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1、微观经济学常见计算题集锦,一、弹性计算,d,P P,1.假定某消费者的需求的价格弹性 Ed=1.3,需求的收入弹性 Em = 2.2 。求：（1） 在其他条件不变的情况下，商品价格下降 2%对需求数量的影响。 在其他条件不变的情况下，消费者收入提高 5%对需求数量的影响。 Q,解(1) 由于题知 E Q ,于是有:,QP,Q E P (1.3) (2%) 2.6%,d,（2）由于 Em=,M,m,M,所以当价格下降 2%时,商需求量会上升 2.6%. Q,E Q ,于是有:,QM,1,Q E M (2.2) (5%) 11%,m,即消费者收入提高 5%时，消费者对该商品的需求数量会上升 11%
2、。 2.假定某市场上 A、B 两厂商是生产同种有差异的产品的竞争者；该市场对 A 厂 商的需求曲线为 PA=200-QA，对 B 厂商的需求曲线为 PB=300-0.5QB ；两厂商 目前的销售情况分别为 QA=50，QB=100。 求：（1）A、B 两厂商的需求的价格弹性分别为多少？ 如果 B 厂商降价后，使得 B 厂商的需求量增加为 QB=160，同时使竞争对 手 A 厂商的需求量减少为 QA=40。那么，A 厂商的需求的交叉价格弹性 EAB 是多 少？ 如果B 厂商追求销售收入最大化，那么，你认为 B 厂商的降价是一个正确 的选择吗？ 解（1）关于A 厂商:由于 PA=200-50=15
3、0 且 A 厂商的,2,需求函数可以写为; QA=200-PA 于是 关于 B 厂商:由于 PB=300-0.5100=250 且 B 厂商的需求函数可以写成: QB=600-PB 于是,B 厂商的需求的价格弹性为: （2） 当QA1=40 时，PA1=200-40=160 且 当PB1=300-0.5160=220 且 所以 （4） 由(1)可知,B 厂商在 PB=250 时的需求价格弹性为 EdB=5,也就是说,对于厂 商的需求是富有弹性的.我们知道,对于富有弹性的商品而言,厂商的价格和销售 收入成反方向的变化,所以,B 厂商将商品价格由 PB=250 下降为 PB1=220,将会增,且,
4、QB=100,时 ,B厂 商 的 销 售 收 入 为 :,加其销售收入.具体地有: 降 价 前 , 当PB=250 TRB=PBQB=250100=25000,降 价 后 , 当PB1=220且QB1=160时 ,B厂 商 的 销 售 收 入 为 : TRB1=PB1QB1=220160=35200 显然, TRB TRB1,即 B 厂商降价增加了它的收入,所以,对于B 厂商的销售收入最 大化的目标而言,它的降价行为是正确的. 3.假定同一市场上的两个竞争厂商，他们的市场需求曲线分别为 PX=1000-5QX 和 PY=1600-4QY，这两家厂商现在的市场销售量分别是 100 单位 X 和
5、250 单位Y。 求X，Y 的当前的需求价格弹性。 假定 Y 降价后使 QY 增加到 300 单位，同时导致 X 的销售量 QX 下降到 75 单位，求X 厂商产品X 的交叉价格弹性是多少？ 假定Y 厂商的目标是谋求收益最大化，应该采取怎样的价格策略？ 解：（1）设 QX=100，QY=250，则 PX=1000-5QX=500 PY=1600-4QY=600 于是X 的价格弹性 Ed(X)=dQx/dPx* (Px/Qx)=-1 Y 的价格弹性,3,Ed(Y)=dQY/dPY* (PY/QY)=-0.6 （2）设QY=300，QX=75，则 PY=1600-4QY=400 QX= QX- Q
6、X=75-100=25 PY= PY-PY=-200 所以，X 厂商产品 X 对Y 厂商产品Y 的交叉弹性 EXY=AQx/APY * (Px+ PY/2)/（Qx+ QY）=5/7 （1） （4）由（1）可知，Y 厂商生产的产品Y 在价格P=600 时的需求价格弹 性为-0.6，也就是说 Y 产品的需求缺乏弹性，在这种情况下降价会使总收益 减少，提价会使总收益增加。这一结论可验证如下： 降价前，Y 厂商的总收益为 TR= Px QY=600*250=150000 降价后，Y 厂商的总收益为 TR= Px QY=400*300=120000 可见，Y 厂商降低其产品价格将使其总收益减少，故降价
7、对Y 公司在经济上是 不合理的。,二、消费者均衡,4.已知某消费者每年用于商品 1 和的商品 2 的收入为 540 元，两商品的价格分别,1 2,为P1=20 元和P2=30 元，该消费者的效用函数为U 3X X 2 ，该消费者每年购买,这两种商品的数量应各是多少？从中获得的总效用是多少？ 解：根据消费者的效用最大化的均衡条件： MU1/MU2=P1/P2,1 2,其中，由U 3X X 2 可得：,MU1=dTU/dX1 =3X22 MU2=dTU/dX2 =6X1X2 于是，有：,21 2,3X 2 / 6 X X 20 / 30,(1),4,整理得 将（1）式代入预算约束条件 20X1+3
8、0X2=540，得：X1=9，X2=12,1 2,因此，该消费者每年购买这两种商品的数量应该为：U 3X X 2 3888,三、生产三阶段,5.教材 P125第三题 解答： 由生产数Q=2KL-0.5L2-0.5K2,且 K=10，可得短期生产函数为： Q=20L-0.5L2-0.5*102 =20L-0.5L2-50 于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数： 劳动的总产量函数 TPL=20L-0.5L2-50 劳动的平均产量函数APL=20-0.5L-50/L 劳动的边际产量函数MPL=20-L 关于总产量的最大值：20-L=0 解得 L=20 所以，劳动投入量为 20 时，
9、总产量达到极大值。 关于平均产量的最大值：-0.5+50L-2=0L=10（负值舍去） 所以，劳动投入量为 10 时，平均产量达到极大值。 关于边际产量的最大值： 由劳动的边际产量函数 MPL=20-L 可知，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。 考虑到劳动投入量总是非负的，所以，L=0 时，劳动的边际产量达到极大值。 当劳动的平均产量达到最大值时，一定有APL=MPL。由（2）可知，当劳 动为 10 时，劳动的平均产量APL 达最大值，及相应的最大值为： APL 的最大值=10 MPL=20-10=10 很显然APL=MPL=10,四、完全竞争厂商均衡,6、已知某完全竞争行业中的单个厂商的短期
10、成本函数为 STC=0.1Q3-2Q2+15Q+10。 试求： 当市场上产品的价格为P=55 时，厂商的短期均衡产量和利润； 当市场价格下降为多少时，厂商必须停产？ 解答：（1）因为 STC=0.1Q3-2Q2+15Q+10,dQ,所以 SMC= dSTC =0.3Q2-4Q+15,根据完全竞争厂商实现利润最大化原则 P=SMC ，且已知 P=55 ，于是有： 0.3Q2-4Q+15=55 整理得：0.3Q2-4Q-40=0 解得利润最大化的产量Q*=20（负值舍去了） 以Q*=20 代入利润等式有： =TR-STC=PQ-STC=（5520）-（0.1203-2202+1520+10）=11
11、00-310=790 即厂商短期均衡的产量Q*=20，利润 =790 （2）当市场价格下降为P 小于平均可变成本AVC 即PAVC 时，厂商必须停产。 而此时的价格P 必定小于最小的可变平均成本 AVC。 根据题意，有：,AVC=,QQ,TVC0.1Q3 2Q2 15Q,=0.1Q2-2Q+15,令 dAVC 0 ，即有： dAVC 0.2Q 2 0 dQdQ 解得Q=10,且,0.2 0,5,dQ2,d 2 AVC ,故Q=10 时，AVC（Q）达最小值。 以Q=10 代入AVC（Q）有：,最小的可变平均成本AVC=0.1102-210+15=5 于是，当市场价格P5 时，厂商必须停产。,五
12、、不完全竞争厂商均衡,7、已知某垄断厂商的短期成本函数为 STC 0.1Q3 6Q2 14Q 3000 ，反需求函 数为P=150-3.25Q 求：该垄断厂商的短期均衡产量与均衡价格。 解答：因为 SMC dSTC dQ 0.3Q2 12Q 140 且由TR P(Q)Q (150 3.25Q)Q 150Q 3.25Q2 得出MR=150-6.5Q 根据利润最大化的原则MR=SMC 0.3Q2 12Q 140 150 6.5Q 解得Q=20（负值舍去） 以Q=20 代人反需求函数，得P=150-3.25Q=85 所以均衡产量为 20 均衡价格为 85,8、已知某垄断厂商的成本函数为TC 0.6Q
13、2 3Q 2 ，反需求函数为P=8-0.4Q。 求： 该厂商实现利润最大化时的产量、价格、收益和利润。 该厂商实现收益最大化的产量、价格、收益和利润。 比较（1）和（2）的结果。 解答：（1）由题意可得： MC dTC 1.2Q 3且MR=8-0.8Q dQ 于是，根据利润最大化原则MR=MC 有：8-0.8Q=1.2Q+3 解得Q=2.5 以Q=2.5 代入反需求函数P=8-0.4Q，得： P=8-0.42.5=7,6,以Q=2。5 和P=7 代入利润等式，有： =TR-TC=PQ-TC =（70.25）-（0.62.52+2） =17.5-13.25=4.25 所以，当该垄断厂商实现利润最
14、大化时，其产量 Q=2.5，价格 P=7，收益 TR=17.5， 利润=4.25 （2）由已知条件可得总收益函数为：TR=P（Q）Q=（8-0.4Q）Q=8Q-0.4Q2 令 dTR 0 ，即有： dTR 8 0.8 0 dQdQ 解得Q=10,dQ,7,且 dTR 0.8 0,所以，当Q=10 时，TR 值达最大值。 以Q=10 代入反需求函数P=8-0.4Q，得：P=8-0.410=4 以Q=10，P=4 代入利润等式，有 =TR-TC=PQ-TC=（410）-（0.6102+310+2）=40-92=-52 所以，当该垄断厂商实现收益最大化时，其产量 Q=10，价格 P=4，收益TR=40， 利润=-52，即该厂商的亏损量为 52。 （3）通过比较（1）和（2）可知：将该垄断厂商实现最大化的结果与实现收益 最大化的结果相比较，该厂商实现利润最大化时的产量较低（因为 2.254），收益较少（因为 17.5-52）。显 然，理性的垄断厂商总是以利润最大化作为生产目标，而不是将收益最大化作为 生产目标。追求利润最大化的垄断厂商总是以较高的垄断价格和较低的产量，来 获得最大的利润。,8,9,10,11,
