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1、概率统计与随机过程第一章 随机事件及其概率1. 随机试验（简称试验）：a) 重复性：试验可以在相同的条件下重复进行；b) 多样性：试验的可能结果不止一个，并且一切可能的结果都已知；c) 随机性：在每次试验前，不能确定哪一个结果会出现。2. 随机试验中出现的各种可能结果称为试验的基本结果。随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为试验的样本空间 S。样本空间中的元素，即 E 的每个基本结果，称为样本点。3. 随机事件（简称事件）：随机试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的随机事件。在一次实验中，当且仅当这一子集中的某个样本点出现时，称这一事件发生。a) 只含有一个样本点的事件称为基本事件；b
2、) 样本空间包含所有的样本点，称为必然事件；c) 不包含任何样本点的事件称为不可能事件。4. 随机事件间的关系a) 包含关系： 称 B 事件在 A 事件中，表示若 B 发生必然导致 A 发生b) 相等关系：A、B 相互包含，则 B=Ac) 事件的和： ，表示 A、B 中至少有一个发生d) 事件的积： ，简记为 AB，表示 A、B 都发生e) 事件的差：A-B= ，表示 A 事件发生且 B 事件不发生且 f) 互不相容（互斥）： ，表示 A、B 不可能同时发生=g) 互逆关系（对立）： ，记为=,= =或 =5. 运算规律a) 交换律： = =b) 结合律： ()=() ()=()c) 分配律：
3、 ()=()()()=()()d) 对偶律： = =6. 若 ， 则 ()=()=()+()()=()()7. 古典概率模型，简称古典概型（又称等可能概率模型）：a) 试验的样本空间只含有有限个样本点，即基本事件数有限；b) 在每一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同。c) 超几何分布：()=11228. 条件概率： ，表示 B 发生的条件下，A 发生的条件概率(|)a)()=()()b) 如果 两两互不相容，则： 1、 2、 、 (=1|)=1()c) 乘法公式： (12)=(1)(21)(312)(|121)9. 全概率公式： ()=(1)(1)+(2)(2)+()(|)其中 1,互不
4、相容，且 =1210. 贝叶斯公式：()=()()= ()(|)=1()(|),=1,2,3,11. 事件的独立性： ()=()()12. 二项概率公式： ()=(1)第二章 随机变量及其分布1. 设 为随机试验 E 的样本空间。如果对于每一个 ，都有一个实数 与之对= ()应，这样就得到一个定义在 S 上的实值单值函数 ，称 为定义在 S 上的一个随()()机变量，简记为 X。可得，随机变量是一个函数。2. 离散型随机变量：全部可能取值为有限个或可列多个的随机变量。非离散型随机变量：随机变量除去离散型随机变量外的。其中最重要的是连续型随机变量。3. 设 X 是随机变量， X 的所有可能取值为
5、 ，且 X 取各值的概率为 ，1, (=)=则称该式为随机变量 X 的概率分布或分布律。4. 常见的离散型随机变量的分布a) 01 分布 /两点分布： (1,)X 的所有可能取值为 0 与 1，且它的分布律为 (=)=(1)1X 0 1 P 1-p pb) 二项分布： B(n,p)X 所有可能取值为非负整数， (=)=(1)当 k=(n+1)p时， 取得最大值(=)泊松定理：设 ，且 0 为常数，则对于任意固定的非负 (,)lim=整数 k 有：lim(=)=lim(1)=!c) 泊松分布： ，X 为非负整数()(=)=!=时 ， (=)取得最大 值d) 几何分布： ()X 可能取值为一切自然
6、数， (=)=(1)15. 在实际工作中，抽样一般都是不放回抽样，因此计算时理论上应该用超几何分布。但是，当产品数 N 很大是，超几何分布的计算非常繁琐，在实际应用中只要产品数N 10n(n 为抽出的样品数)，超几何分布就可以用二项分布来近似,可以证明：当 =时 ， lim =(1)6. 设 X 是一个随机变量， x 是任意实数，则称函数 为随机变量 X 的分布函()=()数。a) F(x)是单调不减函数b)()=lim()=0,(+)=lim+()=1c) F(x)是右连续的7. 对于任意一个随机变量 X，如果 X 的分布函数 F(x)在 处连续，则=0 (=0)=08. 离散型随机变量的分
7、布函数：()=()=(=)=9. 设随机变量 X 的分布函数是 F(x)，如果存在非负函数 f(x)，使得对任意实数 x，有：()=()则称 X 为连续性随机变量，f(x) 为概率密度函数，简称概率密度（密度函数、分布密度）。10. 设 X 为连续型随机变量，则对任意实数 都有 。可知，在计算连续型随0 (=0)=0机变量落在某一区间的概率时，不必区分该区间是开区间或半开半闭区间。11. 常见的连续型随机变量的分布a) 均匀分布： (,)i. 概率密度函数： ()= 1, 00, 0指数分布经常用来刻画各种“寿命” ，服从指数分布的随机变量 X 具有无记忆性：(1+21)=(2)c) 正态分布
8、（高斯分布）：()= 12()222, )=1(,)c) Z=X/Y 的分布()=()=1(,)+2(,)=+0 (,)+0+(,)()=+|()()第四章 随机变量的数字特征1. 设 X 为连续型随机变量，其概率密度为 ,则 X 的数学期望为：()，若积分不绝对收敛，则称随机变量 X 期望不存在。()=+()2. ()=()=+()()3. 对于二维随机变量：()=+(,)()=+(,)(,)=+(,)(,)4. 方差： ()=()2)=(2)()25. 常见的分布的期望与方差：a) 两点分布： (1,)()=,()=(1)b) 二项分布： (,)()=,()=(1)c) 松柏分布： ()
9、()=()=d) 几何分布： ()()=1,()=12e) 均匀分布： (,)()=+2 ,()=()212f) 指数分布：()=1,()=126. 协方差： (,)=()()()7. 相关系数：=(,)()()8. (,)=0(,)=()(,)=(,)()=()+()2(,)第五章 大数定律与中心极限定理1. 大数定律是研究随机变量序列的算术平均的收敛性问题；而中心极限定理是研究随机变量有限和的分布函数的收敛性问题。2. 切比雪夫不等式：|()|()23. 设 是一随机变量序列，其数学期望 存在，令 ，若 , () =1=1 ()0则称 服从大数定律。4. 切比雪夫大数定律：设 是相互独立的随机变量序列，如果存在常数 C 使1,2,得 ，则此随机变量序列服从大数定律，即对任意 ,有(),=1,2, 0lim|1=11=1()|=1第九章 随机过程引论1.
