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1、,常系数高阶,线性微分方程,一. 常系数线性齐次微分方程,二. 常系数线性非齐次微分方程,第六章,常系数,齐次线性微分方程,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,第六章,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,1. 当,时, 有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,( r 为待定常数 ),所以令的解为,则微分,其根称为特征根.,2. 当,时, 特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,( u (x) 待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取 u = x , 则得,因此原方程
2、的通解为,3. 当,时, 特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,小结:,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,若特征方程含 k 重复根,若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程:,例1.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例2. 求解初值问题,解: 特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,例3.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程通解为,例4.,解: 特征方程:,特征根 :
3、,原方程通解:,(不难看出, 原方程有特解,例5.,解: 特征方程:,即,其根为,方程通解 :,例6.,解: 特征方程:,特征根为,则方程通解 :,内容小结,特征根:,(1) 当,时, 通解为,(2) 当,时, 通解为,(3) 当,时, 通解为,可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .,思考与练习,求方程,的通解 .,答案:,通解为,通解为,通解为,思考题,为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解 .,解: 根据给定的特解知特征方程有根 :,因此特征方程为,即,故所求方程为,其通解为,常系数非齐次线性微分方程,一、,二、,第六章,二阶常系数线性非齐次微分方程 :,根据解的结构定理 ,
4、 其通解为,求特解的方法,根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 ., 待定系数法,一、, 为实数 ,设特解为,其中 为待定多项式 ,代入原方程 , 得,(1) 若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为 m 次多项式 .,Q (x) 为 m 次待定系数多项式,(2) 若 是特征方程的单根 ,为m 次多项式,故特解形式为,(3) 若 是特征方程的重根 ,是 m 次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,即,即,当 是特征方程的 k 重根 时,可设,特解,例1.,的一个特解.,解: 本题,而特征方程为,不
5、是特征方程的根 .,设所求特解为,代入方程 :,比较系数, 得,于是所求特解为,例2.,的通解.,解: 本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,例3. 求解定解问题,解: 本题,特征方程为,其根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,于是所求解为,解得,二、,第二步 求出如下两个方程的特解,分析思路:,第一步 将 f (x) 转化为,第三步 利用叠加原理求出原方程的特解,第四步 分析原方程特解的特点,第一步,利用欧拉公式将 f (x) 变形,第二步 求如下两方程的特
6、解,是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),故,等式两边取共轭 :,为方程 的特解 .,设,则 有,特解:,第三步 求原方程的特解,利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :,原方程,均为 m 次多项式 .,第四步 分析,因,均为 m 次实,多项式 .,本质上为实函数 ,小 结,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,例4.,的一个特解 .,解: 本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数 , 得,于是求得一个特解,例5.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通
7、解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为,例6.,解: (1) 特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2) 特征方程,有根,利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为,设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,提示:,1 . (填空) 设,2. 求微分方程,的通解 (其中,为实数 ) .,解: 特征方程,特征根:,对应齐次方程通解:,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代入原方程得,故原方程通解为,3. 已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解 .,解: 将特解代入方程得恒等式,比较
8、系数得,故原方程为,对应齐次方程通解:,原方程通解为,振动问题,当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态,例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:,阻力的大小与运动速度,下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.,设时刻 t 物位移为 x(t).,(1) 自由振动情况.,弹性恢复力,物体所受的力有:,(虎克定律),成正比, 方向相反.,建立位移满足的微分方程.,据牛顿第二定律得,则得有阻尼自由振动方程:,阻力,(2) 强迫振动情况.,若物体在运动过程中还受铅直外力,则得强迫振动方程:,例2.,解
9、:,由例1 知, 位移满足,质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始,求物体的运动规律,立坐标系如图,设 t = 0 时物体的位置为,取其平衡位置为原点建,因此定解问题为,自由振动方程 ,方程:,特征方程:,特征根:,利用初始条件得:,故所求特解:,方程通解:,1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 ),解的特征:,简谐振动,A: 振幅, : 初相,周期:,固有频率,(仅由系统特性确定),方程:,特征方程:,特征根:,小阻尼: n k,这时需分如下三种情况进行讨论:,2) 有阻尼自由振动情况,大阻尼: n k,临界阻尼: n = k,解的特征,解的特征,解的特
10、征,( n k ),小阻尼自由振动解的特征 :,由初始条件确定任意常数后变形,运动周期:,振幅:,衰减很快,随时间 t 的增大物体趋于平衡位置.,( n k ),大阻尼解的特征:,1) 无振荡现象;,此图参数:,2) 对任何初始条件,即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.,( n = k ),临界阻尼解的特征 :,任意常数由初始条件定,最多只与 t 轴交于一点;,即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.,2) 无振荡现象 ;,例3.,求物体的运动规律.,解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程,当p k 时,齐次通解:,非齐次特解形式:,因此原方程之解为,例1 中若设物体只受弹性恢复力 f,和
11、铅直干扰力,代入可得:,当干扰力的角频率 p 固有频率 k 时,自由振动,强迫振动,当 p = k 时,非齐次特解形式:,代入可得:,方程的解为,若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使,随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅,这时产生共振现象 .,可无限增大,若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ;,p = k .,自由振动,强迫振动,对机械来说, 共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有,利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理.,求电容器两两极板间电压,例4.,联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 ,所满足的微分方程 .,提示: 设电路中电流为 i(t),上的电量为 q(t) ,自感电动势为,由电学知,根据回路电压定律:,设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串,极板,在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0,串联电路的振荡方程:,如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得,化为关于,的方程:,故有,
