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1、 1 2006 年全国硕士研究生入学考试数学（一）年全国硕士研究生入学考试数学（一） 一、填空题一、填空题 （1） 0 ln(1) lim 1 cos x xx x . （2）微分方程 (1)yx y x 的通解是 . （3） 设是锥面 22 zxy（01z） 的下侧， 则23(1)xdydzydzdxzdxdy . （4）点(2,1,0)到平面3450 xyz的距离z= . （5）设矩阵 21 12 A ，E为 2 阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则B= . （ 6 ） 设 随 机 变 量X与Y相 互 独 立 ， 且 均 服 从 区 间 0, 3 上 的 均 匀 分 布 ， 则 max,
2、1PX Y = . 二、选择题二、选择题 （7）设函数( )yf x具有二阶导数，且( )0,( )0fxfx，x为自变量x在 0 x处的 增量，y与dy分别为( )f x在点 0 x处对应的增量与微分，若0 x ，则 （A）0.dxy （B）0.ydy （C）0.ydy （D）0.dyy 【 】 （8）设( , )f x y为连续函数，则 1 4 00 ( cos , sin )df rrrdr 等于 （A） 2 2 1 2 0 ( , ). x x dxf x y dy （B） 2 2 1 2 00 ( , ). x dxf x y dy （C） 2 2 1 2 0 ( , ). y y
3、dyf x y dx （C） 2 2 1 2 00 ( , ). y dyf x y dx 【 】 （9）若级数 1 n n a 收敛，则级数 （A） 1 n n a 收敛. （B） 1 ( 1)n n n a 收敛. 2 （C） 1 1 nn n a a 收敛. （D） 1 1 2 nn n aa 收敛. 【 】 （10）设( , )f x y与( , )x y均为可微函数，且 1( , ) 0 y x y. 已知 00 (,)xy是( , )f x y在约 束条件( , )0 x y下的一个极值点，下列选项正确的是 （A）若 00 (,)0 x fxy，则 00 (,)0 y fxy. （
4、B）若 00 (,)0 x fxy，则 00 (,)0 y fxy. （C）若 00 (,)0 x fxy，则 00 (,)0 y fxy. （D）若 00 (,)0 x fxy，则 00 (,)0 y fxy. 【 】 （11）设 12 , ,a aaL均为n维列向量，A是mn矩阵，下列选项正确的是 （A）若 12 , ,a aaL线性相关，则 12 ,AaAaAaL线性相关. （B）若 12 , ,a aaL线性相关，则 12 ,AaAaAaL线性无关. （C）若 12 , ,a aaL线性无关，则 12 ,AaAaAaL线性相关. （D）若 12 , ,a aaL线性无关，则 12 ,A
5、aAaAaL线性无关. 【 】 （12）设A为 3 阶矩阵，将A的第 2 行加到第 1 行得B，再将B的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得C，记 110 010 001 P ，则 （A） 1 .CP AP （B） 1. CPAP （C）. T CP AP （D）. T CPAP 【 】 （13）设,A B为随机事件，且( )0,(|)1P BP A B，则必有 （A）()( ).P ABP A （B）()( ).P ABP B （C）()( ).P ABP A （D）()( ).P ABP B 【 】 （14）设随机变量X服从正态分布 2 11 (,)N ，Y服从正态分布 2 22 (,)N
6、 ，且 12 | 1| 1,PXP Y 3 （A） 12. （B） 12. （C） 12. （D） 12. 【 】 三 解答题 15 设区域 D= 22 ,1,0 x y xyx,计算二重积分 22 1 1 D xy Idxdy xy 。 16 设数列 n x满足 11 0,sin1,2,. n xxxn 。 求: ()证明lim n x x 存在,并求之 。 ()计算 2 1 1 lim n x n x n x x 。 17 将函数 2 2 x f x xx 展开成 x 的幂级数 。 18 设 函 数 0,f u在内具有二阶导数 且 22 zfxy满 足 等 式 22 22 0 zz xy
7、()验证 0 fu fu u . ()若 10,11,fff u求函数的表达式. 19 设在上半平面 D=,0 x yy 内,数,f x y是有连续偏导数,且对任意的 t0 都有 2 ,f tx tyt f x y. 证明: 对 L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L,都有 2 ,0yf x y dxxf x y dy 20 已知非齐次线性方程组 1234 1234 1234 1 43513 31 xxxx xxxx axxxbx 有 个线性无关的解 证明方程组系数矩阵 A 的秩 2r A 求, a b的值及方程组的通解 21 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量 12 1
8、,2, 1,0, 1,1 TT 是线 4 性方程组 Ax=0 的两个解, ()求 A 的特征值与特征向量 ()求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A,使得 T Q AQA. 22 随机变量 x 的概率密度为 2 1 , 10 2 1 ,02, 4 0, x x fxxyxF x y 令 其他 为二维随机变量 (X,Y)的分布函数. ()求 Y 的概率密度 Y fy () 1 ,4 2 F 23 设总体 X 的概率密度为 01 ,011201 0 x F Xx 其中 是未知参数 其它 , 12n ,.,XXX为来自总体 X 的简单随机样本,记 N 为样本值 12 ,.,1 n x xx中小于 的个数,求
9、 的最大似然估计. 5 题解题解 高数高数 一、填空题 （1） 0 ln(1) lim 1 cos x xx x = 2 2 1 ln(1),1 cos 2 xxxxQ:（0 x当时） （2）微分方程 (1)yx y x 的通解是(0) x ycxex ，这是变量可分离方程。 （3）设是锥面 22 (01)xyZZ=的下侧，则 23(1)2xdydzydzdxzdxdy 补一个曲面 22 1 : 1 xy z 1 上侧 ,2 ,3(1)PxQyRz 1236 PQR xyz 1 6dxdydz （为锥面和平面 1 所围区域） 6V（V为上述圆锥体体积） 62 3 而 1 23(1)0dydzy
10、dzdxzdxdy （在 1 上：1,0zdz） （4）,1,0,4502xyzd点(2)到平面3的距离 222 3 24 1102 2 502 345 d 二、选择题 （7）设函数( )yf x具有二阶导数，且( )0fx，( )0fx，xV为自变量x在 0 x处的 增量，yV与dy分别为( )f x在点 0 x处对应的增量与微分。若0 x V，则A (A)(B)(C)0(D)0dyyydyydydyyVVVV00 ( )0,( )fxf x因为则严格单调增加 ( )0,( )fxf x则是凹的 0,0 xdyyVV又故 6 22 1 0 22 11 22 000 (8)( , )( cos
11、 , sin )C (A)( , )(B)( , ) xx x f x ydf rrrdr dxf x y dydxf x y dy 4 0 设为连续函数,则等于 22 22 11 22 000 (C)( , )(D)( , ) yy y dyf x y dxdyf x y dx 1 11 1 11 111 (9)D ( )( )( 1) ( )()() 2 n n n nn nn nn nnn nnn a AaBa aa Ca aDa Q 若级数收敛,则级数 收敛收敛 收敛收敛也收敛 00 00000000 0000000 (10)( , )( , )( , )0,( , ) ( , )0
12、y xyxy xyxy f x yx yx yxyf x y x y f xyf xyf xyfxy f xyfxyf xyfx 设与均为可微函数,且已知( ,)是 在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是D (A)若 ( ,)=0,则 ( ,)=0(B)若 ( ,)=0,则 ( ,)0 (C)若 ( ,)0,则 ( ,)=0(D)若 ( ,)0,则 ( , 0 000000 0000 0000 00 ( , )( , ) ( , )( , )0(1) ( , )( , )0(2) ( , )0 (,)(,)(,) (,)0,(,) (,)(,) (,)0 xxx yyy yyx yx yy
13、 x y f x yx y fx yx y fx yx y x y fxyfxyxy xyfxy xyxy fxy )0 构造格朗日乘子法函数F= F = F = F = 今代入(1)得 今 00 ,(,)0 y fxyD则故选 三、解答题 22 22 22 1 21 2 0 222 0 2 1 (15)( , )1,0 , 1 :0 1 1 ln(1)ln2 1122 D D D xy Dx y xyxIdxdy xy xy dxdy xy r Idxdyddrr xyr Q 设区域计算二重积分 解 7 2 11 1 1 212 1 (16)0,sin(1,2,) (1)lim (2)lim
14、() :(1)sin,01,2 sin, 0,lim, n nnn n n x n n n nnnn nnn n xxxx n x x x xxxn xxxx xxxA L Q 设数列满足 求证明存在,并求之 计算 解因此当时 单调减少 又有下界，根据准则1,存在 递推公式两边取极限得 sin,0AAA 2 1 sin (2)lim(), n x n n n x x 原式=为1 型 Q离散型不能直接用洛必达法则 22 0 11sin limln() 0 sin lim() t t t tt t t e t 先考虑 23 23 2 0 33 00 11( cossin ) 1 110()0() lim 26 cossin sin1 2 62 limlim 2262 t tt tt ttt tttt ttt t t t ttt eeeee gg 2 (17)( ) 2 x f xx xx 将函数展开成的幂极数 ( ) (2)(1)21 xAB f x xxxx 解: 2 (1)(2)2,32, 3 AxBxxxAA令 1 1,31, 3 xBB 令 21111111 ( ) 3(2)3(1)33 1 () (1) 2 f
