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1、理科数学试题第 1页（共 17页） 绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试( 全国卷 ) 理科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1设 1i 2i 1i z ，则 |z A0B 1 2 C 1 D2 2已知集合
2、 2 |20Ax xx，则A R A |12xxB |12xx C |1|2x xx xD |1|2x xx x 3某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地 了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收 入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A新农村建设后，种植收入减少 B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 理科数学试题第 2页（共 17页） 4记 n S 为等差数列 n a的前 n 项和 . 若 324 3SSS
3、， 1 2a，则 5 a A12B10C10D12 5设函数 32 ( )(1)f xxaxax . 若( )f x 为奇函数，则曲线( )yf x 在点 (0,0) 处的 切线方程为 A2yxByxC2yxDyx 6在ABC中， AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB A 31 44 ABACB 13 44 ABAC C 31 44 ABACD 13 44 ABAC 7某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A， 圆柱表面上的 点 N 在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M 到 N 的路径中，最短路径的长度为 A 2
4、17 B 25 C3D2 8设抛物线 2 4Cyx：的焦点为F，过点 (2,0) 且斜率为 2 3 的直线与C 交于 M，N 两点，则 FMFN A5B6C7D8 9已知函数 e ,0, ( ) ln,0, x x f x xx ( )( )g xf xxa . 若( )g x 存在2 个零点，则 a的 取值范围是 A 1,0)B 0,)C 1,)D 1,) 10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个 半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边 BC，直角边AB，AC ABC 的三边 所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为. 在整个图形中随机取一 点，此
5、点取自，的概率分别记为 1 p ， 2 p ， 3 p ，则 A 12 pp B 13 pp C 23 pp D 123 ppp 理科数学试题第 3页（共 17页） 11已知双曲线 2 2 1 3 x Cy：，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过F 的直线与C 的 两条渐近线的交点分别为M，N. 若OMN为直角三角形，则|MN A 3 2 B 3C 23D4 12已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方 体所得截面面积的最大值为 A 3 3 4 B 2 3 3 C 3 2 4 D 3 2 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。 13若x，y满足
6、约束条件 220, 10, 0, xy xy y 则32zxy 的最大值为. 14记 n S 为数列 n a的前 n 项和 . 若21 nn Sa，则 6 S. 15从 2 位女生， 4 位男生中选3 人参加科技比赛，且至少有1 位女生入选，则不同的 选法共有种.（用数字填写答案） 16已知函数( )2sinsin2f xxx，则( )f x 的最小值是. 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必 考题，每个试题考生都必须作答。第22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。 17 （12 分） 在平面四边形ABCD中，90A
7、DC，45A，2AB，5BD. （1）求cos ADB； （2）若2 2DC，求BC. 18 （12 分） 如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别 为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折 起，使点C到达点P的位置，且PFBF. （1）证明：平面PEF平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值. 理科数学试题第 4页（共 17页） 19 （12 分） 设椭圆 2 2 1 2 x Cy：的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的 坐标为 (2,0) . （1）当l与 x 轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：OMAOMB. 20 （12 分） 某工
8、厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作 检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取20 件作检 验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率 都为(01)pp，且各件产品是否为不合格品相互独立. （1）记 20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为( )f p ，求()f p 的最大值点 0 p . （2）现对一箱产品检验了20 件，结果恰有2 件不合格品，以（1）中确定的 0 p 作 为p的值 . 已知每件产品的检验费用为2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对 每件不合格品支付25 元的赔偿费
9、用. （） 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X，求 EX； （） 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产 品作检验？ 21 （12 分） 已知函数 1 ( )lnf xxax x . （1）讨论( )f x 的单调性； （2）若( )f x 存在两个极值点 1 x ， 2 x ，证明： 12 12 ()() 2 f xf x a xx . （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做 的第一题计分。 22 选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy 中，曲线 1C 的方程为
10、|2yk x. 以坐标原点为极点，x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C 的极坐标方程为 2 2cos3 0 . （1）求 2C 的直角坐标方程； （2）若 1 C 与 2 C 有且仅有三个公共点，求 1 C 的方程 . 23 选修 45：不等式选讲（10 分） 已知( )|1|1|f xxax. （1）当1a时，求不等式( )1f x的解集； （2）若(0, 1)x时不等式( )f xx 成立，求 a 的取值范围 . 理科数学试题第5页（共 17页） 2018年普通高等学校招生全国统一考试( 全国卷 ) 理科数学试题答案（详细解析版） 一、选择题 1.【答案】 C 【解析】分析：首先
11、根据复数的运算法则，将其化简得到，根据复数模的公式，得到，从而选出 正确结果 . 详解：因为， 所以，故选 C. 点睛： 该题考查的是有关复数的运算以及复数模的概念及求解公式，利用复数的除法及加法运算法则求得 结果，属于简单题目. 2.【答案】 B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A，之后根据集 合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式得， 所以， 所以可以求得，故选 B. 点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确 一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果. 3.【答案】 A 【解
12、析】 分析： 首先设出新农村建设前的经济收入为M ，根据题意， 得到新农村建设后的经济收入为2M ， 之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关 系，从而得出正确的选项. 详解：设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ， 则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确； 新农村建设前其他收入我0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B 项正确； 理科数学试题第6页（共 17页） 新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M
13、 ，所以增加了一倍，所以C 项正确； 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收 入的一半，所以D 正确； 故选 A. 点睛： 该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即 可得结果 . 4. 【答案】 B 详解： 设该等差 数列的公差为， 根据题中的条件可得， 整理解得，所以，故选 B. 点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中， 需要利用题中的条件， 结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求 得结果 . 5.【答案】 D 【解析】分析：利用奇函
14、数偶此项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜 率 ，进而求得切线方程. 详解：因为函数是奇函数，所以，解得， 所以， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 化简可得，故选 D. 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要 确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得 相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 理科数学试题第7页（共 17页） 6.【答案】 A 【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量 的加法运算
15、法则- 三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用 相反向量，求得，从而求得结果. 详解：根据向量的运算法则，可得 ， 所以，故选 A. 点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法 的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 7.【答案】 B 【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点M 和点 N 在圆柱上所处的位置，点M 在上底面上， 点 N 在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N 在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根 据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果. 详解
16、：根据圆柱的三视图以及其本身的特征， 可以确定点M 和点 N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角 线的端点处， 所以所求的最短路径的长度为，故选 B. 点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两 个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平 面图形的相关特征求得结果. 8.【答案】 D 【解析】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程 组，消元化简，求得两点，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐 标公式，求得，最后应用向量数量积坐标公式求得结果. 详解：根据题意，过点（ 2， 0）且斜率为的直线方程为， 理科数学试题第8页（共 17页） 与抛物线方程联立，消元整理得：， 解得，又， 所以， 从而可以求得，故选 D. 点睛：该题考查的是有关直线与
