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1、大理学院本科毕业论文二重极限与累次极限的关系及其应用The relationship and application of the Double limit and Repeated limit学 院： 数学与计算机学院 项目组成员： 潘逢生 指导教师 ： 王绍荣 专 业： 数学与应用数学 年级（班级）： 06级数本一班 起止日期 ： 2009-6-25至2009-12-20 制表日期：2009年 10 月 1 日摘要 本文主要从累次极限与二重极限的定义出发，总结了累次极限与二重极限存在性的所有可能发生的情况和有关的定理，对二重极限与累次极限的关系作了一个比较完整的研究。关键词 二重极限；累次
2、极限；存在性；一致趋向Abstract In this paper, according to definition of the repeated limit and the double limit, summed up all the possible presence of the repeated limit and the double limit in existence and some related theorems, have a more complete study of the double limit and the repeated limit in exist
3、ence.Keywords Double limit; repeated limit; existence; the same trend目录1.前言12. 二重极限与累次极限的区别与联系.13.二重极限与累次极限存在性的七种情况33.1累次极限都存在且相等，但二重极限不存在.33.2累次极限都不存在，二重极限存在.43.3一个累次极限存在，另一个累次极限不存在，二重极限存在.43.4一个累次极限存在，另一个累次极限不存在，二重极限不存在.53.5累次极限都存在但不相等，二重极限一定不存在.53.6累次极限与二重极限都存在且一定相等.63.7二重极限与累次极限都不存在.64.关于二重极限与累次
4、极限的几个定理和问题.74.1二重极限与累次极限存在必相等定理.74.2二重极限存在时累次极限也存在的条件8参考文献.10致谢.111前言本文以二重极限与累次极限的关系为研究对象，原因在于它不仅对多元函数极限的求法和极限思想有很大的启发作用而且对多元函数的其他性质与应用也有很大的帮助，是研究多元函数的连续性，可积性，可微性的重要工具。选择二元函数作为多元函数研究的代表是因为二元函数具有可代表性与研究的便捷性。二元函数极限是一元函数极限的推广，而又不同于一元函数的极限，二元函数的二重极限与累次极限的存在性没有必然的蕴含关系，但是在不同的条件下，它们存在着密切的关系，如：当累次极限存在但不相等时二
5、重极限一定不存在。二重极限与累次极限之间的关系是一个复杂的问题，若能弄清它们之间的联系与区别，这将会对多元函数的微分计算，积分计算和极限计算发挥很大的作用，也有助于更清楚的了解多元函数的连续性，可积性，可微性，一致收敛性之间的联系与区别，对多元函数的研究具有重要意义。2二重极限与累次极限的区别与联系二元函数极限是一元函数的推广，研究二元数的极限对研究函数的连续性，可微性及可积性都有很大的帮助，研究二元函数的极限首先要从它的定义出发，二元函数的极限有二重极限与累次极限之分，这是两个不同的独立概念，我们先来看看它们的定义.定义1.设为定义在上的二元函数.为的一个聚点，是一个确定的实数，若对任给正数
6、，总存在某正数，使得当时，都有 .则称在上当时以为极限，记作： 或 定义2设,是的聚点，是的聚点，二元函数在集合 上有定义，若对每一个，存在极限 , 由于此极限一般与有关，因此记作： 而且进一步存在极限 则称此极限为二元函数先对后对 的累次极限.并记作： .类似可以定义先对后对的累次极限. .从所给定义出发，可知二重极限 中的两个变量 要求同时以任何方式，即从任何路径趋向于点 而得到的极限.其关键在于路径的任意性与两变量的同时性。对于累次极限所不同的是自变量是依一定先后顺序相续趋向于的整个趋近过程分为两个步骤，既可以先后，也可以先后时对的极限，我们从定义中可以知道二重极限与累次极限定义上就是独
7、立的，这是它们的存在性没有必然的蕴含关系的最终原因，要研究它们之间的关系是一个比较复杂的问题，所以我们在研究它们关系之前要对它们各自的定义作充分的理解.函数在一点的二重极限涉及该点邻域内（仅考虑函数定义域的）所有点，而累次极限则不同，它是每次仅考虑一个变量的变化（其余变量暂时看作常数）的一元函数极限.例如 首先只考虑（暂时看作常数）有 其次令有 这个累次极限对任意的，动点 沿着折线无限趋近于如下图（1）所示P(X,Y)B（X,Yo）C(Xo,Y)A(Xo,Yo) XOY图（1）同理:对于另一累次极限 对任意 , 动点沿着折线无限趋近于如图（1）示，这时需要注意的是，若累次极限存在，则在路径：中
8、的阶段必须有的存在，而且，也未必与相同，某些时候，这一累次极限在第一阶段就不存在了.例如 显然在时，显然是不存在的，当然在阶段的极限也就不存在的，即累次极限是不存在的，尽管存在，但是在：路线上，极限却是存在的。因为若想在上无限趋于，只需要取 段就可以了，不考虑段，并不影响极限 的值。另一方面，注意到 由两边夹法则知 ，当然有 此例说明 与 是不同的，而且只有当 存在时，才可能有 存在.对于 与 的理解类似.从上面的分析我们知道二重极限与累次极限存在的基础是不同的.3二重极限与累次极限可能发生的七种关系由函数的二重极限与累次极限的定义，发现二重极限与累次极限是两个独立的概念，两者的存在性没有必然
9、的蕴含关系，但可以总结出二重极限与两个累次极限间的所有可能存在的关系，共有七种.(1)累次极限都存在且相等，但二重极限不存在；(2)累次极限都不存在，二重极限存在；(3)一个累次极限存在，另一个累次极限不存在，二重极限存在；(4)一个累次极限存在，另一个累次极限不存在，二重极限不存在；(6)累次极限都存在但不相等，二重极限一定不存在；(7)累次极限与二重极限都存在且一定相等.3.1累次极限都存在且相等，但二重极限不存在例1.讨论二元函数在原点（0.0）处的二重极限与累次极限.解：当动点沿直线而趋于定点（0.0）时，由于此时因而有此结果可以看出极限值与有关，所以此函数二重极限不存在.当时有 从而
10、有 同理可得 即此函数累次极限存在且均为0.此例说明累次极限存在且相等，并不能保证二重极限的存在，当然有可能存在.3.2累次极限都不存在，二重极限存在例2.考察二元函数 在原点处的二重极限与累次极限是否存在.解：由于有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量，可得 对任意给定的由于 不存在，所以 不存在。同理：不存在，也不存在.即两个累次极限都不存在.此例说明了函数的二重极限存在，而两个累次极限可以不存在，这也说明了累次极限并不是二重极限的特例.3.3一个累次极限存在，另一个累次极限不存在，二重极限存在例3.考察函数 在原点（0.0）的二重极限与累次极限.解：因为 所以二重极限 而累次极限 又因为括
11、号中的极限不存在，所以这个累次极限不存在，另一个累次极限 上例说明了二重极限存在，也不能保证累次极限存在，当然更不能保证两累次极限相等，因为它连累次极限中的任何一个的存在性都无法保证，二重极限的存在性与累次极限的存在性无蕴含关系，而且可以知道两个累次极限的存在性也不存在蕴含关系.3.4一个累次极限存在，另一个累次极限不存在，二重极限不存在例4.求函数在原点处的二重极限与累次极限的存在性.解：二重极限的存在性参考例1可得，函数的二重极限不存在.累次极限的存在性当时，由于 不存在，所以 不存在.当时有 所以 由此例可以看出二重极限不存在时，累次极限可以只存在一个，而另一个不存在.3.5累次极限都存
12、在但不相等，二重极限一定不存在例5.已知函数问函数在原点的二重极限与累次极限是否存在.解：如同例1一样的方法可以证明此函数在原点处的二重极限不存在.对任意固定，可得 所以 对任意固定，可得 所以 此例说明了即使两个累次极限存在，其值可不等，二重极限是一定不存在.3.6累次极限与二重极限都存在且一定相等例6.函数在原点（0.0）处的二重极限与累次极限.解：即，二元函数的二重极限与累次极限都存在且都等于6.3.7二重极限与累次极限都不存在例7.求函数在原点（0.0）处的二重极限与累次极限.解：使用例1的证明方法我们易知 不存在， 且 ,综合得到此函数的二重极限不存在.而当时因为 不存在.所以 也不存在.同理当时不存在.也不存在.综合得，此二元函数得二重极限与累次极限都不存在.从这个特殊的例子我们可以知道，并不是函数的每一个点都存在二重极限或累次极限，如上的函数在原点（0.0）处即不存在二重极限也不存在累次极限.4关于二重极限与累次极限的几个定理和问题4.1二重极限与累次极限存则必相等定理定理1若 在点 存在二重极限 与累次极限则它们必相等.证明：设，则对正数，总正数，使得当 时,有 (1)另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式：
