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1、1.3.1 柱体、椎体、台体的表面积与体积,一、柱体、锥体、台体的表面积,(1)矩形面积公式： _。 (2)三角形面积公式：_。 正三角形面积公式：_。 (3)圆面积面积公式：_。 (4)圆周长公式： _。 (5)扇形面积公式： _。 (6)梯形面积公式： _,复习回顾,柱体,锥体,台体,球,几何体的分类,多面体,旋转体,在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的表面积怎样得到的,几何体表面积,把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？,正棱锥的侧面展开图是什么？,侧面展开,正棱锥的侧面积如何计算？表面积如何计算？,正棱台的侧面展开图是什么？,侧面展开,正
2、棱台的侧面积如何计算？ 表面积如何计算？,棱柱、棱锥、棱台的表面积,一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和,表面积=侧面积+底面积,小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键； 2、对应的面积公式,例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积 ,例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积 ,所以：,因此，四面体S-ABC 的表面积,交BC于点D,解：先求 的面积，过点S作,典型例题,因为,求多面体的表面积可以通过求各个平面多边形的面积和得到,那么旋转体的表面积该如何求呢?,思考,三者之间关系,圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间
3、有什么关系？,例2 如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长15cm那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 取3.14，结果精确到1 ）？,解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：,答：花盆的表面积约是999 ,典型例题,各面面积之和,小结：,展开图,圆台,圆柱,圆锥,空间问题转化成平面问题,棱柱、棱锥、棱台,圆柱、圆锥、圆台,所用的数学思想：,柱体、锥体、台体的表面积,二、柱体、锥体、台体的体积,长方体体积：,正方体体积：,圆柱的体积：,a,b,h,a,a,a,h,底面积,高,柱体体积,以前学过特殊的棱柱正方体、长方体以及圆柱的体积公式,
4、它们的体积公式可以统一为：,柱体体积,3.1锥体（棱锥、圆锥）的体积 （底面积S，高h）,注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离,问题:锥体(棱锥、圆锥）的体积,锥体体积,（其中S为底面面积，h为高）,h,由此可知， 棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高； 棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的 ,h,x,四.台体的体积,V台体=,上下底面积分别是s/,s,高是h，则,台体（棱台、圆台）的体积公式,台体体积,柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？,S为底面面积，h为柱体高,分别为上、下 底面面积，h 为台体高,S为底面面
5、积，h为锥体高,例2 如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长15cm那么花盆的表面积约是多少平方厘米？,例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 ）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（ 取3.14）？,解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:,答：这堆螺帽大约有252个,典型例题,R,R,球的体积：,一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个 以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥 后，所得的几何体的体积与一个半径为R的 半球的体积相等。,探究,R,
6、R,半径为R的球的体积,第一步：分割,O,球面被分割成n个网格， 表面积分别为：,则球的表面积：,则球的体积为：,设“小锥体”的体积为：,知识点三、球的表面积和体积,（,O,第二步：求近似和,O,由第一步得：,第三步：转化为球的表面积,如果网格分的越细,则:,由 得:,半径为R的球的表面积公式,设球的半径为R，则球的体积公式为V球 .,43R3,例1(2009年高考上海卷)若球O1、O2表面积之比4，则它们的半径之比_.,(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的倍。 (2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍。 (3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是。 (4)若两球体
7、积之比是1:2，则其表面积之比是。,例2：,例3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。,分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。,略解：,变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=。 变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=。,关键：,找正方体的棱长a与球半径R之间的关系,例4已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积,解：如图，设球O半径为R， 截面O的半径为r，,题型一 旋转体的表面
8、积及其体积 如图所示,半径为R的半圆内的 阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋 转一周得到一几何体,求该几何体的 表面积(其中BAC=30)及其体积. 先分析阴影部分旋转后形成几何体的 形状,再求表面积.,解 如图所示, 过C作CO1AB于O1,在半圆中可得 BCA=90,BAC=30,AB=2R, AC= ,BC=R, S球=4R2,解决这类题的关键是弄清楚旋转后所 形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割， 然后利用有关公式进行计算.,知能迁移2 已知球的半径为R，在球内作一个内 接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它 的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？ 解 如图为轴截面. 设圆柱的高为
9、h，底面半径为r， 侧面积为S，则,知能迁移2 已知球的半径为R，在球内作一个内 接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它 的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？ 解 如图为轴截面. 设圆柱的高为h，底面半径为r， 侧面积为S，则,题型二 多面体的表面积及其体积 一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长 为 ，求这个三棱锥的体积. 本题为求棱锥的体积问题.已知底面 边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积 和高，再根据体积公式求出其体积. 解 如图所示， 正三棱锥SABC. 设H为正ABC的中心， 连接SH， 则SH的长即为该正三棱锥的高.,连接AH并延长交BC于E， 则E为BC的中点，且AHBC. A
10、BC是边长为6的正三角形，,求锥体的体积，要选择适当的底面和 高，然后应用公式 进行计算即可.常用方 法：割补法和等积变换法. （1）割补法：求一个几何体的体积可以将这个几 何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱 体的体积，从而得出几何体的体积. （2）等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为 三棱锥的底面.求体积时，可选择容易计算的方 式来计算；利用“等积性”可求“点到面的 距离”.,题型三 组合体的表面积及其体积 (12分)如图所示,在等腰梯形ABCD中, AB=2DC=2，DAB=60，E为AB的中点， 将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起， 使A、B重合,求形成的三棱锥的外接球的
11、体积. 易知折叠成的几何体是棱长为1的正 四面体，要求外接球的体积只要求出外接球的 半径即可. 解 由已知条件知，平面图形中 AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1. 折叠后得到一个正四面体. 2分,方法一 作AF平面DEC，垂足为F， F即为DEC的中心. 取EC的中点G，连接DG、AG， 过球心O作OH平面AEC. 则垂足H为AEC的中心. 4分 外接球半径可利用OHAGFA求得. 在AFG和AHO中，根据三角形相似可知，,6分,10分,12分,方法二 如图所示，把正四面体放在正 方体中.显然，正四面体的外接球就 是正方体的外接球. 3分 正四面体的棱长为1， 正方体的棱长为 ， 6分,9分,12分,
