《微积分下册期末试卷及答案[1]（2020年整理）.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微积分下册期末试卷及答案[1]（2020年整理）.pptx（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、微积分（下）试卷及参考答案,1、已知,f (x y, y ) x2 y2 x,则 f (x, y) .,2、已知,则,0,x 2 e xdx , 1,.,edx , x,2,3、函数 f (x, y) x2 xy y2 y 1在,点取得极值.,4、已知 f (x, y) x (x arctan y) arctan y ,则 fx(1,0) .,3x,12,12,5、以 y (C C x)eC ,C,(为任意常数)为通解的微分方程是,.,6,知0,e(1 p ) xdx,e,dx,p 1,x 均收敛,则常数 p 的取值范围是(,c ).,(A),p 1,与 1 x ln (B),p 1,(D),
2、(C) 1 p 2p 2,7数,0,2,2, x2 y2 0,x y,4x,f (x, y) ,在原点间断,是因为该函数( (A) 在原点无定义,x2 y2 0 b). (B) 在原点二重极限不存在,(C) 在原点有二重极,限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若,I1 , x2 y2 1,3 1 x2 y2 dxdy I 2 ,3 1 x2 y2 dxdy, 1 x2 y2 2,2 x2 y2 4,I3 ,3 1 x2 y2 dxdy,则下列关系式成立的是( a).,(A)I1 I2 I3 (B)I2 I1 I3(C) I1 I2 I3,(D),I2 I1 I3,9、方
3、程 y 6 y 9 y 5(x 1)e3x 具有特解( d,).,(A) (C),y ax b y (ax2 bx)e3x,(B) (D),y (ax b)e3x y (ax3 bx2 )e3x,2, n,a,10、设 n1收敛，则 n1,n,(1)n a,( d,).,(C) 发散,(D) 不定,(A) 绝对收敛(B) 条件收敛 一、填空题(每小题3分,共15分),1、,x2 (1 y),1 y,1 2,第 页 共 13 页 1,( , ),. 2、. 3、3 3 . 4 、 1. 5 、,y 6 y y 0,.,微积分（下）试卷及参考答案,3,3,11、求由 y x 2 , x 4 , y
4、 0 所围图形绕 y 轴旋转的旋转体的体积.解： y x 2 的函 2,x 4,x y 3 , y 0y 8,数为。且时，。于是,(6分),(3分),2,4,8,8,22,3,3,0,0,7,3,3,7,7,7,V (4 y ) dy 16, (8 0) y dy,3 8, 128 y 7 128 (83 0),0, 512 ,lim,x2 y2 1 1,x2 y2,x 0 y 0,12、求二重极限.,解：原式, lim,x2 y 2 11,(x2 y 2 )( x2 y 2 1 1),x0 y0,(3分), lim ( x2 y 2 1 1) 2,x0 y0,(6分),2 z 13、 z z
5、(x, y) 由 z ez xy 确定，求xy . 解：设 F (x, y, z) z ez xy ，则,z,z,Fx y ， Fy xF 1 e,z,， y, y,z Fx ,xF1 ez,，,z,xx,z Fy ,1 ezyF,1 ez1 ez,(3分),z,1ez xy,1 ez y ez z,2 z y ,y ,xyy 1 e,(1 ez )2,1 ez(1 ez )2,(6分),14、用拉格朗日乘数法求 z x2 y2 1在条件 x y 1下的极值. 解： z x2 (1 x)2 1 2x2 2x 2,令 z 4x 2 0 ,得2 , z 4 0 ,x 1x 1,2 为极小值点.(3
6、分),故,在,z x2 y2 1y 1 x,( , ),1 13,第 页 共 13 页 2,下的极小值点为 2 2 ,极小值为 2 (6分),微积分（下）试卷及参考答案,15、计算,2,1,2,y,1y dye y dx,x,.,解：,2,1,1,2,31,82,x,y,y,y,1 e2,I dye dx e ,(6分),y,，其中 D 是由轴及圆周,x2 y2 1,所围成的在第,(x2 y2 )dxdy 6、计算二重积分 D 一象限内的区域.,(x2 y2 )dxdy,1, 00,2 d,r3dr,解： D, 8,(6分),17、解微分方程 y y x . 解：令 p y , y p,方程化
7、为 p p x ,于是,1,(1)dx,p e(1)dx (,x,xedx C ) e ( xe xdx C ),1, ex (x 1)e x C (x 1) C ex 11,(3分),2,2,11,2,1,x,x,C,y pdx (x 1) C e dx (x 1) C e,(6分),18、判别级数 n1,( n3 1 n3 1),的敛散性.,解：,2,n3 1 n3 1 ,n3 1 n3 1,(3分),lim,n n,n n,n,n,n3 1 n3 1 1, lim 1,n3 1 n3 1,因为,解：由于,第 页 共 13 页 3,3 1 x,1 19、将函数 3 x 展开成 x 的幂级数
8、,并求展开式成立的区间. 1 1 1,3 x,1, xn,3 ,已知 1 x,n0, 1 x 1,(3分),n0 3n1, 1 1 ( x )n 1 xn,那么 3 x3,3 n0, 3 x 3 .,(6分,20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售 收入 R (万元)与电台广告费用 x1 (万元)的及报纸广告费用 x2 (万元)之间的关系有 如下的经验公式:,2,22,121 21,R 15 14x 32x 8x x 2x 10 x,，,求最优广告策略 解：公司利润为,2,2,2,12121 21,10 x,L R x x 15 13x 31x 8x x 2x
9、,微积分（下）试卷及参考答案,21,1,L 13 8x 4x 0,x,令Lx2 31 8x1 20 x2 0, 即8x1 20 x2 31,4x1 8x2 13,得驻点,4 4,12,(x , x ) ( 3 , 5 ) (0.75,1.25),而,(3分),1 1,x x,A L 4 0,x x,B L ,1 22 2,x x,8 C L, 20 ,D AC B2 80 64 0 , 所以最优广告策略为： 电台广告费用0.75 (万元),报纸广告费用1.25 (万元).,(6分),四、证明题(每小题5分,共10分),11,x z y z 1,21、设 z ln(x3 y 3 ) ，证明：xy
10、,3 .,证：,1 x 231 y 23, 3, 3,z x,z y,2,u, n,11 x3 y 3 ,与 n1,2 n,v,11 x3 y 3 ,都收敛,则 n1,nn,(u v )2,收敛.,22、若 n1 证：由于,0 (u v )2 u2 v2 2u v 2(u2 v2 ) nnnnn nnn,(3分),2,并由题设知 n1,u,n,与 n1,2 n,v,22,nn,v ), 都收敛,则 n 1,2(u ,收敛,从而 n1,nn,(u v )2,收 敛 。 (6 分 ),1、设,f (x y, y ) x2 y2 x,，则,f ( x, y) ,.,2, 1,( ) ,5,( ),2
11、、已知，则2 .,3、设函数 f (x, y) 2x2 ax xy2 2 y 在点(1, 1) 取得极值，则常数 a 4、已知 f (x, y) x y(x 4 arctan y ) ,则 fx(1,0) ,第 页 共 13 页 4,x3 x,1212,y C e C eC ,C,5、以(为任意常数)为通解的微分方程是,.,6、已知, e pxdx,0,e dx,1p 与x ln x 均收敛,则常数 p 的取值范围是(,).,微积分（下）试卷及参考答案,(A)(B),p 0p 0,(C),(D) 0 p 1,7、对于函数 f (x, y) x2 y2 ,点(0, 0) (,p 1 ).,(B)
12、 是驻点而非极值点 (D) 是极小值,8、已知,D,(A) 不是驻点 (C) 是极大值点 I1 (x y) d 2,I2 (x y) d 3 D,其中 D 为,(x 2)2 ( y 1)2 1,则,().,(A)(B),I1 I2I1 I2,(C),(D),I1 I 22 2,9、方程 y 5y 6 y xe2 x 具有特解(,I1 I2 ).,(A) (C),(B) (D),y ax b y (ax2 bx)e2x ,n,y (ax b)e2x y (ax3 bx2 )e2x ,n,a,).,(1)n 2n a 10、级数 n 1 (A) 条件收敛 (C) 发散,收敛，则级数 n 1( (B
13、) 绝对收敛 (D) 敛散性不定,11、求 y x3 , y 0 , x 2 所围图形绕 x 轴旋转的旋转体的体积.,1,x,lim (x sin 1 y sin),x0 12、求二重极限 y0,.,13、设,z arctan x y,y 2 z,1 xy ,求x2 .,14、用拉格朗日乘数法求 f (x, y) xy 在满足条件 x y 1下的极值.,0,11,0,dxxe dy,xy,15、计算.,16、计算二重积分 D,x2 y2 dxdy,其中 D 是由 y 轴及圆周 x2 ( y 1)2 1所围成的,在第一象限内的区域. 17、解微分方程 xy y 0 ., 2 n,n,n!,的敛散
14、性., 18、判别级数 n 1,f (x) 1 19、将函数x 展开成(x 3) 的幂级数. 20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产 x 单位甲产品,生产 y 单 位乙产品的总费用为 20 x 30 y 0.1(2x2 2xy 3y2 ) 100 ,试求出甲、乙两种产品各生 产多少时该工厂取得最大利润.,第 页 共 13 页 5,微积分（下）试卷及参考答案 21、设u lnx2 y2 z2 ,证明,2u 2u 2u,1,x2y2z2 x2 y2 z2 .,2,a, n,2,与 n1,b,nn n,a b,22、若 n1都收敛,则 n1收敛., dx,1,（可能会有
15、错误大家一定要自己核对） 一、填空题(每小题3分,共15分) 1、设 z x y f (x y) ，且当 y 0 时， z x2 ，则 z 。 （ x2 2xy 2 y y2 ） 1x32 2、计算广义积分= 。（）,3、设 z exy ，则dz (1,1) 。（,e(dx dy)）,4、微分方程 y 5y 6 y xe2 x 具有 形式的特解.（(ax2 bx)e2 x ）,n,5、设 n1, u 4,2,n, 2 n,，则 n1 , 1 u 1 ,。（1）,二、选择题(每小题3分,共15分),22,lim,3sin(x2 y2 ),x y,的值为,x0 1、 y0 A.3,B.0,（ A ） C.2D.不存在,（ A ）。,2、 f x (x0 , y0 ) 和 f y (x0 , y0 ) 存在是函数 f (x, y) 在点(x0 , y0 ) 可微的 A.必要非充分的条件； B.充分非必要的条件； C.充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。,3、由曲面 z 4 x yx 2 y 2 1 22 和 z 0及柱面所围的体积是（D ）。,A.,0,2,2 0,d r,；B.,1,2,0,0,4 r 2 dr4
