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1、第三章习题和习题详解将1，2题中的向量表示成的线性组合：12解：设存在使得，整理得解得所以.1. 设存在 使得，整理得，.解得 所以.判断3，4题中的向量组的线性相关性：3. 4. 解： 设存在 使得，即 ，由，解得不全为零，故线性相关.4.设存在 使得，即可解得不全为零，故线性相关.5.论述单个向量线性相关和线性无关的条件.解：设存在使得，若，要使，当且仅当，故，单个向量线性无关的充要条件是；相反，单个向量线性相关的充要条件是.6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关.证：设向量组线性无关，利用反证法，假设存在该向量组的某一部分组线性相关，则向量组线性相关，与向量组线性无
2、关矛盾，所以该命题成立.7.证明：若线性无关，则也线性无关.证：方法一，设存在使得，整理得，因为线性无关，所以，可解得，故线性无关.方法二，因为，又因为，且线性无关，所以向量组的秩为2，故线性无关.8.设有两个向量组和其中 是分别在的个分量后任意添加个分量所组成的维向量，证明：（1） 若线性无关，则线性无关；（2） 若线性相关，则线性相关.证：证法1，(1)设，因为线性无关，所以齐次线性方程只有零解，即 且，线性无关.证法2，因为线性无关，所以齐次线性方程只有零解，再增加方程的个数，得，该方程也只有零解，所以线性无关.(2) 利用反证法可证得，即假设线性无关，再由（1）得线性无关，与线性相关矛
3、盾.9. 证明：线性无关的充分必要条件是线性无关.证：方法1，（）=（）因为线性无关，且，可得的秩为3所以线性无关.线性无关；反之也成立.方法2，充分性，设线性无关，证明线性无关.设存在使得，整理得，因为线性无关，所以，可解得，所以线性无关.必要性，（方法1）设线性无关，证明线性无关，假设线性相关，则中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设线性表示，则向量组可由线性表示，且，所以线性相关，与线性无关矛盾，故线性无关.方法2，令，设存在使得，由得，代入得，即因为线性无关，所以可解得，所以线性无关.10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）线性无关的充分必要条件是任意两
4、个向量线性无关；解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。设，两两线性无关，而线性相关.（2）线性相关的充分必要条件是有个向量线性相关；解：不正确，充分条件成立，但必要条件不成立，例：设，线性相关，而 俩两两线性无关.（3） 若线性相关，线性相关，则有不全为零的数，使得且，从而使得，故线性相关.解：不正确，因为线性相关和线性相关，不一定存在同一组不全为零的数，使得和成立；或者说存在两组不全为零的数和使得和成立.（4） 若线性无关，则线性无关.解：不正确，因为取1，1，1这组常数，使得，所以线性相关.（5） 若线性无
5、关，则线性无关；解：不正确，因为线性相关，由9题，为奇数个时，线性无关，为偶数时，线性相关.（6） 若线性相关，则线性相关；解：正确，因为线性相关，所以中至少有一向量可由剩余的个向量线性表示，则也可由那剩余的个向量线性表示，再因为，所以线性相关.11.如果线性相关，但其中任意3个向量都线性无关，证明必存在一组全不为零的数，使得.证：因为线性相关，所以存在不全为零的常数，使得，假设，则，得线性相关与题设矛盾.故；同样方法可证得都不为零.所以该命题成立.12.若线性无关，证明：线性无关的充分必要条件是不能由线性表示.证：必要性，假设能由，则线性相关与线性无关矛盾，故不能由线性表示.充分性，设存在使
6、得，若，则能由线性表出，矛盾，所以，因此，又因为线性无关，所以，故，线性无关.13.求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示：（1） （2）;（3）解：（1）=所以，向量组的秩为3，为一个极大线性无关组，.（2）类似（1），可求得向量组的秩为3，为一个极大线性无关组，且，.（3）类似（1），可求得向量组的秩为3，为一个极大线性无关组，.14.设向量组：（1）证明线性无关；（2）求向量组包含的极大线性无关组.（1）证：设存在,使得，求得，所以线性无关；（2）解， ,所以，为包含的一个极大线性无关组.15.设皆为阶矩阵，证明：（1）秩;（2）秩，为任意阶矩阵.证
7、：（1）设，则存在阶可逆矩阵,使得从而.则秩秩（2）因为秩,所以秩.16.证明.证：设分别为矩阵，将按列分块，则有的列向量组可由的列向量组线性表示，故的列秩的列秩=，同样，将按行分块，得，因此，该命题成立.17.设分别为矩阵，且，证明：齐次线性方程组有非零解.证：由，所以，故齐次线性方程组有非零解.18.设是一个矩阵，是由的前行构成的矩阵.证明：若的行向量组的秩为，则.证：设，.设，于是，的行向量组的极大线性无关组含个向量。因此，的行向量组的一个极大线性无关组是向量组的一个子集，所以它所含向量个数，即，从而，.求下列（1922题）矩阵的秩，并指出该矩阵的一个最高阶的非零子式：19. . 解：所
8、以，矩阵的秩为3。为一个最高阶的非零子式。20. .解： 所以，矩阵的秩为3。为一个最高阶的非零子式。21. . 解：所以，矩阵的秩为3。为一个最高阶的非零子式。22. 解：所以，矩阵的秩为4。为一个最高阶的非零子式。23.设是一个矩阵，证明：存在非零的矩阵，使得的充要条件是 .证：设齐次线性方程组，则由，可得，由于，至少有一个，再由有非零解的充要条件是，故，至少有一个的充要条件是.24.设是同形矩阵，证明：与相抵的充要条件是.证：设是矩阵，则存在可逆矩阵，使得，充分性，因为，所以，=，,令,故，因此，与相抵.必要性，因为与相抵，所以，存在可逆矩阵,使得，因此，.25.设是矩阵，证明：存在矩阵
9、使得.证：因为，所以，存在可逆矩阵,使得，所以有, (1)(1) 右端乘阶矩阵,得，令,故，.26.证明：若阶方阵的秩为，则必有秩为的阶方阵，使得.证：因为阶方阵的秩为，所以的秩为，则的基础解系含有个线性无关的解向量，取这个线性无关的解向量为的列向量，则.因此，该命题得证.27.证明：任何秩为的矩阵可以表示为个秩为1矩阵之和，而不能表示为少于个秩为1的矩阵之和.证：设为秩为的矩阵，则存在可逆矩阵使得，所以，其中为秩为1的矩阵因此，任何秩为的矩阵可以表示为个秩为1矩阵之和.后部的证明，（反证法）假设为秩为的矩阵，能表示为少于个秩为1的矩阵之和，不妨设能表示为个秩为1的矩阵之和，其中，设其中是秩为
10、1的矩阵.，与矛盾.28.求下列齐次线性方程组的一个基础解系及一般解：（1）解：取为自由未知量，令和，得原方程组的一个基础解系为，因此，一般解为=，其中为任意常数.(2). 解：取为自由未知量，令，和，得原方程组的一个基础解系为 因此，一般解为，其中，为任意常数.29. 求下列非齐次线性方程组的一般解：（1）解：取为自由未知量，令，得方程组的一个特解：，再令和，得其导出组的一个基础解系：.所以，方程组的一般解为，其中为任意常数.（2）解：取为自由未知量，令，得方程组的一个特解：；再取，和得其导出组的一个基础解系：所以，方程组的一般解为，其中为任意常数.30.讨论取何值时，下列线性方程组有解、无
11、解，有解时求其解.(1) 解：所以，或时，该方程组无解，且时，有唯一解是，（2）解：所以，当或时，方程组无解；当且时，方程组有无穷多解，取为自由变量，令，得方程组的一个特解：；再取，和得其导出组的一个基础解系：所以，方程组的一般解为，其中为任意常数.（3）解：所以，当且时，方程组有唯一解。当时，方程组无解；当时，所以，当且时，方程组有无穷多解，其中为任意常数。当且时，方程组无解。31.设是矩阵，证明：若任一个维向量都是的解，则.证：因为任一个维向量都是的解，则维向量（第个分量为1其余分量均为0的列向量）满足，即,其中是阶单位方阵，因此，.32. 设是一个矩阵，是矩阵.是维列向量.证明：若与是同
12、解方程组，则.证： 因为若与是同解方程组，所以，的基础解系所含解向量的个数与的基础解系所含解向量的个数相等.即，因此，.33. 设是矩阵, 是矩阵，证明：若，则.证：设，其中是一组列向量，由得，.若，则的基础解系含有个线性无关的解向量，而为的解向量，则可由的基础解系线性表示，所以，.故，.34.设是阶矩阵的伴随矩阵，证明：（1）（2） .证：（1）由于，当时，所以，得；当时，即至少有一个阶子式不等于零，所以，且，因为，所以.因为，所以，即的每一列均是齐次线性方程组的解，所以。因此，；当时，的任一阶子式都等于零，所以，故。（2）当时，由，得。当时，即，由（1）知，从而，所以也成立，故，对任意阶方
13、阵，都有：。35. 设是阶可逆矩阵，证明：.证：因为是阶可逆矩阵，所以是阶可逆矩阵，且。因为，所以。又因为，所以。因此，。36. 设是阶矩阵，证明：非齐次线性方程组对任何都有解的充要条件是.证：充分性，因为，所以。因此，对于任意，有解.必要性，(反证法) 假设, 则。设，则线性相关，从而其中至少有一个向量能由其余向量线性表出，不妨设可由线性表出，取，则，即，所以方程组无解，矛盾。37.设证明：这个方程组有解的充要条件是，在有解的情形下，求出它的一般解。证：因为即有令，增广矩阵，方程组有解的充要条件为即。当时，取为自由变量，令，得方程组的一个特解：；再取得其导出组的一个基础解系：所以，方程组的一
14、般解为，其中为任意常数。38. 已知是方程组的两个不同解,是对应齐次线性方程组的基础解系, 则一般解是:(A) ; (B) ;(C) ; (D) .解:可证得是线性无关的且是的解,因此是的一个基础解系, 是的一个解, 因此, 选(B).39.已知,为非零矩阵, 则:(A) 当时,; (B) 当时,; (C) 当时,; (D) 当时,;解: 因为, 且, 所以, 又因为为非零矩阵, 所以, 当时, , 因此, , 即, 故选(C).40.设,则三条直线交于一点的充要条件是:(A) 线性相关, (B) 线性无关;(C) ; (D) 线性相关, 线性无关.解:因为有唯一解的充要条件是，即线性相关。，即线性无关。所以，选(D)。 41.设是矩阵,是阶矩阵,下列哪个成立?(A) 中任一阶子式; (B) 中任意列线性无关；(C) ; (D) 若，则；(E) 若，则. 解：选 （E）. , 所以可逆，. 42. 设
