《{精品}22.2二次函数与一元二次方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《{精品}22.2二次函数与一元二次方程（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、22.2二次函数与一元二次方程,二次函数的一般式：,（a0）,_是自变量，_是_的函数。,x,y,x,当 y = 0 时，,ax + bx + c = 0,ax + bx + c = 0,这是什么方程？,是我们已学习的“一元二次方程”,一元二次方程根的情况与b-4ac的关系？,（a0）,我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.,一元二次方程根的情况与b-4ac的关系,探究一：二次函数y = ax2 + bx + c与一元二次方程ax2 + bx + c = 0有什么关系?,1、一次函数y=kx+b与一元一次方程kx+b=0有什么关系?,2、你能否用类比的方法猜想二次函数y=ax
2、2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系?,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t 5 t 2 考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?,解：（1）当 h = 15 时，,20 t 5 t 2 = 15,t 2 4 t 3 = 0,t 1 = 1
3、，t 2 = 3,当球飞行 1s 和 3s 时，它的高度为 15m .,1s,3s,15 m,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时， 球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球 的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t 5 t 2 考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间?,（2）当 h = 20 时，,20 t 5 t 2 = 20,t 2 4 t 4 = 0,t 1 = t 2 = 2,当球飞行 2s 时，它的高度为 20m .,2s,20 m,以 40 m /s的速度将小球沿与地面
4、成 30角的方向击出时， 球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的 飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t 5 t 2 考虑下列问题:（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?,（3）当 h = 20.5 时，,20 t 5 t 2 = 20.5,t 2 4 t 4.1 = 0,因为(4)244.1 0 ，所以方程无实根。 球的飞行高度达不到 20.5 m.,20.5 m,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时，球的飞行路线 是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行 时间
5、 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t 5 t 2 考虑下列问题:（3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？,（4）当 h = 0 时，,20 t 5 t 2 = 0,t 2 4 t = 0,t 1 = 0，t 2 = 4,当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。,0s,4s,0 m,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时，球的飞行路线 是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时 间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t 5 t 2 考虑下列问题:（4）球从飞出到
6、落地要用多少时间?,从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?,一般地，当y取定值时，二次函数为一元二次方程。,如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程。,自由讨论,例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变量x的值.,就是求方程3=-X2+4x的解,例如,解方程X2-4x+3=0,就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0,求自变量x的值.,已知二次函数值，求自变量的值,解一元二次方程的根,二次函数与一元二次方程的关系（1）,1、二次函数y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 x+ 1的图象如图所示。,(1).每个图
7、象与x轴有几个交点？ (2).一元二次方程? x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根? 验证一下一元二次方程x2 x+ 1 =0有根吗? (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?,答：2个，1个，0个,边观察边思考,(3),二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?,(-2,0),(1,0),x1=-2,x2=1,(3,0),x1=x2=3,无交点,无实根,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标是方程ax2+bx+c =0的根。,归纳,一元二次
8、方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ，则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0),下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有，求出交点坐标. （1） y = 2x2x3 （2） y = 4x24x +1 （3） y = x2 x+ 1,令 y= 0，解一元二次方程的根,（1） y = 2x2x3,解：当 y = 0 时，,2x2x3 = 0,（2x3）（x1） = 0,x 1 = ，x 2 = 1,所以与 x 轴有交点，有两个交点。,y =a（xx1）（x x 2）,二次函数的交点式,（2） y = 4x2 4x +1,解：当 y = 0 时，,4x
9、2 4x +1 = 0,（2x1）2 = 0,x 1 = x 2 =,所以与 x 轴有一个交点。,（3） y = x2 x+ 1,解：当 y = 0 时，,x2 x+ 1 = 0,所以与 x 轴没有交点。,因为（-1）2411 = 3 0,确定二次函数图象与 x 轴的位置关系,解一元二次方程的根,二次函数与一元二次方程的关系（2）,有两个根 有一个根（两个相同的根） 没有根,有两个交点 有一个交点 没有交点,b2 4ac 0,b2 4ac = 0,b2 4ac 0,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系,ax2+bx+c = 0 的根,y=ax2+bx
10、+c 的图象与x轴,若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，则_ 。,b2 4ac 0,0,=0,0,o,x,y, = b2 4ac,0,=0,0,o,x,y, = b2 4ac,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：,有两个交点,有两个不相等的实数根,只有一个交点,有两个相等的实数根,没有交点,没有实数根,b2 4ac 0,b2 4ac = 0,b2 4ac 0,与x轴有两个不 同的交点 （x1，0） （x2，0）,有两个不同的解x=x1，x=x2,b2-4ac0,与x轴有唯一个 交点,有两个相等的解 x1=x2=,b2-4ac=0,与x
11、轴没有 交点,没有实数根,b2-4ac0,2.抛物线y=2x2-3x-5 与x轴有无交点？若无说出理由,若有求出交点坐标？,1.一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是.,归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0),(2.5,0)， (-1,0),(-2,0) (5/3,0),有,牛刀小试,1.不与x轴相交的抛物线是（ ） A. y = 2x2 3 B. y=2 x2 + 3 C. y= x2 3x D. y=
12、2(x+1)2 3,2.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a0，c0时，图象与x轴交点情况是（ ） A. 无交点 B. 只有一个交点 C. 有两个交点 D. 不能确定,D,C,3. 如果关于x的一元二次方程 x22x+m=0有两个相等的实数根，则m=，此时抛物线 y=x22x+m与x轴有个交点.,4.已知抛物线 y=x2 8x + c的顶点在 x轴上，则 c =.,1,1,16,5.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是.,b24ac 0 无实数根,6.抛物线 y=2x23x5 与y轴交于点，与x轴交于点.,7.一元二
13、次方程 3 x2 + x - 10 = 0的两个根是x1= -2 ，x2=5/3，那么二次函数 y= 3 x2+x10与x轴的交点坐标是.,(0，-5),(5/2，0) (1，0),(-2，0) (5/3，0),8.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方程ax2 + bx + c3 = 0根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个异号绝对值相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根,x,A,1.3,.,9. 已知抛物线 和直线 相交于点P(3，4m)。 （1）求这两个函数的关系式； （2）当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。,解：（1
14、）因为点P（3，4m）在直线 上，所以 ，解得m1 所以 ，P（3，4）。因为点P（3，4）在抛物线 上， 所以有41824k8 解得 k2 所以 （2）依题意，得 解这个方程组，得 所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是（3，4），（1.5，2.5）。,试一试,C,A,?,(4)已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,则 一元二次方程ax+bx+c=0的解是 .,X,Y,0,5,2,2,(5)若抛物线y=ax2+bx+c,当 a0,c0时,图象与x轴交点情况是( ) A 无交点 B 只有一个交点 C 有两个交点 D不能确定,C,X1=0，x2=5,(6)如果关于x的一元二次方程 x2-2
15、x+m=0有两个相等的实数根,则m=,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有个交点.,(7)已知抛物线 y=x2 8x +c的顶点在 x轴上,则c=.,1,1,16,(8)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是.,（-2、0）（5/3、0）,练习：,1、抛物线y=x2-x+m与x轴有两个交点， 则m的取值范围是 。,2、如果关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等 的实数根，此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有 个交点。,3、抛物线y=x2-kx+k-2与x轴交点个数为（ ） A、0个 B、1个 C、2个 D、无法确定,亮出你的风采,亮出你的风采,?,5、已知二次函数y=x2-mx-m2 （1）求证：对于任意实数m，该二次函数的图像与x轴总有公共点; （2）该二次函数的图像与x轴有两个公共点A、B，且A点坐标为（1、0），求B点坐标。,再见,
