控制工程基础第三版课件 第三章 时域瞬态响应分析

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1、第三章 时域瞬态响应分析,3.1 时域响应及典型输入信号 3.2一阶系统的瞬时响应 3.3二阶系统的瞬时响应 3.4时域分析性能指标 3.5高阶系统的瞬时响应 3.6 综合例题,第三章 时域瞬态响应分析,机电控制系统的运行在时域中最为直观当系统输入某些典型信号时，利用拉氏变换中的终值定理，我们可以了解当时间 t时系统的输出情况，及稳态状况；但对动态系统来说，更重要的是要了解系统加上输入信号后其输出随时间变化的情况，我们希望系统响应满足稳、准、快。另外，我们希望从动力学的观点分析研究机械系统随时间变化的运动规律。以上就是时域稳态响应分析所要解决的问题。 在控制理论发展初期，由于计算机还没有充分发

2、展，时域瞬态响应分析只限于较低阶次的简单系统。随着电子计算机的不断发展，很多复杂系统可以在时域直接分析，使时域分析法在现代控制理论中得到了广泛应用。,3.1 时域响应及典型输入信号,瞬态响应：系统在某一输入信号的作用下其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。也称为过度过程。 稳态响应：当某一信号输入时，系统在时间趋于无穷大时的输出状态。稳态也称为静态。 在分析瞬态响应时，我们往往选择典型输入信号，这有如下好处： (1)数学处理简单，给定典型信号下的性能指标，便于分析、综合系统； (2)典型输入的响应往往科研作为分析复杂输入时系统性能的基础； (3)便于进行系统辨识，确定未知环节的传递函数。,3

3、.1.1 阶跃函数 指输入变量有一个突然的定量变化，例如输入量的突然加入或突然停止等。,(1)数学表达式为： (2)当R=1时的阶跃函数称为单位阶跃函数，用1(t)表示。 (3)幅值为R的阶跃函数可以表示为 。 (4)拉氏变换为 。 (5)在任意时刻 出现的阶跃函数为,3.1.2 斜坡函数 指输入变量是等速变化的。,3.1.3 抛物线函数或加速度函数 指输入变量是等加速度变化的。,（3）拉氏变换为,或,（1）数学表达式为： （2）当A=1/2时的抛物线函数称为单位抛物线函数。,3.1.4 脉冲函数,(1)数学表达式为： A为常数，因此当0t 时，该函数值为无穷大。,(2)当A=1， 时的脉冲函

4、数称为单位脉冲函数。写为,则一般的强度为A的脉冲函数可以表示为,时刻出现的单位脉冲函数可以表示为,单位脉冲函数的面积为1， 我们知道面积可以用积分表示：,（3）拉氏变换为,（4）单位脉冲函数 与单位阶跃函数1(t)有如下关系,即：单位脉冲函数,是单位阶跃函数1(t)的导数,当系统输入任一时间函数时，如上图所示，可将输入信号分割为n个脉冲，当n时，输入函数x(t)可看成n个脉冲叠加而成。按比例和时间平移的方法，可得 时刻的响应为 ，则 即输出响应为输入函数与脉冲响应函数的卷积，脉冲响应函数由此又得名权函数。,3.1.5 正弦函数,（1）数学表达式为：,（2）拉氏变换为：,注：选择何种函数作为典型

5、输入信号，应视不同系统的具体工作状况而定。值得注意的是，时域的性能指标，往往是选择阶跃函数作为输入来定义的；另外，考察系统的频域指标，则采用正弦函数作为典型输入。,3.2 一阶系统的瞬态响应,3.2.1 数学模型 能够用一阶微分方程描述的系统为一阶系统，它的典型形式是一阶惯性环节，其传递函数为 其中T一阶系统的时间常数,当r(t)=1(t)时，一阶系统的输出c(t)称为单位阶跃响应，记作h(t)。,一阶系统的单位阶跃响应,3.2.2 单位阶跃响应,性能指标,1.调整时间ts。经过时间3T4T，响应曲线已达稳态值的95%98%，可以认为其调整过程已完成，故一般取ts=(34)T。 2. 稳态误差

6、ess。系统的实际输出h(t)在时间t趋于无穷大时，接近于输入值，即 3. 超调量Mp。 一阶系统的单位阶跃响应为非周期响应，故系统无振荡、无超调，Mp=0。,3.2.3 一阶系统的单斜坡响应,3.2.3 一阶系统的单斜坡响应,3.2.4 一阶系统的单位脉冲响应,当输入信号r(t)=(t)时，系统的输出称为单位脉冲响应，记为g(t)。 当r(t)=(t)， 即R(s)=1时， 有,3.3 二阶系统的瞬态响应,3.3.1 二阶系统的数学模型 典型二阶系统的结构图 如图所示，其闭环传递函数 为 或,典型二阶系统结构图,其中 系统的阻尼比 n系统的无阻尼自然振荡角频率 系统振荡周期 系统的特征方程为

7、 特征根为,3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应,1.当1时，系统有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。 两个不相等的负实根为 单位阶跃响应,2. 当01时，系统有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼状态。 在欠阻尼状态下，系统的两个闭环极点为一对共轭复极点，即 其中， 称为阻尼振荡角频率。,单位阶跃响应 (3-4) 也可写成 (3-5) 式中,欠阻尼状态下 系统单位阶跃响应,上升时间tr 其中 (2) 峰值时间tp,(3-16),(3) 最大超调量Mp (4) 调整时间ts 误差带范围为 5% 误差带范围为 2% (5) 振荡次数N,3. 当阻尼比=1时，系统的特征根为两相等的负实根，称为临界阻

8、尼状态。,此时系统在单位阶跃函数作用下， 系统的超调量Mp=0， 调节时间 (对应误差带为5%),临界阻尼系统阶跃响应,4. 当阻尼比=0时，系统特征根为一对纯虚根，称为无阻尼状态。 系统特征根 单位阶跃响应为 5. 当阻尼比0时，称为负阻尼状态。 阶跃响应是发散的，系统不稳定。见 P84图3-16、3-17。,3.3.3 二阶系统的单位脉冲响应,1.脉冲响应及脉冲响应函数 当系统输入信号为单位脉冲函数 (t)时，系统的响应为单位脉冲响应， 记为g(t)。,2. 脉冲响应与阶跃响应的关系 系统的单位阶跃响应是该系统单位脉冲响应的积分，或系统的单位脉冲响应是该系统单位阶跃响应的导数。即 或,3.

9、 二阶系统的单位脉冲响应 当1时 当01时 当=1时 当=0时,3.4 控制系统时域响应的性能指标,3.4.1 稳态性能指标 采用稳态误差ess来衡量，其定义为：当时间t趋于无穷时，系统输出响应的期望值与实际值之差。即,(1)上升时间tr： 从零时刻首次到达稳态值的时间,即阶跃响应曲线从t=0开始第一次上升到稳态值所需要的时间。,3.4.2 瞬态(动态)性能指标,(2)峰值时间tp： 从零时刻到达峰值的时间，即阶跃响应曲线从t=0开始上升到第一个峰值所需要的时间.(3)最大超调量Mp： 阶跃响应曲线的最大峰值与稳态值的差与稳态值之比，即,(4)调整时间ts： 阶跃响应曲线进入允许的误差带(一般

10、取稳态值附近5%或2%作为误差带)并不再超出该误差带的最小时间，称为调整时间(或过渡过程时间)。(5)延迟时间td： 阶跃响应曲线从零上升到稳态值得50%所需的时间。 (6)振荡次数： 在调整时间ts内响应曲线振荡的次数。 下面以欠阻尼二阶系统的时域性能指标为例加以说明,1. 求上升时间由式（3.5）知 将 代入，得,因为所以 由于上升时间是输出响应首次达到稳态值的时间，故 所以,2.求峰值时间由式（3.5）知峰值点为极值点，令 ，得,因为所以,3.求最大超调量 将式(3.16)代入到式(3.4)表示的单位阶跃响应的输出表达式中，得,4.求调整时间 由式（3.5）知,以进入5%的误差范围为例，

11、解得 当阻尼比较小时，有同理可证，进入2%的误差范围，则有,例3-2 下图所示系统，施加8.9N阶跃力后，记录其时间响应如图，试求该系统的质量M、弹性刚度k和粘性阻尼系数D的数值。,解：根据牛顿第二定律 拉氏变换，并整理得,3.5 高阶系统的瞬态响应 一般的高阶机电系统可以分解成若干一阶惯性环节和二阶振荡环节的叠加。其瞬态响应即是由这些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加组成。对于一般单输入-单输出的线性定常系统，其传递函数可表示为：,设输入为单位阶跃，则 (3.21)如果其极点互不相同，则式(3.21)可展开成,经拉氏反变换，得可见，一般高阶系统的瞬态响应是由一些一阶惯性环节和二阶振荡环

12、节的响应函数叠加组成的。,为了在工程上处理方便，某些高阶系统通过合理的简化，可以用低阶系统近似，以下两种情况可以作为降阶简化的依据： (1)由于系统极点的负实部愈是远离虚轴，则该极点对应的项在瞬态响应中衰减得愈快。反之，距虚轴最近的闭环极点对应着瞬态响应中衰减最慢的项，称其为主导极点；(其距虚轴距离为其它极点1/5以内) (2)系统传递函数中，如果分子分母具有负实部的零、极点数值上相近，则可将该零点和极点一起消掉，称之为偶极子相消。(一般取两者距离小于1/10实部值),高阶系统的瞬态响应例:已知某系统的闭环传递函数为 试求系统近似的单位阶跃响应。解：对高阶系统的传递函数，首先需分解因式，如果能

13、找到一个根，则多项式可以降低一阶，工程上常用的找根方法，一是试探法，二是劈因法等及相应的计算机算法。 首先我们找到该题分母有一个根s1-20，则利用下面长除法分解出一个因式,对于得到的三阶多项式，我们又找到一个根s2=-60，则可继续利用下面长除法分解出一个因式,对于剩下的二阶多项式，可以很容易地解出剩下一对共轭复根则系统传递函数为其零点、极点如下图所示。根据前面叙述简化高阶系统的依据，该四阶系统可简化为,这是一个二阶系统，用二阶系统的一套成熟的理论去分析该四阶系统，将会得到近似的单位阶跃响应结果为,3.6 例题,例1 某系统如图3-33所示，试求其无阻尼自振角频率，阻尼比，超调量，峰值时间调

14、整时间（进入5%的误差带）。 （图3-33） 解： 对于图3-33所示系统，首先应求出其传递函数，化成标准形式，然后可用公式求出各项特征量及瞬态响应指标。,所以,例2 设单位反馈系统的开环传递函数为 试求该系统单位阶跃响应和单位脉冲响应。 解: 欲求系统响应，可先求出系统的闭环传递函数，然后求出输出变量的象函数，拉氏反变换即得相应的时域瞬态响应。 1当单位阶跃输入时， ，则,所以 2. 线性定常系统对输入信号导数的响应，可通过把系统对输入信号响应求导得出。当单位脉冲输入时， 则 例3 设一单位反馈控制系统的开环传递函数为 试求系统对单位阶跃输入的响应，并求其上升时间和最大超调量。 解： 求解系统的阶跃响应可用例2的思路，由于求出的系统传递函数不是典型的二阶振荡环节，其分子存在微分作用，因此采用公式求其上升时间和最大超调量将引起较大误差，故宜按定义求其值。,当 时， 进行拉氏反变换，得,求其上升时间，即求首次到达稳态值的时间，则有 解之，得 最大超调量为最大峰值与稳态值之差，而峰值处导数为零， 求 得 则,第三章作业（p101107)3-1, 3-3, 3-12, 3-20选做：3-24,