写作,应变能密度 v单位体积内的应变能。,应变能密度的单位为 J/m3。,第二章 轴向拉伸和压缩,第二章 轴向拉伸和压缩,解：应变能,例题2-6 求例题2-5中所示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理(V=W )求结点A的位移A。 已知：P = 100 kN，杆长 l = 2 m，杆的直径 d = 25 mm，a = 30，材料的弹性模量E=210 GPa。,第二章 轴向拉伸和压缩,结点A的位移,由 知,第二
