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1、一元二次方程及其解法,知识点回顾,1、整式方程,等号两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程,2、一元二次方程,一个整式方程整理后如果只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为2次的方程，叫做一元二次方程,3、一元二次方程的一般形式,方程ax2bxc=0(a、b、c为常数，a0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别叫做二次项，一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数,4、一元二次方程的解,能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解,5、一元二次方程分类,探究交流,（1）判断方程X（X10）=X23是否是一元二次方程？ （2）方程3 X22X=1的常数项是1，
2、方程 3 X22X6=0的一次项系数是2，这种说法对吗？,答案：（1）化简后为10X3=0,所以它是一元一次方程。,（2）要将一元二次方程化为一般形式，且系数包括它前面的性质符号。,练习：,（1）方程（m2）X|m|3mx1=0是关于X的一元二次方程，求m的值。,答案：m=2,（2）当m= 时，方程（m21）x2（m1）x1=0是关于x的一元一次方程。,答案：m=1,（3）已知关于x的一元二次方程（m1） x23x1=0有一个解是0，求m的值。,答案：m=1,（4）m为何值时，关于x的一元二次方程 mx2m2x1= x2x 没有一次项？,答案：m=1,活动1,如图，有一块矩形铁皮，长100 c
3、m，宽50 cm 在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出 的部分折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的 无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去 多大的正方形？(课件：制作盒子),问题1,例 已知：关于x的方程 (2m-1)x2-(m-1)x=5m 是一元二次方程, 求：m的取值范围.,解：原方程是一元二次方程，2m-10， m .,方程的解的定义,使方程两边相等的未知数的值，叫做这个方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。如：X=3,X=2都是一元二次方程 X25X6=0 的根。 注意：一元二次方程可以无解，若有解，就一定有两个解。,活动2,猜测下列方程的根是
4、什么？,方程的根：使一元二次方程等号两边相等 的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫 做根）.,4.（1）下列哪些数是方程,的根？从中你能体会根的作用吗？ 4，3，2，1，0，1，2，3，4,活动2,（2）若x2是方程 的一个,根，你能求出a的值吗？,根的作用： 可以使等号成立.,活动3,巩固练习,1你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？ （1） ； （2） .,一元二次方程的解法(1) -开平方法,当ac0时 ，,形如 （a0，c 0）的一元二次方程的解法：,当ac0时 ，此方程无实数解.,-3x2+7=0.,解：,例题讲解,解：系数化1，得,开平方，得,解这两个一元一次方程，得,或,小
5、结,如何解形如 的一元二次方程?,小结与思考,方程可化为一边是 _,另一边是_,那么就可以用直接开平方法来求解.,1、怎样的一元二次方程可以用直接开平方法 来求解?,含未知数的完全平方式,一个常数,2、直接开平方法的理论依据是什么?,平方根的定义及性质,例题讲解,拓展与提高：,一元二次方程的解法(2) -配方法,用配方法解一元二次方程的步骤:,移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数 一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.,(1)x28x =(x4)2 (2)x23x =(x )2 (3)x212x =(x )
6、2,填空,配方时,若二次项系数为1，则配上的 常数是一次项系数一半的平方.,请同学解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9,上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p0）的形式，,那么可得,如：4x2+16x+16=（2x+4）2,x=,（p0）,或mx+n=,做一做,用配方法解下列方程: (1)x26x=1 (2)x2=65x (3) x24x3=0,巩固练习,1.在用配方法解 时,方程的两边应同时加上( ),2.解方程:,3、说明多项式 的值恒大于0,4、先用配方法说明：不论x取何值，代数式 值总大于0，再求出当x取何值时，代数
7、式 的值最小？最小值是多少？,你能行吗,解下列方程. 1.x2 2 = 0; 2.x2 -3x- =0 ; 3.x24x2； 4.x26x10 ；,5.3x2 +8x 3=0 ;,这个方程与前4个方程不一样的是二次项系数不是1,而是3.,基本思想是: 如果能转化为前4个方程的形式,则问题即可解决.,你想到了什么办法?,配方法,例2 解方程 3x2+8x-3=0.,1.化1:把二次项系数化为1;,3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;,4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;,5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;,6.求解:解一元一次方程;,7.定解:写出原方程的解.,2.移
8、项:把常数项移到方程的右边;,成功者是你吗,用配方法解下列方程. 6. 4x2 - 12x - 1 = 0 ; 7. 3x2 + 2x 3 = 0 ; 8. 2x2 + x 6 = 0 ; 9.4x2+4x+10 =1-8x .,10. 3x2 - 9x +2 = 0 ; 11. 2x2 +6=7x ; 12. x2 _x +56 = 0 ; 13. -3x2+22x-24=0.,回味无穷,本节课复习了哪些旧知识呢？ 继续请两个“老朋友”助阵和加深对“配方法”的理解运用: 平方根的意义: 完全平方式:式子a22ab+b2叫完全平方式,且a22ab+b2 =(ab)2. 本节课你又学会了哪些新知
9、识呢？ 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 用一元二次方程这个模型来解答或解决生活中的一些问题(即列一元二次方程解应用题).,如果x2=a,那么x=,一元二次方程的解法(3) -求根公式法,设a0，a,b,c 都是已知数，并且 b2-4ac0，试用配方法解方程： ax2 +bx+c = 0.,
10、?,b2-4ac0,因为,解,一元二次方程ax2+bx+c=0( a0)的 求根公式 x= （b2-4ac0）,例： 解方程步骤 ( 1 ) 3y2-2y=1,一般步骤： （1）先把方程化为一般形式 （2）确定a,b,c （3）判定=b2-4ac的值 （4）代入求根公式,（2）,利用公式法解下列方程，从中你能发现么？,解,用公式法解下列方程，根据方程根的 情况你有什么结论？,结论1,（1）当 时，一元二次方程 有实数根,结论2,（2）当 时，一元二次方程 有实数根,结论3,（3）当 时，一元二次方程 无实数根.,一元二次方程的解法(4) -因式分解法,自学检测题,1、 什么样的一元二次方程可以
11、用因式分解法来解？,2、用因式分解法解一元二次方程，其关键是什么？,3、用因式分解法解一元二次方程的理论依据是什么?,4、用因式分解法解一元二方程，必须要先化成一般形式吗？,用因式分解法解一元二次方程的步骤,1o方程右边化为 。 2o将方程左边分解成两个 的乘积。 3o至少 因式为零，得到两个一元一次方程。 4o两个 就是原方程的解。,零,一次因式,有一个,一元一次方程的解,例：解方程：x2=3x,解：移项，得x2-3x=0,将方程左边分解因式，得x(x-3)=0,x=0 或x-3=0,原方程的解为：x1=0 x2=-3,这种解一元二次方程的方法叫因式分解法。,特点：在一元二次方程的一边是0，
12、 而另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式 分解法来解。,例1、解下列方程 1、x23x10=0 2、(x+3)(x-1)=5,解：原方程可变形为 解：原方程可变形为 (x5)(x+2)=0 x2+2x8=0 (x2)(x+4)=0 x5=0或x+2=0 x2=0或x+4=0 x1=5 ,x2=-2 x1=2 ,x2=-4,快速回答：下列各方程的根分别是多少？,例2 解下列方程：,（1） x2-3x-10=0,（2） （x+3）（x-1）=5,填空题练习：,（1）方程x（x+1）=0的根是_.,（2）已知x=0是关于x的一元二次方程 （m+1）x2+3x+m2-3m-4=0的一个根， 则
13、m=_.,（3）若方程ax2+bx+c=0的各项系数之和 满足a-b+c=0，则此方程必有一根是_.,选择题训练 1.对于方程(x-a)(x-b)=0,下列结论正确的是( ) （A） x-a=0 （B）x-a=0或x-b=0 （C） x-b=0 （D）x-a=0且x-b=0 2、方程x(x-2)=2(2-x)的根为( ) （A）-2 （B）2 （C） 2 （D）2、2 3、方程(x-1)=(1-x)的根是( ) （A）0 （B）1 （C）-1和0 （D）1和0,B,C,D,用因式分解法解下列方程：,y2=3y,(2a3)2=(a2)(3a4),x2+7x+12=0,(x5)(x+2)=18,t
14、(t+3)=28,(4x3)2=(x+3)2,我最棒 ,用分解因式法解下列方程,参考答案：,1. ;,2. ；,4. ;,2.解一元二次方程的方法： 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法,小 结：,1o方程右边化为 。 2o将方程左边分解成两个 的乘积。 3o至少 因式为零，得到两个一元一次方程。 4o两个 就是原方程的解,零,一次因式,有一个,一元一次方程的解,1.用因式分解法解一元二次方程的步骤：,右化零左分解 两因式各求解,简记歌诀：,一元二次方程应用,列一元二次方程解应用题的一般步骤,1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清_、_
15、、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需_，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).,一元二次方程应用题的主要类型,1.数字问题 如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：_. 几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为_，_. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为_，_.,2.平均变化率问题,(1)增长率问题：平均增长率公式为_ (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数， b为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为_ (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数， b为降低后的量.),3.利息问题,(1)概念： 本金：顾客存入银行的钱叫本金.
