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1、 1 解析几何的基本思想就是用代数方法来处理几何问题.为了把代数运算引入 到几何中,需要把空间结构代数化.为此需要引进向量的代数运算,通过向量引进 坐标系.本讲义主要讨论向量的运算与空间解析几何的基本内容. 1 向量及其线性运算 1 向量及其线性运算 1.向量概念 1.向量概念 向量是数学的基本概念之一， 是空间解析几何的重要工具, 它在许多与数学 相关的学科中也是解决问题的有力工具. 我们把既有大小，又有方向的量叫做向量或矢量. 例如位移、速度、加速度、 力、力矩等都是向量. 而通常把只有大小的量叫做数量. 在数学中，利用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，有 向线段的方向表示
2、向量的方向.以 A 为起点,B为终点的有向线段所表示的向量记 作AB ? ? （图 1）. 有时用加箭头的字母或用粗体字母作为向量的记号，例如向量 , , afW ? ? ? ? 或向量a, f, W等. B A 图 1 如果两个向量a和b的大小相等，且方向相同，就说a和b是相等的向量， 记作?ab.这就是说，经过平行移动后能完全重合的向量是相等的. 注意,注意, 在数学中我们只考虑向量的大小和方向， 而不论它的起点在什么地方. 即 向量可以自由地平行移动,且平移前后都代表相等的向量(同一个向量). 由于向 量起点的任意性，数学上称这种向量为自由向量. 我们只讨论自由向量. 向量的大小叫做向量
3、的模或长度.向量, AB ? ? a的模依次记作|AB ? ? |与|a|.模 是 1 的向量叫做单位向量. 模是 0 的向量叫做零向量， 记作 0 或0 ? .注意,零向量 的起点和终点重合，零向量的方向可以看作是任意的. 如果两个非零向量a和b的方向相同或者相反，就称两个向量共线也叫平 行，记为/a b(共线或平行).由于零向量的方向是任意的，因此认为零向量与任 2 何向量都平行, 记为0/ ? a. 类似还有向量共面的概念. 如果k个向量平行于同一个平面，就称这k个 向量共面.此时若把它们的起点放在同一点，则k个终点和公共起点必在同一个 平面上. 2. 向量的线性运算 2. 向量的线性运
4、算 2.1 向量的加减法 2.1 向量的加减法 设两个向量a和b，任取一点A，作AB ? ? ? a，再以B为起点，作BC ? ? ? b，连 接AC（图2） ，那么向量AC ? ? c称为向量a与b的和，记作a+ b，即?ca+b. 上述作出两向量之和的方法叫做向量相加的三角形法则. C D C a+b b b a+b A a B A a B 图2 图3 力学上有求合力的平行四边形法则， 数学上也有向量相加的平行四边形法则. 这就是：设向量a,b不平行，作 ABAD? ? ? a,b ，以AB、AD为边作一平行四边 形ABCD，连接对角线AC（图3） ，显然, 向量AC ? 等于向量a与b的
5、和a+ b. 向量的加法符合下列运算规律： (1)交换律 a+ b = b+a (2)结合律 ()()a+b +c = a+ b+c 这是因为，按向量加法的规定（三角形法则） ，从图 3 可见： ABBCAC? ? ? ? a+ bc ADDCAC? ? b+ac 所以符合交换律，又如图 4 所示，先作a+ b再加上c，即得和()a+b +c，如以a 与b+c相加，则得同一结果，即符合结合律. 3 a+b+c c a4 a5 b+c a3 a+b s a2 a b a1 图 4 图 5 由于向量加法符合交换律和结合律，故n个向量 12n ,?a aa相加可写成： ? 12n +?aaa， 并按
6、向量相加的三角形法则，可得n个向量相加的法则如下：使前一向量的终点 作为次一向量的起点，相继作向量 12n ,?a aa，再以第一向量的起点为起点，最 后一个向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求的和.如图 5，有 ? 12345 =+saaaaa 设a为向量，与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量，记作?a.由 此，规定两个向量b与a的差： =+()?baba， 即把向量?a加到向量b上，便得b与a的差?ba（图6(a)）. ?a B b b b?a b-a a O a A (a) (b) 图 6 显然，任给向量 AB ? ? 及点O，有 ABAOOBOBOA? ? ? ? ? ?
7、， 因此，若把向量a与b移到同一个点O，则从a的终点 A向b的终点B 所引向量 便是向量b与a的差?ba（图6(b)）. 特别地，当=ba时，有 =+() = 0?aaaa. 4 由三角形两边之和大于第三边的原理，有 ?+abab 及 ?-a bab 其中等号在a与b同向或反向时成立. 2.2 数乘向量法2.2 数乘向量法 规定实数?乘乘向量a是一个向量,记为?a.它的模是?aa.它的方向当 0?时与a相同，当0?时与a相反. 特别地， 当0?时，0?a，即?a为零向量，这时它的方向是任意的. 当1?时, 1( 1)= , =?aaaa. 数乘向量满足下列性质： (1)结合律 ()()()?
8、? ?aaa； 这是因为由数乘向量规定可知， 向量(), (), ()? ? ?aaa、 都是平行的向量， 它们的指向也是相同的，且()()()? ? ?aaaa， 所以 ()()()? ? ?aaa. (2)分配律 () =?aaa； ()=?a bab. 这个规律同样可用数乘向量定义来证明，证明从略. 注 注 向量的加法及数乘统称为向量的线性运算. 例 1 例 1 平行四边形ABCD中， 设AB ? ? ? a，AC ? ? b.试用a和b表示向量MA ? 、MB ? 、 MC ? ? 和MD ? ? ，这里M是平行四边形对角线的交点（图 7）. D C M b A a B 图 7 解 解
9、 由于平行四边形的对角线互相平分，所以 2ACAM?+ ? ? ab =， ()2+MA? ? ab 5 于是 1 () 2 +MA ? ? ? ab；因为MCMA? ? ? ? ，所以 1 () 2 +MC ? ? ? ab. 又2+BDMD? ? ? ? ab，所以 1 () 2 MD ? ? ? ba，且 1 () 2 MBMD? ? ? ? ab. 前面已经规定,模为1的向量叫单位向量. 对于非零向量a， 与它同方向的单 位向量叫做向量 的单位向量a, 常记为 0 a或 a e .这里有 0 | 1 a ?|a |=|e . 按照向量的数乘规定， 0 a a与 0 a(即a)的方向相同
10、，a的模也相同.显然有公 式: 0 a = a a 或写成 a a=|a|e.即向量a等于它的模与它的单位向量乘积. 规定当0?时， 1 ? ? a a. ，则 的单位向量a公式为: 0 ? a a a , 或 a ? a e a . 这表示一个非零向量a除以它的模是同方向的单位向量 0 a. 利用?a与a共线( (平行)，可得向量的共线定理. 定理 1 设向量定理 1 设向量?0a.则，向量.则，向量b与a共线的充要条件是：存在唯一的实数共线的充要条件是：存在唯一的实数?， 使使?b= a. (. (此定理也叫共线定理 ) . ) . 推论 1 推论 1 /?（共线）存在数 ， 使b a b
11、 =a. . 推论 2 两个向量推论 2 两个向量a与b共线的充要条件是存在不全为 0 的数共线的充要条件是存在不全为 0 的数,k l使得 0kl? ? ab. 证 证 充分性是显然的，下面证明条件的必要性. 设/b a，取? b a ，当b与a同向时?取正值，当b与a反向时?取负值，即有 ?b= a. .这是因为此时b与?a同向，且 | | ? b a =aab a . . 再证数?的唯一性. .设?b= a，又设?b= a，两式相减，便得 ()0?a=，即0?a =. . 因0?a，故0? ?-，即?. . 证毕. . 6 定理 1 是建立数轴的理论依据. .我们知道，给定一个点、一个方
12、向及单位长 度，就确定了一条数轴. .由于一个单位向量既确定了方向，又确定了单位长度， 因此，给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴. .设点O及单位向量i确定 了数轴Ox（图 8）. . 1 x O i P x 图 8 对于轴上任一点P，对应一个向量OP ? ? ，由于/OP ? ? i，根据定理 1，必有唯一的 实数x， 使OPx? ? ? i（实数x叫做有向线段OP ? ? 的值） ， 并且OP ? ? 与实数x一一对应. . 于是有关系： 点P ?向量OPx? ? ? i实数x. 从而轴上的点P与实数x有一一对应的关系. .据此，定义实数x为数轴上点P的 坐标. . 由此可知，轴上点
13、P的坐标为x的充要条件是 OPx? ? ? i. 3. 空间直角坐标系3. 空间直角坐标系 在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k，就确定了三条都 以O为原点的两两垂直的数轴，依次记为x轴（横轴） 、y轴（纵轴） 、z轴（竖 轴） ，统称坐标轴.它们构成一个空间直角坐标系，称为Oxyz坐标或?O; , ,i j k坐 标系（图 9）.通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正 向通常符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以 2 ? 角 度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向，如图 10. z z z z k O j y O y i x 图 9 图 10 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标 x 7 面.
