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1、第四章 向量组的线性相关性第一节向量组的线性相关性一数学概念定义1.1n个有次序的数，所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数称为第i个分量。定义1. 2给定向量组A：，对于任何一组实数，向量称为向量组A的一个线性组合，称为这个线性组合的系数。定义3给定向量组A：和向量，若存在一组数，使，则称向量是向量组A的线性组合，这时称向量能由向量组A线性表示。定义4给定向量组A：，若存在一组不全为零的数，使，则称向量组A是线性相关的，否则称它是线性无关的。定义5设有两个向量组A：，及B：，若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称B能向量组A线性表示，若向量组A与向量组B能互
2、相线性表示，则称这两个向量组等价。二原理，公式和法则1.判断向量组的线性相关性的基本原理的：当上式成立时，不全为0，则可确定线性相关，若只有，则可确定线性无关。2.向量线性相关性的判定1)一个向量a是线性相关的充分必要条件是：a=0；2)两个向量是线性相关的充分必要条件是：它们对应的分量成比例。3)n个n维向量线性相关的充分必要条件是：由它们组成的n阶行列式为零。4)向量组线性相关的充分必要条件是：向量组中至少有一个向量能由其余的m-1个向量线性表示。5)向量组线性相关的充分必要条件是：由它构成的矩阵的秩小于向量的个数m。6)若向量组线性相关，则向量组也线性相关。7)当mn时，m个n维向量必线
3、性相关。8)一个向量a线性无关的充分必要条件是：a0。9)两个向量是线性无关的充分必要条件是：它们对应的分量不成比例。10)n个n维向量线性无关的充分必要条件是：由它们组成的n阶行列式不等于零。11)向量组线性无关的充分必要条件是：由它构成的矩阵的秩等于向量的个数m。12)整组向量线性无关，则它们的任何部分组也线性无关。13)若r维的向量组线性无关，而在r维的向量组中的每个向量的后边添上一个分量，则r+1维的向量也线性无关。3.若向量组线性无关，而,线性相关，则能由线性表示，且表示法是唯一的。4.判定向量组线性相关性的方法：定义法；反证法；判定法；计算法。第二节.向量组的秩一数字概念定义2.1
4、设有向量组A，如果在A中存在r个向量,满足(1)向量组A0:线性无关；(2)向量组A中任意r+1个向量(如果A中有r+1个向量的话)都线性相关，那末称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关组(简称最大无关组)。定义2.2向量组最大无关组中向量的个数称为向量组的秩。矩阵列向量组的秩称为矩阵的列秩，行向量组中秩称为矩阵行秩。二原理，公式与法则定理2.1R(A)=A的行秩=A的列秩定理2.2向量组A与其最大无关组等价。定理2.3设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大雨向量组A的秩。推论1等价向量组的秩相等。推论2设，则。推论3设向量组B是向量组A的部分组，若向量组B线性无关，且向量组A能
5、由向量组B线性表示，则向量组B是向量组A的一个最大无关组。第三节向量空间一数字概念定义3.1设V是n维向量集合，且非空，若(i)则,；(ii)则。则称V是一个向量空间。定义3.2设是两个向量空间，若，则称的子空间。定义3.3设V为向量空间，如果r个向量，且满足(i)线性无关；(ii)V中的任一向量都可由线性表示，则称向量组是向量空间V的一个基，r称为向量空间V是维数，并称V为r维向量空间。二原理，公式和法则等价的向量组所生成的向量空间相等。把向量空间看作向量组，向量空间的基就是向量组的极大无关组，向量空间的维数就是向量组的秩。第四节线性方程组解的结构一数学概念1.齐次线性方程组Ax=02.非齐
6、次线性方程组Ax=b（b0）3.齐次线性方程组的基础解系是Ax=0的解，满足(i)线性无关；(ii)Ax=0的任何一解都可由线性表示。4.齐次线性方程组Ax=0的通解5.非齐次线性方程组Ax=b的通解二原理，公式和法则1.n个未知数的齐次方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R(A)n。2.n个未知数的非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要提哦案件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵B的秩。且当R(A)=R(B)=n时，方程组有唯一解，当R(A)=R(B)=rn时方程组有无穷多个解。3.若，为Ax=0的解，则也是Ax=0的解。4.若是Ax=0的解，则的解。5.若，是Ax=b的两个解，则是Ax=0的解。6.若是Ax=0的解，是Ax=b的解，则是Ax=b的解。7.n元齐次线性方程组的全体解所构成的集合S的一个向量空间，当系数矩阵的秩R(A)=r时，解空间是n-r维的。
