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1、四、标准正规方程组,由,同除变换,令,则,称为标准化正规方程组,（2.12）,由标准化正规求解得bj后，由下式转换为回归系数,2.3 回归方程的效果分析和统计检验,由资料建立的回归方程是否真实地反映了变量之间的客观联系？根据样本各自变量是否确实对依变量有显著相关？这需要进行回归方程的效果分析和统计检验。我们先讨论回归方程的效果分析。,一、依变量的离差分析,依变量围绕平均值的波动影响因子可分解 为自变量和随机因素两部分,可以证明第三项为零,（2.13）,其中令：,由自变量的变化导致，是自变量的函数，记U，表示 自变量变化导致的依变量的线性变化，为自变量的影响， 称为回归平方和,也称为对预报量离差
2、平方和的线性解释 部分。,为回归估计值与实测值的差异，是自变量以外的 随机因素导致的影响，称为残差平方和。,对给定样本，U与Q的和为定值，U大则Q小，表示回归估计值主要受自变量制约，回归效果好，反之亦然。,二、回归平方和的计算,（2.14）,上式与正规方程组（2.10）联立,式中倒数第二列已经具有消去最后一个未知数的形式， 所以可以简化为,（2.15）,对上系数增广矩阵利用高斯消去法作p步变换，得,（2.16）,其中 即为Q的解,例、根据青海12测站历年资料，得一月平均气温y, 海拔高度x1，纬度x2的下列统计值:,试建立回归方程并计算回归平方和,解：将正规方程组系数矩阵,增加残差方程行,成为
3、,进行高斯-约当消去变换得:,三、回归效果指标 剩余方差,2、复相关系数 衡量依变量与回归预报值之间相关趋势程度指标，反映预报的 可靠性。,它反映因变量与多个自变量的综合相关关系（单变量相关有正 有负），它还可以写成另一形式,为无量纲指标，取值范围0-1。表示自变量的解释方差占依变量离差平方和的比。,P=1时,复相关系数R恒取正值，因为依变量与多个自变量存在相关关系，其间可能有些是正，有些是负，总体上无法判断是正还是负相关，只能通过绝对数值的大小表示。 R的大小还与样本容量和因子数有关，当p=n-1时，R恒为1（Q=0），这并不意味依变量总体上可以完全由自变量所确定，而只是 对给定的样本来说，
4、依变量与自变量之间的样本统计关系可以无误差的拟合。因此通过无限制的增加因子数而得到很高的R是没有实际意义的，有时甚至会导致使用回归方程时平均误差增大。,五、回归效果的统计检验,对变量的总体来说 存在统计关系式,如,而由有限样本建立得到的回归方程为,一般说，对任意的依变量和自变量样本，总能建立一个回归方程，其回归系数b都不为零，由于b是样本的函数，必然存在抽样误差，某为零时，b也可能不为零，即建立的回归方程是否为变量间统计联系的真实反映，需要进行统计假设检验。根据不同要求有两种形式： 1、自变量全体回归效果检验； 2）单个自变量的效果检验。,(一)全体自变量的回归效果的检验,在正态假设下，如变量
5、X1,Xp 均与Y之间无线性关系，即假设,则统计量：,服从分子自由度为p,分母自由度为n-p-1的F分布，F(p,n-p-1),给定显著水平，由,确定临界值，若,则否定原假设，认为回归方程是显著的。,由关系式,（二）单个自变量的效果检验,自变量的全体回归效果显著，并非每个变量回归效果都显著；另外，自变量之间常常相互联系，即某一个自变量对依变量的线性影响可以部分或全部通过另一些自变量得到体现，尽管这个自变量与依变量的相关是显著的，但是在回归方程中继续引入这个变量却是重复的。对单个自变量的效果检验不是检验相关系数是否显著，而是单个自变量在方程中的方差贡献。,若要检验第k个自变量，可求得包含Xk的p元回归方程的回归平方和U，并计算不包含Xk的p-1元方程 的回归平方 和U，U-U就表示Xk在p元方程中的方差贡献。,遵从,在正态线性回归下，若假设：,则统计量,分布,U-U表示回归平方和的增加或残差平方和的减少， 即因子Xk的方差贡献,可以证明：,其中 是离差矩阵SS的逆矩阵中的要素。,六、预报值的置信区间,在正态线性回归下，残差向量,具有性质1）,2）协方差阵,服从,则,，其95%的置信区间为（-1.96，1.96），即给出回归预报值后， 其95%的置信区间为,解：计算因子协方差矩阵,其中,对单个要素,0.05显著水平下，F(1,26)=4.23, X2在方程中的方差贡献不显著,
