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1、第一章 随机事件与概率1从十个数字中，先后随机取出两数，写出下列取法中的样本空间：(1)放回时的样本空间(2)不放回时的样本空间解：(1)，(2)2.一个袋内装有个白球和个红球，每次从袋内取出一球，直至首次取到红球为止。写出下列两种取法的样本空间：(1)不放回时的样本空间(2)放回时的样本空间解：(1)(2)3.解： 5.设样本空间，求：(1)(2) 解：(1) (2) 11.小何买了高等数学、高等代数、解析几何、和大学英语四本书放到书架上，问各册自左向右或自右向左排列恰好是上述次序概率。解：14. 设n个人排成一行，甲与乙是其中的两个人，求这n个人的任意排列中，甲与乙之间恰有r个人的概率。如
2、果n个人围成一圈，试证明甲与乙之间恰有r个人的概率与r无关，都是（在圆排列中，仅考虑从甲到乙的顺时针方向）。解：(1)基本事件数为，设甲排在第i位，则乙排在第i+r+1位，共中取法，其余n-2个位置是n-2个人的全排列，有（n-2）!种，甲乙位置可调换，有种，故有利事件数由乘法原理有，由古典概型的计算公式，得甲乙相邻的概率为：另解：先固定甲，有n种，再放置乙，有n-1,基本事件数有,有利事件数为2(n-r-1).故有另解2:先在甲乙之间选出r个人，然后将甲乙与这r个人看成一个整体与剩下的n-r-2个人作全排列.(2)环排列：甲乙按顺时针方向排列，中间相隔r个人的基本事件数是n个位置取2个人的排
3、列，共有种，而甲的位置选取有n种选法，故由古典概型的计算有甲乙相邻的情形：设甲乙合一个位置，甲乙可互换，则甲乙相邻有种排列，故.另解：一圈有n个位置，甲占一个后，乙还有n-1个，与甲相邻的共2个,故(只考虑乙)15.在整数0-9中，任取4个，能排成一个四位偶数的概率。解：，16.口袋内有2个伍分,3个贰分,5个壹分的硬币,任取其中5个,求总值超过一角的概率.解: 基本事件数为,有利事件数为1) 2个伍分,其他任意,有2) 1个伍分,2个贰分:3) 1个伍分,3个贰分: 故17:箱中有个白球和个黑球,从其中任意地接连取出k+1()球,如果每次取出后不放回,试求最后取出的是白球的概率.解:令,则另
4、解:只考虑第k+1次取球的情况,显然每个球都可能排列在第k+1个位置,基本事件数为,有利于A的基本事件数为,故18.一架电梯开始有6位乘客并等可能地停于10层楼的每一层，求下列事件的概率：(1)某一层有两位乘客离开。(2)没有两位及两位以上乘客在同一层离开。(3)恰有两位乘客在同一层离开。(4)至少有两位乘客在同一层离开。解：(1) 某有2位乘客离开，6个乘客选2名有种选法，其余4人在其余9层下有种，故共有：(2) 没有2人或2人以上的乘客在同一层离开，即只有一个人在某层离开，从而 (3) 恰好有2位乘客在同一层离开基本事件数为.考虑有利事件数，“有2位乘客在同一层”种数为，其余4人有以下几种
5、情况a) 其余9层，4个人单独在某层下，有种。b) 4人一起在其余9层中的某层下，有种。c) 9层中的某层下3人，其余8层下1人，共有所以(4) 为(2)的逆事件，从而 19一列火车共有n节车厢，有个旅客上火车并随意地选择车厢，求每一节车厢内至少有一个旅客的概率。解：设，则，则,以下计算指定的i节车厢空的概率为,(因为每个人进入其他n-i节车厢的概率为),所以,利用多除少补原理，有注：错解：（有重复情形）20.某人从鱼池中捕得1200条鱼，做了记号后放回该鱼池中，经过一段时间后，再从池中捕1000条鱼，数得有记号的有100条。试估计鱼池中共有多少条鱼？解：设鱼池中共有n条鱼，则，由古典概率的定
6、义有：21将线段(0,a)任意折成三段，试求此三段能够成三角形的概率解：设,如图 0 x y a X 能够三角形，必须有,即.如图axY0a22甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内达到的时刻是等可能的，如果甲般的停泊时间是1小时，乙船停泊的时间是2小时，求它们中的任何一艘都不需等待码头空出的概率。解： 设x,y分别表示甲乙船到达码头的时刻，不需等待码头空出，若甲先到，则，若乙先到，则，如图122444444444444444444444444444444444244444444444444444444444444444444423. 在一个半径为1的圆周上，男乙两
7、人各自独立地从圆周上随机地各取一点，将两点连成一条弦L,求圆心到弦L的距离不大于这一事件A的概率。解：由运动的相对性，不妨将甲固定，则基本事件为“（乙可取的点）整个圆周”，有利于A的事件对应为：（乙可取点）甲的左边圆周和甲的右边圆周,故.24.解：三角形a,b,c任一边与平行线相交的概率分别为, 而“三角形与平行线相交”等价于“任意两个边与平行线相交”。故28.一个袋内有n-1个黑球和一个白球，每次从袋中随机取出一球并换入一个黑球，这样继续下去，求第k次取到黑球的概率。解：记，因为袋中只有一只白球，故在第k次摸到白球，则前面的k-1次不能摸到白球，只能摸到黑球，故，.30.某彩票公司共发行了n
8、张彩票，其中有m张彩票。某人买了m张彩票，求至少有一张中彩的概率。解：记A=至少有一张中彩,先求对立事件=没有彩票中奖的概率;基本事件数,的有利事件数则.31设，用x,y,z表示下列事件的概率:(1) (2) (3) (4) 解：(2)(3) (4) 33 设事件A,B,C满足: 试求事件A,B,C中至少有一个发生的概率及A,B,C均不发生的概率。解：记事件E为“A,B,C至少一个发生”，事件F为“A,B,C均不发生”则有 34袋中有编号为1,2,n的n个球，从中有放回地随机选取m个，求取出的m个球的最大号码为k有概率。并计算n=6,m=3,时，k=1和k=3的值。解：基本事件的可能数为,记取
9、到这最大号码为k,=取到的最大号码不超过k这一事件，则有又,故有,36.n个人参加同学聚会，每个人都带了一件礼物，并附上祝福词和签上自己的名字，聚会时每人从放在一起的礼物中随机取出一件礼品，至少有一人取到自己礼物的概率，并计算出当n=2和n=1000时的概率。解：先求事件A=没有人取到自己的礼物的概率。令，由P46例1.4.4（配对问题）的结论，有，,41.一位教师对所教班级学生期终考试成绩估计高等数学优秀的占15%，外语优秀占5%，两科都优秀的占3%，求(1)已知一学生高等数学成绩优秀，其外语成绩也优秀的概率。(2)已知一学生外语成绩优秀，其高等数学成绩也优秀的概率。解：记A为“高等数学成绩
10、优秀”，B为“外语成绩优秀”，则42 已知。43试证：如果证：44.一批产品共100件，对其进行抽象检查，整批产品看作不合格的规定如下：在被检查的5件产品中只要有一件是废品。如果在该批产品中有5%是不合格品，试问该批产品被认为不合格的概率是多少？解：共100件产品，其中的5件废品，95件合格品。45.全部产品中4%是废品，而合格品中的75%为一级品，求任选一个产品为一级品的概率。解：记A=任选一个产品为合格品B任选一个产品为一级品，则46.证明：当时，证： 47.进行摩托车竞赛，在地段甲乙间布设了三个故障，在第一故障前停车的概率为0.1,从乙地到丙地竞赛者不停车的概率为0.7，求在地段甲丙间竞
11、赛者不停车的概率。解：49.解：A个球中有a个红球，每次抽取一个球后不放回，考虑最终取到红球的概率。令， 50.解：设则51.解：设A0=第一次比赛取出的是2个旧球，A1=第一次比赛取出的是1个新球，2个旧球，A2=第一次比赛取出的是2个新球，1个旧球A3=第一次比赛取出的是3个新球，B第二次取出3个新球，则由全概率公式得53.解：A1发出点，B1接收点A2发出划，B2接收划,以下求54.解：记D取出的是废品，A机器A生产，B机器B生产，C机器C生产，则由Bayes公式得55.某仪器有三个灯泡，烧坏第一、二、三个灯泡的概率分别为0.1,0.2及0.3，并且相互独立.当烧坏一个灯泡时，仪器发生故
12、障的概率为0.25，当烧坏2个灯泡时为0.6，而当烧坏3个灯泡时为0.9，求仪器发生故障的概率。解：记B表示“仪器发故障”，表示“第i个灯泡烧坏”，则由全概率公式56.记A男，B女，D色盲，则57.证明：58 解：设A甲获胜，B乙获胜,.A1第一次比赛甲获胜，B1第一次比赛乙获胜A2第二次比赛甲获胜，B2第二次比赛乙获胜， 59.(小概率事件)：60.解：61.解：62:解：可知，负值误差次数为1时概率取到最大值63解：(1)由k1或者k2发生故障而断电的概率为P(A) (2)同时发生故障而断电的概率为(3)64解：4，5，6中有两个是备用件，当正在工作的一个失效时，其中一个立即补上去。设并联
13、下部系统B正常工作的概率并联上部系统C正常正常工作的概率：65解：记则有,其中依次乘以相加得另解： 第二章 随机变量及其分布函数1. 解：记为该球员直到投中篮时所投篮的次数，则2. 解：设A=甲投中，B乙投中,甲乙投篮次数分别为，则 类似有： 3.解：每次向上抛硬币出现正在面的概率为,则4.解：（1）（2）的分布列2(3) 的分布列10-15解： 表示动物生蛋的个数，表示后代的个数，则由全概率公式有6解：（1） 证明： （2） 求的分布 （3） 求与的联合分布 7.解： 8 解：9.解： 10.解：11.解： 12.解：（1）（2）（3）13.解：,（1）（2）令(3).14.解：(1)（2）（3）15.解：16.解：17.解：（1）（2） ，故不独立。18.解：19.解：20.解：(1) (2)（3）21解：22.解：（1）(2) (3) 23.解：（1）（2）24.解 :另解：先求的分布。(2)(3) )25解：26解:27.解:（可当结论使用）不妨设n=2。习题27对事件，定义随机变量，试证：事件相互独立的充要条件是相互独立.证明： （可当结论使用）不妨设n=2,:
