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1、习题解析9.1 若平面周期性结构系按下列单位并置重复堆砌而成，试画出它们的点阵结构，并指出结构基元。解：用实线画出点阵结构如下图9.1，各结构基元中圈和黑点数如下表：图9.1号数1234567黑点数1111024圈数11123139.2 有一AB型晶体，晶胞中A和B的坐标参数分别为(0，0，0)和(1/2，1/2，1/2).指明该晶体的空间点阵型式和结构基元。解：不论该晶体属于哪一个晶系，均为简单的空间点阵，结构基元为AB。9.3 已知金刚石立方晶胞的晶胞参数a=356.7pm, 写出其中碳原子的分数坐标,并计算CC键的键长和晶胞密度。解：金刚石中碳原子分数坐标为：0，0，0；1/2，1/2，
2、0；1/2，0，1/2；0，1/2，1/2；1/4，1/4，1/4；3/4，3/4，1/4；3/4，1/4，3/4；1/4，3/4，3/4。CC键长可由（0，0，0）及（1/4，1/4，1/4）两个原子的距离求出；因为立方金刚石a=b=c=356.7pmrc-c =356.7pm= 154.4pm密度D =ZM/NAV = = 3.51 gcm-39.4 立方晶系的金属钨的粉末衍射线指标如下：110，200，211，220，310，222，321，400，试问：(a)钨晶体属于什么点阵形式？(b)X-射线波长为154.4pm, 220衍射角为43.62，计算晶胞参数。解：(a) 由于在晶体衍射
3、中，h+k+l=偶数，所以钨晶体属于体心立方点阵。(b) 立方晶系dhkl与a的关系为：dhkl =由Bragg方程 得：=316.5pm9.5 银为立方晶系，用CuKa射线(l=154.18 pm)作粉末衍射，在hkl类型衍射中，hkl奇偶混合的系统消光。衍射线经指标化后，选取333 衍射线，q=78.64，试计算晶胞参数。已知Ag 的密度为10.507 g/cm3，相对原子质量为107.87。问晶胞中有几个Ag 原子，并写出Ag 原子的分数坐标。解：对于立方晶系，=408.57 pm则 Z=DVNA/M=10.507gcm-3(408.5710-10cm)36.021023 mol-1 /
4、107.87 gmol-1 =4Ag原子的分数坐标为：0，0，0；1/2，1/2，0；0，1/2，1/2；1/2，0，1/29.6 由于生成条件不同，C60分子可堆积成不同的晶体结构，如立方最密堆积和六方最密堆积结构。前者的晶胞参数a=1420pm；后者的晶胞参数a=b=1002pm，c=1639pm。(a)画出C60的ccp结构沿四重轴方向的投影图；并用分数坐标示出分子间多面体空隙中心的位置(每类多面体空隙中心只写一组坐标即可)。(b)在C60的ccp和hcp结构中，各种多面体空隙理论上所能容纳的“小球”的最大半径是多少？(c)C60分子还可形成非最密堆积结构，使某些碱金属离子填入多面体空隙
5、，从而制得超导材料。在K3C60所形成的立方面心晶胞中，K+占据什么多面体空隙？占据空隙的百分数为多少？解：(a) C60分子堆积成的立方最密堆积结构沿四重轴方向的投影图如图9.6所示：图9.6 四面体空隙中心的分数坐标为：1/4，1/4，1/4；1/4，1/4，3/4；3/4，1/4，1/4；3/4，1/4，3/4；1/4，3/4，1/4；1/4，3/4，3/4；3/4，3/4，1/4；3/4，3/4，3/4。 八面体空隙中心的分数坐标为：1/2，1/2，1/2；1/2，0，0；0，1/2，0；0，0，1/2。（b）首先，由晶体结构参数求出C60分子的半径R。有hcp结构的晶胞a参数求得：R
6、=a/2=1/21002pm=501pm也可由ccp结构的晶胞参数求R，结果稍有差别。 由C60分子堆积成的两中最密堆积结构中，四面体空隙和八面体空隙都是相同的。四面体空隙所能容纳的小球的最大半径为：rT=0.225R=0.225501pm=112.7pm 八面体空隙所能容纳的小球的最大半径为：rO=0.414R=0.414501pm=207.4pm（c）K3C60可视为二元离子晶体，但题中并未给出K+的半径值，因此无法根据半径比判断K+所占多面体空隙的类型。可从结构中的一些简单数量关系推引出结论。一个K3C60晶胞中共有12个多面体空隙，其中4个八面体空隙（其中心分别在晶胞的体心和棱心上），
7、8个四面体空隙（其中心的分数坐标为1/4，1/4，1/4等）。而一个晶胞中含4个C60分子，因此，多面体空隙数与C60分子数之比为3：1。从晶体的化学式知，K+数与C60分子数之比亦为3：1。因此，K+数与多面体空隙数之比为1：1，此即意味着K3C60晶体中所有的四面体中所有的四面体空隙和八面体空隙皆被K+占据，即占据的百分数为100%。9.7 金属钼为A2型结构，a=314.70pm，试计算Mo的原子半径，(100)和(110)面的面间距。解：由于钼为A2型结构，因而原子在立方晶胞的体对角线上互相接触，因此可得= 314.7pm=136.27pm(100)和(110)面的面间距分别为：d(1
8、00)= =a=314.70pmd(110)= =222.56pm9.8 Pd是A1型结构，a=389.0 pm，它有很好的吸收H2性能，常温下1体积的Pd能吸收700体积的 H2，请问1体积(1 cm3)的Pd中含有多少个空隙(包括四面体空隙和八面体空隙)，700 体积的 H2可解离为多少个 H 原子，若全部H 原子占有空隙，则所占空隙的百分数是多少。解：晶胞的体积为V=a3=(389.0pm)3一个晶胞中共12个空隙（4个八面体空隙和8个四面体空隙），则1体积中共含有的空隙数为：=2.01023700体积H2可解离出的H原子数为：=3.81022H原子占有空隙的百分数为：100%=18.5
9、%9.9 试证明等径圆球的hcp 结构中，晶胞参数c和a的比值(称为轴率)为常数，即c/a=1.633。证：图9.9示出A3型结构的一个简单六方晶胞。该晶胞中有两个圆球、4个正四面体空隙和两个正八面体空隙。由图可见，两个正四面体空隙共用一个顶点，正四面体高的两倍即晶胞参数c，而正四面体的棱长即为晶胞参数a或b。已知：a=b=2Rc= c/a=1.633图9.99.10 在等径圆球的最密堆积中，一个四面体空隙由_4_个圆球围成，因此一个球占有_1/4_个空隙，而一个球参与_8_个四面体空隙的形成，所以平均一个球占有_2_个四面体空隙。在等径圆球的最密堆积中，一个八面体空隙由_6_个圆球围成，因此
10、一个球占有_1/6_个空隙，而一个球参与_6_个八面体空隙的形成，所以平均一个球占有_1_个八面体空隙。9.11 金属钠为体心立方结构，a=429pm，计算：(a)Na的原子半径；(b)金属钠的理论密度；(c)(110)面的间距。解：（a）金属钠为体心立方结构，原子在晶胞体对角线方向上互相接触，由此推得原子半径和晶胞参数a的关系：R=a代入数据，得：R= 429pm=185.8pm（b）每个晶胞中含两个钠原子，因此，金属钠的理论密度为：D=(ZM)/(a3NA)=0.967 gcm-3 （c）d(110)=a/(12+12+0)1/2=429pm/=303.4pm9.12 金属钽为体心立方结构
11、，a=330pm，试求：(a)Ta的原子半径；(b)金属钽的理论密度(Ta的相对原子质量为181)；(c)(110)面间距；(d)若用=154pm的X射线，衍射指标为220的衍射角的数值是多少？解：(a)钽的原子半径为：r=a=330pm=143pm(b)金属钽的理论密度为：D=(ZM)/(a3NA)=16.7 gcm-3(c)（110）点阵面的间距为：d(110)= a/(12+12+0)1/2=330pm/ =233pm(d)根据Bragg方程得：220= =0.6598 220=41.39.13 金属锂晶体属立方晶系，(100)点阵面的面间距为350pm，晶体密度为0.53g/cm3,从
12、晶胞中包含的原子数目判断该晶体属何种点阵型式？(Li的相对原子质量为6.941)解：金属锂的立方晶胞参数为：a=d(100)=350pm设每个晶胞中的锂原子数为Z，则：Z=1.972立方晶系晶体的点阵型式有简单立方、体心立方和面心立方三种，而对立方晶系的金属晶体，可能的点阵型式只有面心立方和体心立方两种。若为前者，则一个晶胞中应至少有4个原子。由此可知，金属锂晶体属于体心立方点阵。9.14 请按下面(a)到(c)总结A1、A2及A3型金属晶体的结构特征。(a)原子密置层的堆积方式、重复周期(A2型除外)、原子的配位数及配位情况。(b)空隙的种类和大小、空隙中心的位置及平均每个原子摊到的空隙数目
13、。(c)原子的堆积系数、所属晶系、晶胞中原子的坐标参数、晶胞参数与原子半径的关系以及空间点阵型式等。解： （a）A1，A2和A3型金属晶体中原子的堆积方式分别为立方最密堆积（ccp）、体心立方密堆积（bcp）和六方最密堆积（hcp）。A1型堆积中密堆积层的重叠方式为ABCABCABC，三层为一重复周期，A3行堆积中密堆积层的重复方式为ABABAB，两层为一重复周期。A1和A3型堆积中原子的配位数皆为12，而A2型堆积中原子的配位数为814，在A1型和A3型堆积中，中心原子与所有配位原子都接触，同层6个，上下两层各3个。所不同的是，A1型堆积中，上下两层配位原子沿C3轴的投影相差60呈C6轴的对
14、称性，而A3型堆积中，上下两层配位原子沿c轴的投影互相重合。在A2型堆积中，8个近距离（与中心原子相距为）配位原子处在立方晶胞的顶点上，6个远距离（与中心原子相距为a）配位原子处在相邻晶胞的体心上。（b）A1型堆积和A3型堆积都有两种空隙，即四面体空隙和八面体空隙。四面体空隙可容纳半径为0.225R的小原子，八面体空隙可容纳半径为0.414R的小原子（R为堆积原子的半径）。在这两中堆积中，每个原子平均摊到两个四面体空隙和一个八面体空隙。差别在于，两种堆积中空隙的分布不同。在A1型堆积中，四面体空隙的中心在立方面心晶胞的体对角线上，到晶胞顶点的距离为。八面体空隙的中心分别处在晶胞的体心和棱心上。
15、在A3型堆积中，四面体空隙中心的坐标参数分别为0，0，3/8；0，0，5/8；2/3，1/3，1/8；2/3，1/3，7/8。而八面体空隙中心的坐标参数分别为2/3，1/3，1/4；2/3，1/3，3/4。A2型堆积中有变形八面体空隙、变形四面体空隙和三角形空隙（亦可视为变形三方双锥空隙）。八面体空隙和四面体空隙在空间上是重复利用的。八面体空隙中心在体心立方晶胞的面心和棱心上。每个原子平均摊到3个八面体空隙，该空隙可容纳的小原子的最大半径为0.154R。四面体空隙中心处在晶胞的面上。每个原子平均摊到6个四面体空隙，该空隙可容纳的小原子的最大半径为0.291R。三角形空隙实际上是上述两种多面体空隙的连接面，算起来，每个原子摊到12个三角形空隙。（c）金属的结构型式A1A2A3原子的堆积系数74.05%68.02%74.05
