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1、1古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。古典概型例子 摸球模型例 1：袋中有 a 个白球， 个黑球，从中接连任意取出 m(ma+ )个球，且每次取出的球不再放回去，求第 m 次取出的球是白球的概率; 分析：本例的样本点就是从 a+ 中有次序地取出 m 个球的不同取法；第 m 次取出的球是白球意味着：第 次是从 a 个白球中取出一球，再在 a+ -1 个球中取出 m-1 个球。解：设 B第 m 次取出的球是白球样本空间的样本点总数： mbaAn事件 B 包含的样本点： ，则 1Cr baAnrBPmb1)(注：本例实质上也是抽签问题，结论说明按上述规则抽签，每人抽中白球的机会相等，同抽签次序无
2、关。例 2：袋中有 4 个白球，5 个黑球，6 个红球，从中任意取出 9 个球，求取出的 9 个球中有 1 个白球、3 个黑球、5 个红球的概率.解：设 B取出的 9 个球中有 1 个白球、3 个黑球、 5 个红球样本空间的样本点总数： =500595Cn事件 B 包含的样本点： =240，则 P(B)=120/1001=0.04864r占位模型例：n 个质点在 N 个格子中的分布问题.设有 n 个不同质点，每个质点都以概率 1/N 落入 N个格子(Nn)的任一个之中，求下列事件的概率： (1) A=指定 n 个格子中各有一个质点；(2) B= 任意 n 个格子中各有一个质点 ；(3) C=指
3、定的一个格子中恰有 m(mn)个质点.解：样本点为 n 个质点在 N 个格子中的任一种分布，每个质点都有 N 种不同分布，即 n 个质点共有 Nn 种分布。故样本点总数为：N n (1)在 n 个格子中放有 n 个质点，且每格有一个质点，共有 n!种不同放法；因此，事件 A 包含的样本点数：n! ， 则 nAP!)(2)先在 N 个格子中任意指定 n 个格子，共有 种不同的方法；在 n 个格子中放 n 个质点，nNC且每格一个质点，共有 n!种不同方法；因此，事件 B 包含的样本点数： ，则NC!nABP)(3)在指定的一个格子中放 m(mn) 个质点共有 种不同方法；余下 n-m 个质点任意
4、放在余mn下的 N-1 个格子中,共有 种不同方法.因此，事件 C 包含的样本点数： , N1 mnmn)1(则 nnnmCC)()()(抽数模型例：在 09 十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？解：考虑次序.基本事件总数为： =5040，设 B=能排成一个四位偶数 。410A若允许千位数为 0，此时千位数可在 0、2、4、6、8 这五个数字中任选其一，共有 5 种选法；其余三位数则在余下的九个数字中任选，有 种选法；从而共有 5 =2520 个。其中，千39 39A位数为 0 的“ 四位偶数” 有多少个？此时个位数只能在 2、4、6、8 这四个数字中任选其一，有 4 种选法；
5、十位数与百位数在余下的八个数字中任选两个，有 种选法；从而共有284 =224 个。 因此 =2296/5040=0.45628A41028395)(ABP2概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。例 1：事件 A 与 B 相互独立，且 P(A)=0.5，P(B )=0.6，求：P(AB)，P (AB)，P (A B)解：P(AB)= P( A)P(B)=0.3，P (AB)= P(A)P(AB)=0.2，P(A B)= P(A)P(B )P(AB)=0.8例 2：若 P(A)=0.4，P(B )=0.7，P(AB)=0.3，求： P(AB)，P (A B)
6、， ， ，|)|解：P(AB)=0.1，P( A B)=0.8， = =3/7， = =4/7， =| )|( )()|(=2/3)(1)(3准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。例：玻璃杯成箱出售，每箱 20 只。假设各箱含 0、1、2 只残次品的概率相应为 0.8、0.1 和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看 4 只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。解：设事件 表示“顾客买下该箱” ， 表示“箱中恰好有 件次品” ， 。则AiBi2,10i， ， ， ， ，8.0
7、)(BP1.0)(1.0)(2P1)|(0A54)|(2091CBP。92|4012C由全概率公式得 ； 0 94.1.54.018.)|()(i iiBA由贝叶斯公式 。.9.)(| 0PABP4(1)例：随机变量 的分布律为.XX1 2 3 4pk 2k 3k 4k确定参数 k求概率 P(0X3)，P (1X3)求分布函数 F(x)求期望 E(X)，方差 D(X)求函数 的分布律及期望23Y2)3(E解：由 ，有 k2 k 3 k4 k =1 得 k =0.11ipP(0X3)= P(X=1)P(X=2)=0.3 ，P(1X 3)= P(X=2)=0.24136.02.)(xxxF=3，
8、=10，D(X )= =1iipxXE)( iipxXE22)( 22)(XEY 0 1 4P 0.3 0.6 0.1=12)3(2)例：已知随机变量 的概率密度为 ，X其 他022xkxf确定参数 k求概率 P(1X3)求分布函数 F(x)求期望 E(X)，方差 D(X)求函数 的密度函数及期望Y)(XE解：由 =1，有 = =1，得 k=3/8dxfdxfk3820P(1X3)= = =7/8.31)(218208)(3xxF= =3/2， = =12/5dfXE)()(038xdxfXE)()(2220483D(X)= =3/2022XE其 他043)5yyf= = =)(Edxf)(2
9、0583726(3)例：已知随机变量(X ,Y)的联合分布律为YX 0 1 2 30 0.05 0.1 0.15 0.21 0.03 0.05 0.05 0.072 0.02 0.05 0.1 0.13求概率 P(XY)， P(X=Y)求边缘分布律 P(X=k) k=0,1,2 和 P(Y=k) k=0,1,2,3 求条件分布律 P(X=k|Y=2) k=0,1,2 和 P(Y=k|X=1) k=0,1,2,3求期望 E(X)，E( Y)，方差 D(X)，D(Y)求协方差 cov(X,Y)，相关系数 ，判断是否不相关求 Z=X+Y，W=max X，Y ，V=min X，Y 的分布律解：P(XY
10、)=0.7， P(X=Y)=0.2 X 的分布律X 0 1 2p 0.5 0.2 0.3Y 的分布律Y 0 1 2 3p 0.1 0.2 0.3 0.4X 的条件分布律X|Y=2 0 1 2p 1/2 1/6 1/3Y 的条件分布律Y|X=1 0 1 2 3p 0.15 0.25 0.25 0.35=0.8， =1.4，D (X)= =0.76iijjxE)( iijjpxE22)( 22)(XE=2， =5，D(Y)= =1iijjyYiijyY)Y=1.64，cov(X,Y)= =0.04iijjipX)( )E= =0.046 相关Y)(,covYDZ=XY 的分布律Z 0 1 2 3
11、4 5p 0.05 0.13 0.22 0.3 0.17 0.13W=maxX，Y 的分布律W 0 1 2 3p 0.05 0.18 0.37 0.4V=minX，Y的分布律V 0 1 2p 0.55 0.22 0.23(4)例：已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为 ，其 它,01),(2yxcyxf确定常数 的值；c求概率 P(XY)求边缘密度 ， ，判断 是否相互独立xf)(yfYYX,求条件密度 ，| )|x求期望 E(X)，E( Y)，方差 D(X)，D(Y)求协方差 cov(X,Y)，相关系数 ，判断是否不相关解：由 =1，有 = =1，得 c=21/4dxyfdxyf),(12y
12、dxcP(XY)= =0.851024y其 它01)1(8)( 4212 xxdxfX其 它274)(5yyxyfyYX 与 Y 不独立其 它023)(,)|(| yxyxfyxfY其 它 118)(,)|( 24| xffXXY= =0dyfxE,132ydx= =7/15x)()(22 42xD(X)= =7/15XE= =7/9dyfyYE),()122dyx= =7/11x(22 1324D(Y)= =28/891)(Y= =0dyfyXE,)1232dyxcov(X,Y)=0， =0，X 与 Y 不相关Y5会用中心极限定理解题。例 1：每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为 2，方差为
13、 ，求在 100 次射击中有 18025.1到 220 发炮弹命中目标的概率解：例 2：设从大批发芽率为 0.9 的种子中随意抽取 1000 粒，试求这 1000 粒种子中至少有 880粒发芽的概率。解：设这批种子发芽数为 ，则 ，由中心极限定理得X)9.0,1(B所求概率为 。80P 9826.0)1.2()08.(8数理统计部分必须要掌握的内容以及题型1统计量的判断。2计算样本均值与样本方差及样本矩。3熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。4会求未知参数的矩估计、极大似然估计。例：设总体 的概率密度为 ， 是来自总体 的一个样本，X其 它,01,xxfnX,求未知参数 的矩估计量与
14、极大似然估计量.5掌握无偏性与有效性的判断方法。例：设 是来自总体 的一个样本，下列统计量是不是总体均值的无偏估计321,X； ； ； ； 0)(132X321X)(1232143X求出方差，比较哪个更有效。6会求正态总体均值与方差的置信区间。7理解假设检验的基本思想和原理，明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤。例：设 ，u 和 未知，(X 1，X n)为样本，(x 1,xn)为样本观察值。(1)试写),(2NX2出检验 u 与给定常数 u0 有无显著差异的步骤；(2)试写出检验 与给定常数 比较是否显著220偏大的步骤。解: (1) 1.提出假设 uH:,:12.选取统计量 nSt/)(03.对给定的显著性水平 ，查表得)1(2nt4.计算 suxt/)(05.判断 若 拒绝 反之,接受 ,12n;H.(2)1.提出假设 2020:2.选取统计量 )(S3.对给定的显著性水平 ，查表得)1(2n4.计算 .)1(202sn5.判断 若 拒绝 反之,接受 ),1(2n;H.
