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1、第三章 平面问题的直角坐标解答,本章要点：利用第二章得出的基本方程，求解平面问题在直角坐标下的解答。 主要包括以下主要内容： 1. 逆解法与半逆解法； 2. 多项式解答； 3. 位移分量的求出； 4. 简支梁受均布荷载； 5. 楔形体受重力和液体压力；,第三章 平面问题的直角坐标解答,3-1 逆解法与半逆解法 (1) 平衡微分方程解的形式,常体力下问题的基本方程：,边界条件、位移单值条件。,(a),(b),式(a)为非齐次方程，其解：,全解 = 齐次方程通解,+非齐次方程的特解。,1. 特解,常体力下特解形式：,(1),(2),(3),2. 通解,式(a) 的齐次方程：,(c),(d),的通解
2、。,第三章 平面问题的直角坐标解答,3-1 逆解法与半逆解法 (1) 平衡微分方程解的形式,(d),将式(d)第一式改写为,(e),(f),由微分方程理论，必存在一函数 A(x,y)，使得,同理，将式(d)第二式改写为,(g),(h),比较式( f )与(h)，有,也必存在一函数 B(x,y)，使得,第三章 平面问题的直角坐标解答,3-1 逆解法与半逆解法 (1) 平衡微分方程解的形式,由微分方程理论，必存在一函数 (x,y)，使得,(i),(j),将式 (i)、(j) 代入 (e)、(f)、(g)、(h)，得通解,(k),3. 全解,取特解为：,则其全解为：,(3-1), 常体力下平衡方程（
3、a）的全解。,由式(3-1)看：不管(x,y)是什么函数，都能满足平衡方程。,(x,y) 平面问题的应力函数, Airy 应力函数,第三章 平面问题的直角坐标解答,3-1 逆解法与半逆解法 (2) 相容方程的应力函数表示,将式(3-1)代入常体力下的相容方程得：,注意到体力 X、 Y 为常量，有,将上式展开，有,(3-2), 应力函数表示的相容方程,给出了应力函数满足的条件。,第三章 平面问题的直角坐标解答,3-1 逆解法与半逆解法 (2) 相容方程的应力函数表示,(3-2),式(3-2)可简记为：,或：,式中：,满足方程(3-2)的函数(x,y) 称为重调和函数(或双调和函数)。,按应力求解
4、平面问题(X 、Y = 常量)的归结为：,先由方程（3-2）求出应力函数：,然后将 代入式（3-1）求出应力分量：,1.,2.,第三章 平面问题的直角坐标解答,3-1 逆解法与半逆解法 (3) 应力函数求解方法,1. 逆解法,（1）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设各种满足相容方程（2-27）的(x,y) 的形式；,（2）,然后利用应力分量计算式（2-26），求出 （具有待定系数）；,（3）,再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数(x,y) 对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数(x,y) 可以求解什么问题。,（1）,根据问题的条件,（几何形状、
5、受力特点、边界条件等），,假设部分应力分量 的某种函数形式 ；,（2）,根据 与应力函数(x,y)的关系及 ，求出(x,y) 的形式；,（3）,最后利用式（2-26）计算出 并让其满足边界条件和位移单值条件。,2. 半逆解法,第三章 平面问题的直角坐标解答,3-2 多项式解答 (1) 一次多项式 多项式解答的适用于由一些直线边界构成的弹性体。 多项式解答的目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数(x,y) ，能解决什么样的力学问题。,2. 检验(x,y) 是否满足双调和方程：,显然(x,y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数。,3. 对应的应力分量：,若体力：X = Y =0，则有：,1.
6、设,其中： a、b、c 为待定系数。,在该函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。,对应于无体力和无应力状态；,第三章 平面问题的直角坐标解答,3-2 多项式解答 (2) 二次多项式,.,其中： a、b、c 为待定系数。,(设X =Y = 0 ; a 0 , b 0, c 0),检验(x,y) 是否满足双调和方程，显然有,.,(可作为应力函数),.,由式（2-26）计算应力分量：,2c,2c,2a,2a,结论：二次多项式对应于均匀应力分布。,第三章 平面问题的直角坐标解答,3-2 多项式解答 (3) 三次多项式,1.,其中: a、b、c 、d 为待定系数。,检验(x,y) 是否
7、满足双调和方程，显然有,2.,可作为应力函数,(假定：X =Y = 0),3.,由式（2-26）计算应力分量：,结论：三次多项式对应于线性应力分布。,讨论：,可算得：,图示梁对应的边界条件：,可见：, 对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。,常数 d 与弯矩 M 的关系：,(1),由梁端部的边界条件：,(2),此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。,第三章 平面问题的直角坐标解答,3-2 多项式解答 (3) 三次多项式,第三章 平面问题的直角坐标解答,3-3 位移分量的求出 (1) 形变分量 本节以纯弯曲梁为例，说明如何由个应力分量求出形变分量、位移分量。 由前节可知：
8、 平面应力下的物理方程如下：,(a),将(a)代入物理方程得：,(b),第三章 平面问题的直角坐标解答,3-3 位移分量的求出 (2) 位移分量 将(b)式代入几何方程得： 将(c)式前两式积分得： 式中 为未知函数 将(d)代入(c)式第三式知：,(c),(b),(d),几何方程,第三章 平面问题的直角坐标解答,3-3 位移分量的求出 (2) 位移分量,上式左边仅为 x 的函数的函数，右边仅为y的函数，要使之相等，则,(e),积分左式，得,将上边右式代入式（d），得,(f),式中：为常数。,第三章 平面问题的直角坐标解答,3-3 位移分量的求出 (2) 位移分量,讨论：,式中：u0、v0、
9、由位移边界条件确定。,当 x = x0 =常数, u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。,说明： 同一截面上的各铅垂线段转角相同。,横截面保持平面, 材力中“横截面保持平面”的假设成立。,(f),第三章 平面问题的直角坐标解答,3-3 位移分量的求出 (2) 位移分量,上式第二式求二阶导数得：,(f),说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同。即, 材料力学中挠曲线微分方程。,第三章 平面问题的直角坐标解答,3-3 位移分量的求出 (3) 位移边界条件的利用 1. 两端简支,如右图其边界条件：,将其代入(f)式，有,将其代回(f)式，有,(3-3),梁的挠曲线方程：, 与材力中结果相
10、同,第三章 平面问题的直角坐标解答,3-3 位移分量的求出 (3) 位移边界条件的利用 2. 悬臂梁,边界条件,由式（f）可知，此边界条件无法满足。,边界条件改写为：,代入式（f），有,可求得：,则,第三章 平面问题的直角坐标解答,3-3 位移分量的求出 (3) 位移边界条件的利用 2. 悬臂梁 由前面得出的结论有 则挠曲线方程： 与材料力学得出的结论一致。,(3-4),注：平面应变问题只要将式中 的 换成 即可,第三章 平面问题的直角坐标解答,3-4 简支梁受均布荷载 (1) 应力函数的确定 分析：, 主要由弯矩引起；, 主要由剪力引起；,由 q 引起（挤压应力）。,又 q =常数，图示坐标
11、系和几何对称，不随 x 变化。则,由应力分量表达式确定应力函数 的形式：,积分得：,(a),(b), 任意的待定函数,第三章 平面问题的直角坐标解答,3-4 简支梁受均布荷载 (1) 应力函数的确定,(a),(b), 任意的待定函数,由 确定：,代入相容方程：,第三章 平面问题的直角坐标解答,3-4 简支梁受均布荷载 (1) 应力函数的确定,方程的特点：,关于 x 的二次方程，且要求 l x l 内方程均成立。,由“高等代数”理论，须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即：,对前两个方程积分：,此处略去了f1(y)中的常数项,对第三个方程得：,积分得：,(d),(c),第三章 平面问题的直
12、角坐标解答,3-4 简支梁受均布荷载 (1) 应力函数的确定,(e),(c),(d),将(c) (d) 代入 (b) ，有,式中含有9个待定常数。,第三章 平面问题的直角坐标解答,3-4 简支梁受均布荷载 (2) 应力分量的确定 由上式知：,(e),(f),(g),(h),第三章 平面问题的直角坐标解答,3-4 简支梁受均布荷载 (3) 对称条件与边界条件的应用,1. 对称条件的应用：,由 q 对称、几何对称：, x 的偶函数, x 的奇函数,由此得：,要使上式对任意的 y 成立，须有：,第三章 平面问题的直角坐标解答,3-4 简支梁受均布荷载 (3) 对称条件与边界条件的应用,2. 边界条件
13、的应用：,(a) 上下边界（主要边界）：,由此解得：,代入(f),(g),(h)式得,第三章 平面问题的直角坐标解答,3-4 简支梁受均布荷载 (3) 对称条件与边界条件的应用,2. 边界条件的应用：,(a) 上下边界（主要边界）：,代入应力公式得：,( i ),( j ),( k ),第三章 平面问题的直角坐标解答,3-4 简支梁受均布荷载 (3) 对称条件与边界条件的应用,2. 边界条件的应用：,(b) 左右边界（次要边界）：,由于对称，只考虑右边界即可。, 难以满足，需借助于圣维南原理。,静力等效条件：,轴力 N = 0；,弯矩 M = 0；,剪力 Q = ql；,第三章 平面问题的直角
14、坐标解答,3-4 简支梁受均布荷载 (3) 对称条件与边界条件的应用,2. 边界条件的应用：,(b) 左右边界（次要边界）：,可见剪力条件自动满足。,第三章 平面问题的直角坐标解答,3-4 简支梁受均布荷载 (3) 对称条件与边界条件的应用,2. 边界条件的应用：,(b) 左右边界（次要边界）：,将上式代入应力方程有：,(p),截面上的应力分布如下图：,第三章 平面问题的直角坐标解答,3-4 简支梁受均布荷载 (4) 与材料力学结果进行比较,(p),截面宽：b=1,截面惯矩：,静矩：,弯矩：,剪力：,将上述参数代入式 ( p ) ，有,(3-6),根据材料力学理论知,第三章 平面问题的直角坐标
15、解答,3-4 简支梁受均布荷载 (4) 与材料力学结果进行比较,与材料力学公式比较，得：,(1),第一项与材力结果相同，为主要项。第二项为修正项。当 h / l1，该项误差很小，可略；当 h / l较大时，须修正。,(2),为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。,(3),与材力中相同。,说明式（3-5）在两端不适用。,(4),第三章 平面问题的直角坐标解答,3-4 简支梁受均布荷载 (5) 解题步骤小结,(1),(2),(3),根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计某个应力分量（ ）的变化形式。,由 与应力函数 的关系式（2-26），求得应力函数 的具体形式（具有待定函数）。,(4),(5),将具有待定函数的应力函数 代入相容方程： 确定 中的待定函数形式。,由 与应力函数 的关系式（2-26），求得应力分量 。,由边界条件确定 中的待定常数。,用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤：,第三章 平面问题的直角坐标解答,3-5 楔形体受重力和液体压力 (1) 应力函数与应力分量 1. 问题描述 设有楔形体，如右图，左面铅直， 右面与铅直面成角为，下端为无限长， 承受重力及液体压力，楔形体的密度为 ，液体的密
