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1、极小点的判定条件 (一) 内点为极小值点的判定条件(求,)一、一般条件定理1(一阶必要条件)设具有一阶连续偏导数,是的内点,若是的局部极小点,则定理2(二阶必要条件)设具有二阶连续偏导数,若是的内点且为的局部极小点,则是半正定的。 定理3(二阶充分条件)设具有二阶连续偏导数,为的内点,且,若正定,则为的严格局部极小点。定理4(二阶充分条件)设具有二阶连续偏导数,且,若存在的邻域使对,都有半正定,则为的局部极小点。二、凸规划极值判定条件凸规划问题:非空凸集上的凸函数的极小化问题。定理5 设为凸集上的凸函数,则(1)的任一局部极小点为全局极小点;(2)若可微,且存在,使,则为在上的全局极小点;(3
2、)若为严格凸函数,且全局极小点存在,则必唯一。定理6 考虑如下特殊的凸规划问题:正定二次函数,则为唯一的全局极小点。(二) 边界点为极小值点的判定条件 考虑一般的非线性规划(NP): (1)一、一般条件定理1(KT条件)(或一阶必要条件):设是(NP)的局部极小点,在点处可微,且点处的全部起作用约束的梯度线性无关(即是正则点),则存在实数,使下述条件成立 (*)二、凸规划极值判定条件考虑凸规划问题: s.t. (2)其中,是可微凸函数,是可微凹函数,是线性函数。定理2(凸规划的极值):若是凸规划(2)的KT点,则为全局极小点。注:线性函数既可视为凸函数,又可视为凹函数。三、等式约束极值判定条件
3、 (3)定理3:(一阶必要条件)假设(1)为等式约束(3)的局部极小点;(2)在的某邻域内连续可微;(3)线性无关。则存在使得 (*)定理4(二阶充分条件)假设(1)是二阶连续可微函数;(2)存在与使得式(*)成立;(3)关于的海色矩阵在切子空间上正定。则点是问题(3)的严格局部极小点。四、线性约束的(NP)问题极值判定条件考虑如下线性约束的(NP)问题 (4)定理5:在约束问题(4)中,假设i)是容许点;ii),使得,; iii)和的行向量线性无关(即起作用约束的梯度线性无关);iv)是如下线性规划的最优解:s.t. (*)其中,。则点为KT点的充要条件是。五、几何最优性条件考虑不等式约束问
4、题 (5)定理6(几何最优性条件):设是问题(2)的一个局部极小点,目标函数在处可微,且1()在处可微;2()在处连续。则在处不存在容许下降方向,即不存在方向满足 (*)六、线性规划问题的极值条件最优性检验判别数:用非基变量表示的目标函数式中,各非基变量的负系数,即称为各非基变量的判别数。1最优解判别定理:若在极小化问题中,对于某个基本容许解,所有判别数,且人工变量为0,则该基本容许解是最优解。2无穷多最优解判别定理:若在极小化问题中,对于某个基本容许解,所有判别数,又存在某个非基变量的判别数为0,且人工变量为0,则该线性规划问题有无穷多最优解。3无容许解判别定理:若在极小化问题中,对于某个基本容许解,所有判别数,但人工变量不为0,则该线性规划问题无容许解。4无有限最优解判别定理:若在极小化问题中,对于某个基本容许解,有一个非基变量的判别数,但列中没有正元素,且人工变量为0,则该线性规划问题无有限最优解。