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1、【高考领航】2017届高考数学大一轮复习 第十二章 几何证明选讲 理 北师大版考点一平行线与相似(全等)三角形命题点平行线分线段成比例定理1平行线截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等(2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例2相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；(2)相似三角形的性质定理相似三角形对应
2、高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方3直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，则有CD2ADBD，AC2ADAB，BC2BDAB.1.(2015高考课标卷)如图，O为等腰三角形ABC内一点，O与ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点(1)证明：EFBC；(2)若AG等于O的半径，且AEMN2，求四边形EBCF的面积解：(1)证明：由于ABC是等
3、腰三角形，ADBC，所以AD是CAB的平分线又因为O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AEAF，即AEF也是等腰三角形故ADEF.从而EFBC.(2)由(1)知，AEAF，ADEF，故AD是EF的垂直平分线又EF为O的弦，所以O在AD上连接OE，OM，则OEAE.由AG等于O的半径得AO2OE，所以OAE30.因此ABC和AEF都是等边三角形因为AE2，所以AO4，OE2.因为OMOE2，DMMN，所以OD1.于是AD5，AB.所以四边形EBCF的面积S2(2)2.2(2016河南三市调研)如图，切线AB与圆切于点B，圆内有一点C满足ABAC，CAB的平分线AE交圆于D，E，延长EC交圆于F
4、，延长DC交圆于G，连接FG，EG.(1)证明：ACFG；(2)证明：ECEG.证明：(1)AB切圆于点B，AB2ADAE，又ABAC，AC2ADAE，即，又DACCAE，ACDAEC，ACDAEC，又AECDGF，ACDDGF，ACFG.(2)连接BD，BE，由ABAC，BADCAD及ADAD，知ABDACD.ADBADC，BDECDE，故BEEG，由ABAC，BAECAE，AEAE，知ABEACE，BECE，ECEG.判定三角形相似的思路与方法1抓住判定两个三角形相似的常规思路：(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角
5、相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”2借助图形判断三角形相似的方法：(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边3(1)利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用(2)有时图形中没有平行线，要添加辅助线，构造相似图形，创造可以形成比例式的条件，达到证明的目的考点二圆中的相关定理与有关线段命题点圆周角定理1圆周角定理与圆心角
6、定理第十二章几何证明选讲(1)圆周角定理及其推论定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论：()推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等()推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数2弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角3圆的切线的性质及判定定理(1)定理：圆的切线垂直于经过切点的半径(2)推论：推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心4与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB，CD
7、相交于圆内一点P(1)PAPBPCPD；(2)ACPBDP(1)在PA，PB，PC，PD四线段中知三可求一；(2)求弦长及角割线定理PAB，PCD是O的割线(1)PAPBPCPD；(2)PACPDB(1)求线段PA，PB，PC，PD；(2)应用相似求AC，BD切割线定理PA切O于A，PBC是O的割线(1)PA2PBPC；(2)PABPCA(1)在PA，PB，PC三线段中知二可求一；(2)求AB，AC切线长定理PA，PB是O的切线(1)PAPB；(2)OPAOPB(1)证线段相等，已知PA求PB；(2)求角5.圆内接四边形的性质与判定定理(1)圆内接四边形的性质定理定理1：圆内接四边形的对角互补
8、定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角(2)圆内接四边形的判定定理及推论判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆1(2015高考课标卷)如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；(2)若OACE，求ACB的大小解：(1)证明：如图，连接AE，由已知得AEBC，ACAB.在RtAEC中，由已知得DEDC，故DECDCE.连接OE，则OBEOEB.又ACBABC90，所以DECOEB90，故OED90，即DE是O的切线(2)设CE1，AE
9、x.由已知得AB2，BE.由射影定理可得AE2CEBE，即x2，即x4x2120.解得x，所以ACB60.2.(2016衡水中学检测)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上两点，AC与BD相交于点E，GC，GD是圆O的切线，点F在DG的延长线上，且DGGF.求证：(1)D、E、C、F四点共圆；(2)GEAB.证明：(1)如图，连接OC，OD，则OCCG，ODDG，易知COB21，DOA22，所以DGC180DOC180(1802122)2(12)，由题意得DGC2F，所以F12.又因为DECAEB180(12)，所以DECF180，所以D，E，C，F四点共圆(2)延长GE交AB于H.因为GDG
10、CGF，所以点G是经过D，E，C，F四点的圆的圆心所以GEGC，所以GCEGEC.又因为GCE390，13，所以GEC390，所以AEH190，所以EHA90，即GEAB.解与圆有关的几何证明题的方法；1首先观察分析图形的特点，认准图形中圆的切线所形成的弦切角，再利用弦切角定理，寻找相等的角，往往与相似三角形的相关知识联系在一起得到最终的结论2利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算，有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解3抓住角度相等或互补，转化为四点共圆，另一方面，利用四点共圆，可以得到相关的角度相等4与圆有关的等角问题找角相等，要找同弧或等弧所对的圆周角，并注意结合应用弦切角定理的意识
