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1、 第 页 共 62 页 1 中考中考数学数学几何最值问题解法几何最值问题解法 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周 长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 解决平面几何最值问题的常用的方法有： （1） 应用两点间线段最短的公理 （含应用三角形的三边关系） 求最值； （2）应用垂线段最短的性质求最值； （3）应用轴对称的性质求最值； （4）应用二次函数求最值； （5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。 应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值应用两点间线段最短的公理（
2、含应用三角形的三边关系）求最值 典型例典型例题：题： 例例 1. 1. （20122012 山东济南山东济南 3 3 分）分）如图，MON=90，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM，ON 上，当 B 在边 ON 上运动时，A 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1，运动过程中，点 D 到 点 O 的最大距离为【 】 A21+ B5 C 145 5 5 D 5 2 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。 【分析】【分析】如图，取 AB 的中点 E，连接 OE、DE、OD， OD
3、OE+DE， 当 O、D、E 三点共线时，点 D 到点 O 的距离最大， 此时，AB=2，BC=1，OE=AE= 1 2 AB=1。 DE= 2222 ADAE112=+=+=， OD 的最大值为：21+。故选 A。 例例 2.2.（20122012 湖北鄂州湖北鄂州 3 3 分）分）在锐角三角形 ABC 中，BC=24，ABC=45，BD 平分ABC，M、 N 分别是 BD、BC 上的动点，则 CM+MN 的最小值是 。 第 页 共 62 页 2 【答案】【答案】4。 【考点】【考点】最短路线问题，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，锐角三角函数定 义，特殊角的三角函数值
4、。 【分析】【分析】如图，在 BA 上截取 BE=BN，连接 EM。 ABC 的平分线交 AC 于点 D，EBM=NBM。 在AME 与AMN 中，BE=BN ，EBM=NBM，BM=BM， BMEBMN（SAS） 。ME=MN。CM+MN=CM+MECE。 又CM+MN 有最小值，当 CE 是点 C 到直线 AB 的距离时，CE 取最小值。 BC=4 2，ABC=45，CE 的最小值为4 2sin45 0=4。 CM+MN 的最小值是 4。 例例 3.3.（20112011 四川凉山四川凉山 5 5 分）分）如图，圆柱底面半径为2cm，高为9 cm，点 A、B 分别是圆柱两底面圆周 上的点，
5、且 A、B 在同一母线上，用一棉线从 A 顺着圆柱侧面绕 3 圈到 B，求棉线最短为 cm。 【答案】【答案】15。 【考点】【考点】圆柱的展开，勾股定理，平行四边形的性质。 【分析】【分析】如图，圆柱展开后可见，棉线最短是三条斜线，第一条斜线与底面 圆周长、1 3 高组成直角三角形。由周长公式，底面圆周长为4 cm， 1 3 高为 3 cm，根据勾股定理，得斜线长为5 cm，根据平行四边形的性质，棉线 最短为15 cm。 例例 4. 4. （20122012 四川眉山四川眉山 3 3 分）分）在ABC 中，AB5，AC3，AD 是 BC 边上的中线，则 AD 的取值范围是 第 页 共 62
6、页 3 【答案】【答案】1AD4。 【考点】【考点】全等三角形的判定和性质，三角形三边关系。 【分析】【分析】 延长 AD 至 E， 使 DE=AD， 连接 CE 根据 SAS 证明ABDECD， 得 CE=AB， 再根据三角形的三边关系即可求解： 延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 CE。 BD=CD，ADB=EDC，AD=DE，ABDECD（SAS） 。 CE=AB。 在ACE 中，CEACAECEAC，即 22AD8。 1AD4。 练习题：练习题： 1. 1. （20112011 湖北荆门湖北荆门 3 3 分）分）如图，长方体的底面边长分别为 2cm和 4cm，高为 5cm.若一只
7、蚂蚁从 P 点 开 始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【 】 A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm 2.2.（20112011 四川广安四川广安 3 3 分）分）如图，圆柱的底面周长为 6cm，AC 是底面圆的直径，高 BC=6cm，点 P 是母线 BC 上一点，且 PC= 2 3 BC一只蚂蚁从 A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 P 的最短距离是【 】 A、 6 (4) + B、5cm C、3 5 D、7cm 3.3.（20112011 广西广西贵港贵港 2 2 分分）如图所示，在边长为 2 的正三角形 ABC 中，E、F、G 分别为 AB、A
8、C、BC 的中点， 点 P 为线段 EF 上一个动点，连接 BP、GP，则BPG 的周长的最小值是 _ 第 页 共 62 页 4 二、应用垂线段最短的性质求最值：二、应用垂线段最短的性质求最值：典型例题：典型例题：例例 1. 1. （20122012 山东莱芜山东莱芜 4 4 分）分）在ABC 中，ABAC 5，BC6若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值是 【答案】【答案】 24 5 。 【考点】【考点】动点问题，垂直线段的性质，勾股定理。 【分析】【分析】如图，根据垂直线段最短的性质，当 BPAC 时，BP 取得最小值。 设 AP=x，则由 ABAC5 得 CP=5x， 又BC6
9、，在 RtAB P和 RtCBP中应用勾股定理，得 222222 BPABAPBPBCCP = =，。 2222 ABAPBCCP =，即()2 222 5x66x=，解得 7 x= 5 。 2 2 757624 BP5= 5255 = ，即 BP 的最小值是 24 5 。 例例 2.2.（20122012 浙江浙江台州台州 4 4 分）分）如图，菱形 ABCD 中，AB=2，A=120，点 P，Q，K 分别为线段 BC，CD，BD 上的任意一点，则 PK+QK 的最小值为【 】 A 1 B3 C 2 D31 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，
10、垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角 三角函数定义，特殊角的三角函数值。 第 页 共 62 页 5 【分析】【分析】分两步分析： （1）若点 P，Q 固定，此时点 K 的位置：如图，作点 P 关于 BD 的对 称点 P1，连接 P1Q，交 BD 于点 K1。 由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得 P1K1 = P K1，P1K=PK。 由三角形两边之和大于第三边的性质，得 P1KQKP1Q= P1K1Q K1= P K1Q K1。 此时的 K1就是使 PK+QK 最小的位置。 （2）点 P，Q 变动，根据菱形的性质，点 P 关于 BD 的对称点 P1在 AB 上，即不论点 P 在
11、BC 上任一 点，点 P1总在 AB 上。 因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当 P1QAB 时 P1Q 最短。 过点 A 作 AQ1DC 于点 Q1。 A=120，DA Q1=30。 又AD=AB=2，P1Q=AQ1=ADcos300= 3 23 3 =。 综上所述，PK+QK 的最小值为3。故选 B。 例例 3.3.（20122012 江苏江苏连云港连云港 1212 分）分）已知梯形 ABCD，ADBC，ABBC，AD1，AB 2，BC3， 问题 1：如图 1，P 为 AB 边上的一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，请问对角线 PQ，DC 的长能否
12、相 等，为什么？ 问题 2：如图 2，若 P 为 AB 边上一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，请问对角线 PQ 的长是否存在最 小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由 问题 3：若 P 为 AB 边上任意一点，延长 PD 到 E，使 DEPD，再以 PE，PC 为边作平行四边形 PCQE，请探 究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由 问题 4：如图 3，若 P 为 DC 边上任意一点，延长 PA 到 E，使 AEnPA(n 为常数)，以 PE、PB 为边作平行四 边形 PBQE，请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值
13、？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理 由 第 页 共 62 页 6 【答案】【答案】解：问题 1：对角线 PQ 与 DC 不可能相等。理由如下： 四边形 PCQD 是平行四边形，若对角线 PQ、DC 相等，则四边形 PCQD 是矩形， DPC90。 AD1，AB2，BC3，DC22。 设 PBx，则 AP2x， 在 RtDPC 中，PD 2PC2DC2，即 x232(2x)2128，化简得 x22x30， (2)241380，方程无解。 不存在 PBx，使DPC90。对角线 PQ 与 DC 不可能相等。 问题 2：存在。理由如下： 如图 2，在平行四边形 PCQD 中，设对角线 PQ
14、 与 DC 相交于点 G， 则 G 是 DC 的中点。 过点 Q 作 QHBC，交 BC 的延长线于 H。 ADBC，ADCDCH，即ADPPDGDCQQCH。 PDCQ，PDCDCQ。ADPQCH。 又PDCQ，RtADPRtHCQ（AAS） 。ADHC。 AD1，BC3，BH4， 当 PQAB 时，PQ 的长最小，即为 4。 问题 3：存在。理由如下： 如图 3，设 PQ 与 DC 相交于点 G， PECQ，PDDE， DGPD1 = GCCQ2 =。 G 是 DC 上一定点。 作 QHBC，交 BC 的延长线于 H， 同理可证ADPQCH，RtADPRtHCQ。 ADPD1 = CHCQ
15、2 =。 AD1，CH2。BHBGCH325。 当 PQAB 时，PQ 的长最小，即为 5。 问题 4：如图 3，设 PQ 与 AB 相交于点 G， PEBQ，AEnPA， PAAG1 = BQBGn+1 =。 G 是 DC 上一定点。 第 页 共 62 页 7 作 QHPE，交 CB 的延长线于 H，过点 C 作 CKCD，交 QH 的延长线于 K。 ADBC，ABBC， DQHC，DAPPAGQBHQBG90 PAGQBG， QBHPAD。ADPBHQ， ADPA1 = BHBQn+1 =， AD1，BHn1。CHBHBC3n1n4。 过点 D 作 DMBC 于 M，则四边形 ABND 是矩形。 BMAD1，DMAB2。CMBCBM312DM。 DCM45。KCH45。 CKCHcos45 2 2 (n4)， 当 PQCD 时，PQ 的长最小，最小值为 2 2 (n4)。 【考点】【考点】反证法，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，全等三角形的判定和性质，勾股 定理，平行四边形、矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。 【分析】【分析】问题 1：四边形 PCQD 是平行四边形，若对角线 PQ、DC 相等，则四边形 PCQD 是矩
