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1、,第一章 计量经济学基础知识,如果 表示n个数的一个序列，那么我们就把这n个数的总和写为：,第一节 高数知识,一、求和,二、算术平均 算术平均（arithmetic mean）就是我们日常生活中使用的普通的平均数，其定义如下式：,三、加权算术平均,加权平均是将各数据先乘以反映其重要性的权数（w），再求平均的方法。其定义如下式：,四、变化率,变化率的定义如下式：,五、几何平均 几何平均是n个数据连乘积的n次方根，其定义如下式：,六、线性函数,如果两个变量x和y的关系是：,我们便说y是x的线性函数：而 和 是描述这一关系的两个参数， 为截距（Intercept）， 为斜率。,一个线性函数的定义特征
2、在于，y的改变量总是x的改变量的 倍： 其中， 表示“改变量”。换句话说，x对y的边际效应是一个等于 的常数。,例：线性住房支出函数,假定每月住房支出和每月收入的关系式是 Housing=164+0.27income 那么，每增加1元收入，就有0.27元用于住房支出，如果家庭收入增加200元，那么住房支出就增加0.27200=54元。 机械解释上述方程，即时一个没有收入的家庭也有164元的住房支出，这当然是不真实的。对低收入水平家庭，这个线性函数不能很好的描述housing和income之间的关系，这就是为什么我们最终还得用其他函数形式来描述这种关系。,多于两个变量的线性函数： 假定y与两个变
3、量 和 有一般形式的关系： 由于这个函数的图形是三维的，所以相当难以想象，不过 仍然是截距（即 =0和 =0时y的取值），且 和 都是特定斜率的度量。由方程（A.12）可知，给定 和 的改变量，y的改变量是 若 不改变，即 ，则有 因此 是关系式在 坐标上的斜率：,因为它度量了保持 固定时，y如何随 而变，所以常把 叫做 对y的偏效应。由于偏效应涉及保持其他因素不变，所以它与其他条件不变（Ceteris Paribus）的概念有密切联系，参数 可作类似解释：即若 ，则 因此， 是 对y的偏效应。,线性函数的性质,假定大学生每月对CD的需求量与CD的价格和每个月的零花钱有如下关系： 式中，pri
4、ce为每张碟的价格，income以元计算。需求曲线表示在保持收入（和其他因素）不变的情况下，quantity和price的关系。,例： 对CD的需求,线性函数的基本性质： 不管x的初始值是什么，x每变化一个单位都导致y同样的变化。x对y的边际效应是常数，这对许多经济关系来说多少有点不真实。例如，边际报酬递减这个重要的经济概念就不符合线性关系。 为了建立各种经济现象的模型，我们需要研究一些非线性函数。 非线性函数的特点是，给定x的变化，y的变化依赖于x的初始值。,七、若干特殊函数,1.二次函数,刻画报酬递减规律的一个简单方法，就是在线性关系中添加一个二次项。 考虑方程式 式中， ， 和 为参数。
5、当 时，y和x之间的关系呈抛物线状，并且可以证明，函数的最大值出现在,1.二次函数,例如，若y=6+8x-2x2。（从而 =8且 =-2），则y的最大值出现在x*=8/4=2处，并且这个最大值是6+82-2（2）2=14。,对方程式 意味着x对y的边际效应递减，这从图中清晰可见，应用微积分知识，也可以通过求这个二次函数的一阶导数得出。 斜率= 方程右端是此二次函数对x的导数。 同样， 则意味着x对y的边际效应递增，二次函数的图形就呈U行，函数的最小值出现在点 处。,1.二次函数,在计量经济分析中起着最重要作用的非线性函数是自然对数，或简称为对数函数，记为 还有几种不同符号可以表示自然对数，最常
6、用的是 或 。当对数使用几个不同的底数时，这些不同的符号是有作用的。目前，只有自然对数最重要，因此我们都用 表示自然对数。,2.自然对数,2.自然对数,图2.1.4 y=log（x） 的图形,2.自然对数,有如下性质： 1. log（x）可正可负：log（x）0，x1 2.一些有用的性质（牢记）： log（x1x2）=log（x1）+log（x2），x1，x20 log（x1/x2）=log（x1）-log（x2），x1，x20 log（xc）=clog（x），x0，c为任意实数,2.自然对数,对数可用于计量经济学应用中的各种近似计算。 1.对于x0，有log（1+x）x。这个近似计算随着x变
7、大而越来越不精确。 2.两对数之差可用作比例变化的近似值。令x0和x1为两个正数，可以证明（利用微积分），对x的微小变化，有 如果我们用100乘以上述方程，并记 那么，对x的微小变化，便有 “微小”的含义取决于具体情况。,2.自然对数,近似计算的作用： 定义y对x的弹性（elasticity）为 换言之，y对x的弹性就是当x增加1%时y的百分数变化。 若y是x的线性函数： ，则这个弹性是 它明显取决于x的取值（弹性并非沿着需求曲线保持不变）。,2.自然对数,不仅在需求理论中，在许多应用经济学领域，弹性都是非常重要的。在许多情况下，使用一个常弹性模型都很方便，而对数函数能帮助我们设定这样的模型。
8、如果我们对x和y都使用对数近似计算，弹性就近似等于 因此，一个常弹性模型可近似描述为方程 式中， 为y对x的弹性（假定x，y0）。 这类模型在经验经济学中扮演着重要角色。目前，式中的 只是接近于弹性这一事实并不重要，可以忽略。,例：常弹性需求函数,若q代表需求量而p代表价格，并且二者关系为 则需求的价格弹性是-1.25.初略地说，价格每增加1%，将导致需求量下降1.25%。,2.自然对数,在经验研究工作中还经常出现使用对数函数的其他可能性。假定y0，且 则 ，从而 。 由此可知，当y和x有上述方程所示关系时，,例： 对数工资方程,假设小时工资与受教育年数有如下关系： 根据前面所述方程，有 由此
9、可知，多受一年教育将使小时工资增加约9.4%。 通常把%y/x称为y对x的半弹性，半弹性表示当x增加一个单位时y的百分数变化。在上述模型中，半弹性是个常数并且等于 ，在上述例子中，我们可以方便的把工资和教育的关系概括为：多受一年教育无论所受教育的起点如何都将使工资提高约9.4%。这说明了这类模型在经济学中的重要作用。,2.自然对数,另一种关系式在应用经济学中也是有意义的： 其中，x0。若取y的变化，则有 ，这又可以写为 。 利用近似计算，可得 当x增加1%时，y变化 个单位。,例：劳动供给函数,假定一个工人的劳动供给可描述为 式中，wage为小时工资而hours为每周工作小时数，于是，由方程可
10、得： 换言之，工资每增加1%，将使每周工作小时增加约0.45或略小于半个小时。若工资增加10%，则 或约四个半小时。 注意：不宜对更大的工资百分数变化应用这个近似计算。,考虑方程 此处log（y）是x的线性函数，但是怎样写出y本身作为x的一个函数呢？指数函数给出了答案。 我们把指数函数写为y=exp（x），有时也写为 ， 但在我们课程中这个符号不常用。 指数函数的两个重要的数值是exp（0）=1和exp（1）=2.7183（取4位小数）。,3.指数函数,3.指数函数,图2.1.4 y=exp（x） 的图形,从上图可以看出，exp（x）对任何x值都有定义，而且总大于零。 指数函数在如下意义上是对
11、数函数的反函数：对所有x，都有logexp（x）=x，而对x0，有explog（x）=x。换言之，对数“解除了”指数，反之亦然。对数函数和指数函数互为反函数。 指数函数的两个有用性质是 exp（x1+x2）=exp（x1）exp（x2） 和 expclog（x）=xc,3.指数函数,记忆：经济学中常用的一些函数及其导数有,4.微分学,当y是多元函数时，偏导数的概念便很重要。假定y=f（x1，x2），此时便有两个偏导数，一个关于x1，另一个关于x2。y对x1的偏导数记为 ，就是把x2看做常数时方程对x1的普通导数。类似的， 就是固定x1时方程对x2的导数。 若 则 这些偏导数可被视为经济学所定义
12、的偏效应。,4.微分学,把工资与受教育年数和工作经验（以年计）相联系的一个函数是 exper对wage的偏效应就是上式对exper的偏导数： 这是增加一年工作经验所导致工资的近似变化。注意这个偏效应与exper和educ的初始水平都有关系。例如，一个从educ=12和exper=5开始的工人，再增加一年工作经验，将使工资增加约0.19-0.085+0.00712=0.234元。准确的变化通过计算，结果是0.23，和近似计算结果非常接近。,例： 含交互项的工资方程,一、随机变量及其概率分布 假设我们掷一枚钱币10次，并计算出现正面的次数，这就是一个实验的例子。一般地说，一个实验是指至少在理论上能
13、够无限重复下去的任何一种程序，并且它有一个定义完好的结果集。 一个随机变量是指一个具有数值特征并由一个实验来决定其结果的变量。,第二节 概率论基础,按照概率和统计学的惯例，我们一律用大写字母如常见的W，X，Y和Z表示随机变量，而用相应的小写字母w，x，y和z表示随机变量的特定结果。 例如，在掷币实验中，令X为一枚钱币投掷10次出现正面的次数。所以X并不是任何具体数值，但我们知道X将在集合 中取一个值。比方说，一个特殊的结果是x=6。 我们用下标表示一系列随机变量。例如，我们记录随机选择的20个家庭去年的收入。可以用X1，X2，X20表示这些随机变量，并用x1，x2，x20表示其特殊结果。,一、
14、随机变量及其概率分布,如定义所言，即使随机变量描述的是一些定性事件，我们也总定义它的结果是数值。例如，考虑只掷一枚钱币，其两个结果是正面和反面。我们可以定义一个随机变量如下：如果出现正面则X=1；如果出现反面则X=0。 一个只能取0和1两个值的随机变量叫做贝努利随机变量。 XBernoulli（ ）（读作“X服从一个成功概率为 的贝努利分布）：P（X=1）=，P（X=0）=1-,一、随机变量及其概率分布,1.离散随机变量 离散随机变量是指一个只取有限个或可数的无限个数值的随机变量。 “可数的无限个”：虽然随机变量可取无限个值，但这些值可以和正整数一一对应。 贝努力随机变量是离散随机变量的最简单的例子。,一、随机变量及其概率分布,一个离散随机变量要由它的全部可能值和取每个值的相应概率来完整描述。如果X取k个可能值 其概率p1，p2，pk被定义为 pj=P（X=xj），j=1，2， ，k （读作：“X取值xj的概率等于pj”。）
