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1、宿舍委员会席位的公平分配摘要学校中宿舍委员会委员数的确定，可由不同的相对公平的方法来确定，运用不同的方法分配出的席位个数稍有不同。问题一三用比例，惯例分配，得出的A，B，C三个宿舍分别获得的席位数为3,3,4。问题二采用Q值法分配，Q值法相对于比例惯例的方法更为公平，分配结果为三个宿舍分别获得2,3,5个席位。问题三采用了dHondt的方法，分配的结果为A，B，C三个宿舍分别获得2,3,5个席位。问题四是当席位增加至15个时，采用上述三种方法分配的结果： （1）采用比例惯例分配三个宿舍分别获得4,5,6个席位； （2）采用Q值法分配三个宿舍分别获得4,5,6个席位；（3）采用dHondt方法分
2、配，A，B，C三个宿舍分别获得3,5,7个席位。关键字： 一 问题描述某学校共有1000名学生，三栋宿舍楼A、B、C。其中235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会。是分别用不同方法进行各宿舍的委员数分配：（1） 按比例分配取整然后按惯例分配；（2） Q值法分配；（3） DHondt方法分配。（4） 若委员会从10人增加至15人，再次利用上述方法分配，讲两次分配结果比较。二 问题分析对于宿舍委员会的人数分配，三种方法得出的结果各不相同。Q值法在惯例分配的基础上，考虑了不公平度的影响，相对来讲，更加的公平一些。Dhondt方法也考虑到了不公平度，下
3、面详细介绍。三 模型假设1 假设学校苏宿舍近期无学生转入或转出；2 三个宿舍之间无互相变动；3 委员会中无职位差别。四 量与符号化说明 第i个宿舍的人数，其中，i分别为1,2,3对应宿舍A，B，C； 第i个宿舍分得的委员会席位个数； 第i个宿舍对应的Q值。五 模型建立与求解设第i方人数（i=1,2，m），总人数，待分配席位N，分配结果为。记，显然若不全为整数时，记分别为向下取整和向上取整。1按比例惯例分配 即按照人口比例进行名额分配。若各部门所得恰好是正整数，分配完毕；否则，把小数部分对应的名额分给尾数最大的。首先要求出每栋宿舍楼人数占总人数的比例，求出如下表一：各宿舍人数占总人数比例宿舍AB
4、C人数235333432所占比例23.50%33.30%43.20%因为委员会共有10人，按比例和惯例分配如下表二：按比例惯例分配的结果ABC所占比例0.2350.3330.432比例分配的席位2.353.334.32参照惯例的结果334分配出的结果=3，=3，=42 Q值法分配假设A、B两方，人数分别为、，待分配的名额是个，A方和B方得到的名额分别是、。首先给出衡量公平分配的数量指标：当时，分配公平；若，对A不公平，此时定义为对A的绝对不公平度，为对A的相对不公平度；若，类似的定义为B的绝对不公平度，为对B的相对不公平度。要使分配方案尽可能公平，制定分配方案的原则是使与都尽可能小。 假设A方
5、和B方已分得、个名额，利用相对不公平度与讨论当分配名额再增加一个时应该分配给A还是给B。不妨设，即对A不公平，当再分配一个席位时，有以下三种情况：（1） 当 时，说明即使给A增加1个名额，仍然对A不公平，所以这一席显然应给A方。（2） 当时，说明给A增加1个名额后，变为对B不公平，此时对B的相对不公平值为 .【1】（3） 当时，这说明给B增加1个名额，将对A不公平，此时对A的相对不公平值为 .【2】因为公平分配席位的原则是使相对不公平度尽可能小，所以如果 【3】则这1个名额给A方，反之这1名额给B方.由【1】、【2】知，【3】等价于 【4】不难证明上述的第(1)种情况也与【4】式等价。已知第i
6、方人数，已占有个席位，i=1,2，m，当总席位增加1席时，计算应将多出的一席分配给Q值最大的一方。在本题中由Q值得计算公式，可得=9204.17，=9240.75,=9331.2先按比例计算结果将整数部分的9席分配完毕，有=2，=3，=4得=2，=3，=5Q值法的matlab程序代码见附3. Dhondt方法将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,相除，其商数如下表：表三：dHondt法分配表 1 2 3 4 5ABC235 117.5 78.3 58.75 333 166.5 111 83.25 432 216 144 108 86.4 此方法的分配结果为：原理如下：记和为各宿舍的人
7、数和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）.是每席位代表的人数，取从而得到的中选较大者，可使对所有的尽量接近.4 委员会人数增加至15人时，三种分配方法的原理不变，分配结果如下：表四：分配表对比10人15人宿舍惯例比例法Q值法dHondt法惯例比例法Q值法dHondt法A322443B333555C455667六 模型改进与评价寻找公平分配席位方法的关键，是建立衡量公平程度的既合理又简明的数量指标，本模型提出的指标是相对不公平度，在这个前提下得到的Q值方法应该是公平的。但是由于满足上述公平分配公理的方法根本不存在，只能退而求其次，研究去掉某些公理的分配方法。参考文献1姜启源，数学模型（第三版），北京，高等教育出版社，2003年2岳林，关于Q值法的一种新定义，系统工程，1995.13（4），70-72.附：matlab程序代码Q值法代码t=input(input the total sets:);p=235 333 432for i=1:3 a(i)=p(i)/(p(1)+p(2)+p(3); n(i)=fix(a(i)*t); q(i)=(p(i)*p(i)/(n(i)*(n(i)+1); ma,I=max(q(i); %找出最大的Q值以及其在当前一位数组中的位置endn(I)=n(I)+1n(i) m=t-(n(1)+n(2)+n(3) %计算按比例分配后剩余的席位个数
