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1、精品文档 精品文档 南京市 2014 届高三年级第三次模拟考试 数学 一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，计 70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1已知全集UR，集合 A x|x 2，x R ，Bx|x1， xR ，则 (?UA)B 2已知 (12 i ) 2abi(a，bR，i 为虚数单位 )，则 ab 3某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生800 人，乙校有学生500 人，现用分层抽样的方 法在这 1300 名学生中抽取一个样本已知在甲校抽取了48 人，则在乙校应抽取学生人数为 4 现有红心1， 2， 3 和黑桃 4， 5 共五张牌，从
2、这五张牌中随机取2 张牌，则所取 2 张牌均为红心的概率为 5执行右边的伪代码，输出的结果是 6已知抛物线y 22px 过点 M(2，2)，则点 M 到抛物线焦点的距离为 7已知 tan 2， ，且 2 ，则 cos sin 8已知 m，n 是不重合的两条直线， ，是不重合的两个平面下列命题： 若 ，m ，则 m ；若 m ，m ，则 ； 若 m ，mn，则 n ；若 m ，m ，则 其中所有真命题的序号是 9将函数f(x)sin(3x 4)的图象向右平移 3个单位长度，得到函数 yg(x)的图象，则函数yg(x)在 3， 2 3 上的 最小值为 10 已知数列 an满足 anan1an2(n
3、3， nN*) ， 它的前 n 项和为 Sn 若 S96， S105， 则 a1的值为 11已知函数f (x) x，x0， x 2，x0，则关于x 的不等式f(x 2 )f(32x)的解集是 12 在 RtABC 中， CACB2， M， N 是斜边 AB 上的两个动点， 且 MN2， 则 CM CN 的取值范围为 13在平面直角坐标系xOy 中，圆 C 的方程为 (x1) 2y24， P 为圆 C 上一点若存在一个定圆 M，过 P 作圆 M 的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当 P 在圆 C 上运动时，使得APB 恒为 60 ，则圆M 的方程 为 14 设二次函数f(x)ax 2bxc
4、(a， b， c 为常数 )的导函数为 f (x) 对任意 xR， 不等式 f(x)f (x)恒成立，则 b 2 a 2+c2 的最大值为 二、解答题（本大题共6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题 纸的指定区域内） 15(本小题满分14 分) S1 I3 While S200 S SI II 2 End While Print I （第 5 题图） 精品文档 精品文档 在 ABC 中，角 A，B， C 所对的边分别为a，b，c，且 tanB tanA1 2c a （1）求 B； （2）若 cos(C 6) 1 3，求 sinA 的值 16(本小
5、题满分14 分) 如图，在四棱锥PABCD 中， O 为 AC 与 BD 的交点， AB 平面 PAD， P AD 是正三角形， DC/AB，DADC2AB. （1）若点 E 为棱 P A 上一点，且OE平面 PBC，求 AE PE的值； （2）求证：平面PBC平面 PDC. 17(本小题满分14 分) 某种树苗栽种时高度为A(A为常数 )米， 栽种 n年后的高度记为f(n) 经研究发现f(n)近似地满足f(n) 9A abt n， P A B C D O E （第 16 题图） 精品文档 精品文档 其中 t2- 2 3，a，b 为常数， nN，f(0)A已知栽种 3 年后该树木的高度为栽种时
6、高度的3 倍 （1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8 倍； （2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大 18(本小题满分16 分) 已知椭圆C： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)过点 P( 1， 1)， c 为椭圆的半焦距，且 c2b过点 P 作 两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆 C 分别交于另两点M，N （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线l1的斜率为 1，求 PMN 的面积； （3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程 19(本小题满分16 分) 已知函数f(x)lnxmx（mR） 精品文档 精品文档 （ 1）若曲线yf(x)过点 P(1， 1)，求曲线y
7、f(x)在点 P 处的切线方程； （ 2）求函数f(x)在区间 1，e上的最大值； （ 3）若函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，求证： x1x2 e 2 20(本小题满分16 分) 已知 a，b 是不相等的正数，在a，b 之间分别插入m 个正数 a1 ，a 2， am和正数 b1 ，b 2， bm，使 a，a1 ，a 2， am，b 是等差数列，a，b1 ， b 2， bm，b 是等比数列 （1）若 m5， a3 b3 5 4，求 b a的值； （2）若 ba( N *， 2)，如果存在 n (nN *，6nm)使得 a n5 bn，求 的最小值及此时 m 的值； （3）求证： anbn
8、(nN* ，nm) 南京市 2014届高三年级第三次模拟考试 数学附加题 精品文档 精品文档 21 【选做题】 在 A、B、C、 D 四小题中只能选做2 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答 卷卡指定区域内 作答解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 41：几何证明选讲 已知圆 O 的内接 ABC 中， D 为 BC 上一点，且 ADC 为正三角形，点E 为 BC 的延长线上一 点， AE 为圆 O 的切线，求证：CD 2BD EC B选修 42：矩阵与变换 已知矩阵A ak 0 1 (k0)的一个特征向量为 k 1 ，A 的逆矩阵A 1 对应的变换将点 (3， 1)变为点 (
9、1，1)求实数a， k 的值 C选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，已知M 是椭圆 x 2 4 y 2 121 上在第一象限的点， A(2，0)，B(0，2 3) 是椭圆两个顶点，求四边形OAMB 的面积的最大值 D选修 45：不等式选讲 已知 a，b，cR，a 22b23c26，求 abc 的最大值 【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分请在答卷卡指定区域内 作答解答应写出文字说明、 O B A C D E （第 21题 A 图） 精品文档 精品文档 证明过程或演算步骤 22 （本小题满分10 分） 如图，在正四棱锥PABCD 中， P AAB2
10、，点 M，N 分别在线段PA 和 BD 上， BN 1 3BD （1）若 PM 1 3PA，求证： MNAD； （2）若二面角MBDA 的大小为 4，求线段 MN 的长度 23 （本小题满分10 分） 已知非空有限实数集S的所有非空子集依次记为S1，S2，S3，集合Sk中所有元素的平均 值记为 bk将所有bk组成数组T：b1，b2，b3，数组T 中所有数的平均值记为m(T) （1）若 S=1，2，求 m(T)； （2）若 Sa1，a2， an（ nN *， n2） ，求 m(T) C P M A B D N (第 22 题图 ) 精品文档 精品文档 南京市 2014届高三年级第三次模拟考试 数
11、学参考答案 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，计 70 分. 1(2，1) 2 7 330 4 3 10 511 6 5 2 7 5 5 89 2 2 101 11 (， 3) (1，3) 12 3 2，2 13(x1) 2y21 14222 二、解答题： 15(本小题满分14 分) 解： (1)由 tanB tanA1 2c a 及正弦定理，得 sinBcosA cosBsinA1 2sinC sinA ，2 分 所以 sinBcosAcosBsinA cosBsinA 2sinC sinA ，即 sin(AB) cosBsinA 2sinC sinA ，则 sinC cosBs
12、inA 2sinC sinA 因为在 ABC 中， sinA0，sinC0， 所以 cosB 1 2 5 分 因为 B(0， )，所以 B 3 7 分 （2）因为 0C2 3 ，所以 6 C 6 5 6 因为 cos(C 6) 1 3，所以 sin(C 6) 2 2 3 10 分 所以 sinAsin(BC) sin(C 3)sin(C 6) 6 12 分 sin(C 6)cos 6 cos(C 6)sin 6 2 61 6 14 分 16(本小题满分14 分) 证 （1）因为 OE平面 PBC，OE平面 PAC，平面 PAC 平面 PBCPC，所以 OEPC， 所以 AO OCAEEP3 分
13、 因为 DC/AB，DC 2AB，所以 AOOCABDC1 2. 所以 AE PE 1 2 6 分 （2）法一：取PC 的中点 F，连结 FB，FD 因为 PAD 是正三角形， DADC，所以 DPDC 因为 F 为 PC 的中点，所以DF PC. 8 分 精品文档 精品文档 因为 AB 平面 PAD，所以 ABPA，ABAD，ABPD 因为 DC/AB，所以 DCDP，DCDA 设 ABa，在等腰直角三角形PCD 中， DF PF 2a 在 RtPAB 中， PB 5a 在直角梯形ABCD 中， BDBC 5a 因为 BCPB 5a，点 F 为 PC 的中点，所以PCFB 在 RtPFB 中
14、， FB 3a 在 FDB 中，由 DF 2a，FB3a，BD5a，可知 DF 2FB2BD2，所以 FBDF 12 分 由 DFPC，DF FB，PCFBF，PC、FB平面 PBC，所以 DF 平面 PBC 又 DF平面 PCD，所以平面PBC平面 PDC14 分 法二：取PD，PC 的中点，分别为M，F，连结 AM，FB，MF ， 所以 MFDC， MF 1 2DC 因为 DC/AB，AB 1 2DC，所以 MF AB， MFAB， 即四边形ABFM 为平行四边形，所以AMBF8 分 在正三角形PAD 中， M 为 PD 中点，所以AMPD 因为 AB平面 PAD，所以 AB AM 又因为
15、 DC/AB，所以 DCAM 因为 BF/AM，所以 BFPD， BFCD 又因为 PD DCD，PD、DC平面 PCD，所以 BF平面 PCD12 分 因为 BF平面 PBC，所以平面PBC平面 PDC . 14 分 17(本小题满分14 分) 解： （1）由题意知f(0)A，f(3)3A 所以 9A abA， 9A a 1 4b 3A， 解得 a1，b 84 分 所以 f(n) 9A 18t n，其中 t2 - 2 3 精品文档 精品文档 令 f(n)8A，得 9A 18t n8A，解得 t n1 64， 即 2- 2n 3 1 64，所以 n9 所以栽种年后，该树木的高度是栽种时高度的8
16、倍6 分 （2）由（ 1）知 f(n) 9A 18t n 第 n 年的增长高度为f(n)f(n 1) 9A 18t n 9A 18t n1 9 分 所以 72At n1(1t) (18t n)(18tn1) 72At n1 (1t) 18t n1(t1)64t2n1 72A (1 t) 1 t n164t n8(t1) 12 分 72A (1t) 264t n1 t n18(t1) 72A (1t) 8(1t ) 2 9A (1t ) 1t 当且仅当64t n1 t n1，即 2 - 2(2n-1) 3 1 64时取等号，此时 n5 所以该树木栽种后第5 年的增长高度最大14 分 18(本小题满分16 分) 解： （1）由条件得 1 a 2 1 b 21，且 c 22b2，所以 a23b2，解得 b24 3，a 24 所以椭圆方程为： x 2 4 3y
