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1、八、圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义:(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常数,且此常数一定要大于,当常数等于时,轨迹是线段FF,当常数小于时,无轨迹;双曲线中,与两定点F,F的距离的差的绝对值等于常数,且此常数一定要小于|FF|,定义中的“绝对值”与|FF|不可忽视。若|FF|,则轨迹是以F,F为端点的两条射线,若|FF|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如(1)已知定点,在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A B C D(答:C);(2)方程表示的曲线是_(答:双曲线的左支)(2)第二定义中要注意定点和定直
2、线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点及抛物线上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_(答:2)2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):(1)椭圆:焦点在轴上时()(参数方程,其中为参数),焦点在轴上时1()。方程表示椭圆的充要条件是什么?(ABC0,且A,B,C同号,AB)。如(1)已知方程表示椭圆,则的取值范围为_(答:);(2)若,且,则的最大值是_,的最小值是_(答:)
3、(2)双曲线:焦点在轴上: =1,焦点在轴上:1()。方程表示双曲线的充要条件是什么?(ABC0,且A,B异号)。如(1)双曲线的离心率等于,且与椭圆有公共焦点,则该双曲线的方程_(答:);(2)设中心在坐标原点,焦点、在坐标轴上,离心率的双曲线C过点,则C的方程为_(答:)(3)抛物线:开口向右时,开口向左时,开口向上时,开口向下时。3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):(1)椭圆:由,分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是_(答:)(2)双曲线:由,项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;(3)抛物线:焦点在一次
4、项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F,F的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;(2)在椭圆中,最大,在双曲线中,最大,。4.圆锥曲线的几何性质:(1)椭圆(以()为例):范围:;焦点:两个焦点;对称性:两条对称轴,一个对称中心(0,0),四个顶点,其中长轴长为2,短轴长为2;准线:两条准线; 离心率:,椭圆,越小,椭圆越圆;越大,椭圆越扁。如(1)若椭圆的离心率,则的值是_(答:
5、3或);(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为_(答:)(2)双曲线(以()为例):范围:或;焦点:两个焦点;对称性:两条对称轴,一个对称中心(0,0),两个顶点,其中实轴长为2,虚轴长为2,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为;准线:两条准线; 离心率:,双曲线,等轴双曲线,越小,开口越小,越大,开口越大;两条渐近线:。如(1)双曲线的渐近线方程是,则该双曲线的离心率等于_(答:或);(2)双曲线的离心率为,则=(答:4或);(3)设双曲线(a0,b0)中,离心率e,2,则两条渐近线夹角的取值范围是_(答:); (3)抛物
6、线(以为例):范围:;焦点:一个焦点,其中的几何意义是:焦点到准线的距离;对称性:一条对称轴,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);准线:一条准线; 离心率:,抛物线。如设,则抛物线的焦点坐标为_(答:);5、点和椭圆()的关系:(1)点在椭圆外;(2)点在椭圆上1;(3)点在椭圆内6直线与圆锥曲线的位置关系:(1)相交:直线与椭圆相交; 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个
7、交点,故也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。如(1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_(答:(-,-1));(2)直线ykx1=0与椭圆恒有公共点,则m的取值范围是_(答:1,5)(5,+);(3)过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若AB4,则这样的直线有_条(答:3);(2)相切:直线与椭圆相切;直线与双曲线相切;直线与抛物线相切;(3)相离:直线与椭圆相离;直线与双曲线相离;直线与抛物线相离。特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线
8、相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。如(1)过点作直线与抛物线只有一个公
9、共点,这样的直线有_(答:2);(2)过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_(答:);(3)过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点,若4,则满足条件的直线有_条(答:3);(4)对于抛物线C:,我们称满足的点在抛物线的内部,若点在抛物线的内部,则直线:与抛物线C的位置关系是_(答:相离);(5)过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是、,则_(答:1);(6)设双曲线的右焦点为,右准线为,设某直线交其左支、右支和右准线分别于,则和的大小关系为_(填大于、小于或等于) (答:等于);(7)求椭圆上的点到直线的最短距离(答:);(8)直
10、线与双曲线交于、两点。当为何值时,、分别在双曲线的两支上?当为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?(答:;);7、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径,其中表示P到与F所对应的准线的距离。如(1)已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为_(答:);(2)已知抛物线方程为,若抛物线上一点到轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于_;(3)若该抛物线上的点到焦点的距离是4,则点的坐标为_(答:);(4)点P在椭圆上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的横坐标为_(答:);(5)抛物线上的两点
11、A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到轴的距离为_(答:2);(6)椭圆内有一点,F为右焦点,在椭圆上有一点M,使 之值最小,则点M的坐标为_(答:);8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为,焦点的面积为,则在椭圆中, ,且当即为短轴端点时,最大为;,当即为短轴端点时,的最大值为bc;对于双曲线的焦点三角形有:;。如(1)短轴长为,离心率的椭圆的两焦点为、,过作直线交椭圆于A、B两点,则的周长为_(答:6);(2)设P是等轴双曲线右支上一点,F1、F2是左右焦点,若,|PF1|=6,则该双曲线的方程为 (答:);(3)椭圆的焦点为F1、F2,点P为椭圆上的动点,当0时,点P的横坐标的取值范围是(答:);(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e,F1、F2是它的左右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且是与等差中项,则_(答:);(5)已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且,求该双曲线的标准方程(答:);18