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1、在职研究生考试数学测试练习题,微积分,x 2,x0,（ 1 ） 设 y(x) 是微分方程 y (x 1) y x 2 y e x 的满足 y(0) 0 ， y(0) 1 的解，则 lim y(x) x （）,（A）等于 0.（B）等于 1.（C）等于 2.（D）不存在.,x2,2x22,x0 x0,x0,解lim y(x) x lim y(x) 1 lim y (x) 1 y(0) ，,将 x 0 代入方程，得 y (0) (x 1) y(0) x2 y(0) 1 ，又 y(0) 0 ，y(0) 1 ，故 y(0) 2 ，,所以lim,x2,x0,y(x) x, 1，选择 B.,xy,1122
2、,（2）设在全平面上有 f (x, y) 0 ， f (x, y) 0 ，则保证不等式 f (x , y ) f (x , y ) 成立,的条件是（） （A） x1 x2 ， y1 y2 . （C） x1 x2 ， y1 y2 .,（B） x1 x2 ， y1 y2 . （D） x1 x2 ， y1 y2 .,解,f (x, y),x, 0 f (x, y) 关于 x 单调减少，,y,1,f (x, y) 0 f (x, y) 关于 y 单调增加，,当 x1 x2 ， y1 y2 时， f (x1, y1 ) f (x2 , y1 ) f (x2 , y2 ) ，选择 A. （3）设 f (x
3、) 在(,) 存在二阶导数，且 f (x) f (x) ，当 x 0 时有 f (x) 0 ， f (x) 0 ，则当 x 0 时有（） （A） f (x) 0, f (x) 0 . （B） f (x) 0, f (x) 0 . （C） f (x) 0, f (x) 0 . （D） f (x) 0, f (x) 0 . 解【利用数形结合】 f (x) 为奇函数，当 x 0 时， f (x) 的图形为递减的凹曲线，当 x 0 时， f (x) 的图形为递 减的凸曲线，选择D. （4）设函数 f (x) 连续，且 f (0) 0 ，则存在 0 ，使得（）,在(0, ) 内单调增加 在( , 0)
4、内单调减少 （C）对任意的 x (0, ) ，有 f (x) f (0) （D）对任意的 x ( , 0) ，有 f (x) f (0),x,x0,解【利用导数的定义和极限的保号性】 f (0) lim f (x) f (0) 0 ，,x,f (x) f (0),由极限的的保号性，U (0, ) ，在此邻域内， 0 ，所以对任意的 x ( , 0) ，,有 f (x) f (0)，选择D.,(D) (2 , 3).,存在，则,在(a , b)内有界.,，,，,，,存在，则函数 f (x)在开区间(a , b)内有界.,(5) 函数x(x 1)(x 2)2 在下列哪个区间内有界. (A) (1
5、, 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2). A ,| x | sin( x 2),f (x) ,lim f (x) 【分析】如 f (x)在(a , b)内连续，且极限 xa 函数 f (x),lim f (x) 与 xb,18,limf (x) sin 3,【详解】当 x 0 , 1 , 2 时， f (x) 连续， 而 x1,4,lim f (x) sin 2,x0,x0,2,lim f (x) sin 2lim f (x) ,4， x1,lim f (x) ， x2,所以，函数 f (x)在(1 , 0)内有界，故选(A). 【评注】一般地，如函数 f (x)在闭区间a
6、, b上连续，则 f (x)在闭区间 lim f (x),a , b上有界；如函数 f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限 xa与 lim f (x),xb,lim f (x) a （6）设 f (x)在( , +)内有定义，且 x，,(A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点.,(B) x = 0 必是 g(x)的第二类间,，即 x = 0 是 g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点 x = 0,处的连续性 与a 的取值有关，故选(D). 【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (7) 设 f (x) = |x(1 x)|，则 (A) x = 0 是
7、 f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线 y = f (x)的拐点. (B) x = 0 不是 f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (C) x = 0 是 f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点., f ( 1 ) , x 0 g(x) x 0, x 0 ，则,断点. x = 0 必是 g(x)的连续点. g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关. D lim g(x) 【分析】考查极限 x0是否存在，如存在，是否等于 g(0)即可，通过换 u 1 元x ，,lim g(x) 可将极限 x0.,lim f (
8、x) 转化为 x,x0 xu,【详解】因为 x0,lim g(x) lim f ( 1 ) lim f (u),u 1 = a(令x )，又 g(0) = 0，,3,所以， lim g(x) g(0) 当 a = 0 时， x0，即 g(x)在点 x = 0 处连续，当a 0 时，,lim g(x) g(0) x0,收敛.,发散.,都收敛.,(C) (3) (4).,(D) (1) (4).,则以上命题中正确的是 (A) (1) (2).(B) (2) (3). B ,【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明 4 个命题的正确性.,(D) x = 0 不是 f (x)的极值点，(0 , 0)也
9、不是曲线 y = f (x)的拐点. C 【分析】由于 f (x)在 x = 0 处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极 值情况， 考查 f (x)在 x = 0 的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况. 【详解】设 0 0，而 f (0) = 0，所以 x = 0 是 f (x) 的极小值点. 显然，x = 0 是 f (x)的不可导点. 当 x ( , 0)时，f (x) = x(1 x)， f (x) 2 0 ， 当 x (0 , )时，f (x) = x(1 x)， f (x) 2 0 ，所以(0 , 0) 是曲线 y = f (x)的拐点. 故选(C). 【评注】对于极值情况，
10、也可考查 f (x)在 x = 0 的某空心邻域内的一阶导 数的符号来判断. (8) 设有下列命题：,(u2n (1) 若n1,un 收敛，则n1收敛.,un,(2) 若n1收敛，则n1,un1000,lim 1,4,(3) 若n un,un1,un ，则n1,(un vn ) (4) 若n1,unvn 收敛，则n1， n1,(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.,(4)是错误的，如令,都发散，而,收敛. 故选(B).,另外，,，由极限的保号性，至少存在一点,【详解】(1)是错误的，如令un 收敛.,，显然，n1分散，而n1,un(u2n,lim 1,un1,(
11、3)是正确的，因为由n un可得到un 不趋向于零(n )，所以n1 发散.,un,n,un 1 , vn 1,n ，显然， n1,unvn ， n1,(un vn ) n1,【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型. (9) 设 f (在a , b上连续，且 f (a) 0, f (b) 0 ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点 x0 (a,b) ，使得 f (x0 ) f (a). (B) 至少存在一点 x0 (a,b) ，使得 f (x0 ) f (b). (C) 至少存在一点 x0 (a,b) ，使得 f (x0 ) 0 . (D) 至少存在一点 x0 (a
12、,b) ，使得 f (x0 ) = 0. D 【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可 选出错误选项.,【详解】首先，由已知 f ( 介值定理，,在a , b上连续，且 f (a) 0, f (b) 0 ，则由,至少存在一点 x0 (a,b) ，使得 f (x0 ) 0 ；,x a,5,f (x) f (a) 0,f (a) lim xa,x0 (a,b),使得,，故应选().,（11）设函数在处连续，且，则,存 在 (D)存 在,(C) C ,.,x0 a,f (x0 ) f (a) 0,，即 f (x0 ) f (a) . 同理，至少存在一点 x0 (a,b),使
13、得 f (x0 ) f (b) . 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D). 【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度. （10）设函数 y f (x) 具有二阶导数，且 f (x) 0, f (x) 0 ，x 为自变量 x 在点 x0 处的增量， y与dy 分别为 f (x) 在点 x0 处对应的增量与微分，若x 0 ，则 (A) 0 dy y . (B) 0 y dy . (C) y dy 0 . (D) dy y 0 . 【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】由 f (x) 0, f (x) 0 知，函数 f (x) 单调增加，曲 线 y f
14、 (x) 凹向，作函数 y f (x) 的图形如右图所示，显然当x 0 时，,y dy f (x )dx ,f x,x 0,lim,f h2 ,h2,h0, 1,(A) f 0 0 且 f 0 存 在 (B) f 0 1 且 f 0 存 在 ,f 0 0且f 0f 0 1且f 0,f h2 ,h2,lim 【分析】从 h0, 1,入手计算 f (0 ，利用导数的左右导数定义判定, f (0), f (0) 的存在性.,f h2 ,h2,lim 【详解】由 h0, 1,知， h0,lim f h2 0,.又因为 f x 在 x 0 处连续，则,f (0) lim f (x) lim f h2 0
15、 x0h0,6,.,收敛.,(C),收 敛 . (D),收 敛 ., 【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定.,收敛，故应选().,或利用排除法：,取,取,为,令t h2 ，则,2,f h2 ,h0,f t f,1 lim, lim,所以 f(0) 存在，故本题选（C）., an （12）若级数 n1收敛，则级数,n,(A) n1, a,n,收 敛 . （B） n1,(1)n a,a a,n1, n n1, an a n,n,【详解】由 n1, a,n1,收敛知 n1, a, an a 收敛，所以级数 n,n,n ，则可排除选项（），（）；,a (1)n 1,n,7,1 n ，则可排除选项（
16、）.故（）项正确.,a (1)n,（13）设非齐次线性微分方程 y P(x) y有两个不同的解 y1 (x), y 任意常数，则该方程的通解是,（） C y1 (x) y2 (x) . （） y1 (x) C y1 (x) y2 (x) . （） C y1 (x) y2 (x) . （） y1 (x) C y1 (x) y2 (x) 【分析】利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可. 【详解】由于 y1 (x) y2 (x) 是对应齐次线性微分方程 y P(x) y 0 的非零解， 所以它的通解是Y C y1 (x) y2 (x) ，故原方程的通解为 y y1 (x) Y y1 (x) C y1 (x) y2 (x) ，故应选().,【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：,.,在,(A) 若，则,.,(B) 若，则,.,(C) 若，则,.,若,，,则,.,(D) ,.,整理得,.（因为,），,若,，则,.故选（
