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1、3 线性变换及其矩阵表示以上讨论了线性空间的代数结构，说明了上任一线性空间都与向量空间同构。但尚未涉及两个向量空间之间的转换关系。然而，在技术科学、社会科学和数学的一些分支中，不同向量空间之间的线性变换起着重要的作用。因此，为了研究两个向量空间之间的关系，有必要考虑能够从一个向量空间到另一个向量空间的转换关系的函数。事实上，在我们的日常生活中，也经常遇到这种转换。当我们欲将一幅图像变换为另一幅图像时，通常会移动它的位置，或者旋转它。例如，函数就能够将图像的坐标和坐标改变尺度。根据和大于1还是小于1，图像就能够被放大或者缩小。下面我们讨论线性空间之间一种最简单但又最重要的联系，即线性变换，特别是
2、到自身的线性变换(也称为线性算子)。定义1 设到的变换称为线性的，如果对任意的数及中任意向量，恒有 记，则称为在下的像，称为的原像。特别，当是到自身的一个线性变换，则称是的线性变换。定义中的两个条件也可以合并写作更一般地，若，反复使用上面公式，可得这一公式在工程和物理中被称为叠加原理(superposition principle)。如果分别是某个系统或过程的输入信号向量，则可分别视为该系统或过程的输出信号向量。判断一个系统是否为线性系统的判据是：如果系统的输入为线性表达式，则当系统的输出也满足相同的线性关系时，该系统为线性系统。否则，为非线性系统。例1 下面是两个从到的变换：，容易看出，例1
3、的变换不满足线性关系,故不是线性变换；而变换满足线性关系，为线性变换。例2 给定，定义到的变换为，容易验证是一个线性变换。因为，。因此，矩阵变换是向量的线性变换。称为线性变换的标准矩阵(Standard matrix)。线性变换也称矩阵变换。例3 对中的多项式求导，容易验证它是的线性变换，记为，即例4 中的函数求积分，容易验证它是的线性变换，记为，即例5 前面介绍的向量内积也是一种线性变换。以实内积空间为例，显然它是一种将笛卡儿积变换到实数域的映射，即根据内积定义知，映射满足线性变换的两个条件，故为线性变换。例6 的恒等变换定义为而零变换定义为不难验证，它们都是的线性变换。线性变换具有下列简单
4、性质：（1)(2),即任意一组向量的线性组合取像，分别等于取像再线性组合；(3)一组线性相关的向量，它们在下的像 也是线性相关的。但是，线性无关的向量在下的像可能是线性相关的。例如零变换把线性无关的向量都映射为零向量。定义2 欧氏空间的线性变换称为正交变换，如果它保持中任何两个向量的内积不变，即对任意的，恒有定理1 设是欧氏空间的线性变换，则是正交变换的充充分必要条件是下列条件之一成立：(1)保持向量的长度不变，即对任意，都有.(2)把一个标准正交基映射为一个标准正交基；(3)在任一个标准正交基下的矩阵都是正交矩阵. 证 (1)的证明比较简单，请读者自证。 (2)设是的一个标准正交基。若是正交
5、变换，则故是标准正交基。 反之，设是中的两个向量，则有 若把标准正交基映为标准正交基，则，从而，即是正交变换。 (3)设是一个标准正交基，在这个基下的矩阵是，则 若是正交变换，那么，即的第行第列处的元是，故，也就是说是正交矩阵。 反之，若是正交矩阵，则由上述的推导可知，亦即把标准正交基映为标准正交基，故是正交变换。 不难证明，正交变换的乘积是正交变换；正交变换是可逆的，且其逆变换也是正交变换。注：正交投影变换；正交变换(Gives旋转变换、Householder镜像变换)；对称变换等变换以后将详细讨论。定理2 令和是是两个向量空间，为一线性变换。(1)若是的线性子空间，则是的线性子空间；(2)若是的线性子空间，则线性反变换是的线性子空间. 证明 略
