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1、 1 G F E D C BA M 证明题 1.如图，ABC 中，BAC=90，AB=AC，ADBC，垂足是 D，AE 平分BAD，交 BC 于点 E在ABC 外有一 点 F，使 FAAE，FCBC （1）求证：BE=CF； （2）在 AB 上取一点 M，使 BM=2DE，连接 MC，交 AD 于点 N，连接 ME 求证：MEBC；DE=DN 2.如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，E 为 AC 边的中点，过点 A 作 ADAB 交 BE 的延长线于点 D，CG 平分ACB 交 BD 于点 G，F 为 AB 边上一点，连接 CF，且ACFCBG。 求证： （1）AFCG； （2）CF2D
2、E 3.如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分别是边 AB、CD 上的点，AE=CF，连接 EF，BF，EF 与对角线 AC 交于 O 点，且 BE=BF，BEF=2BAC。 （1）求证：OE=OF； （2）若 BC=2 3，求 AB 的长。 4.已知，如图，在ABCD 中，AEBC，垂足为 E，CE=CD，点 F 为 CE 的中点，点 G 为 CD 上的一点，连接 DF、EG、 AG，1=2 （1）若 CF=2，AE=3，求 BE 的长； （2）求证：CEG= AGE 2 5.如图 1，在ABC 中，ACB=90，BAC=60，点 E 角平分线上一点，过点 E 作 AE 的垂线，过点 A 作
3、 AB 的 线段，两垂线交于点 D，连接 DB，点 F 是 BD 的中点，DHAC，垂足为 H，连接 EF，HF。 （1）如图 1，若点 H 是 AC 的中点，AC=2 3，求 AB，BD 的长。 （2）如图 1，求证：HF=EF。 （3）如图 2，连接 CF，CE，猜想：CEF 是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由。 6.如图 1，ABC 中，BAC=90 ，AB=AC，ADBC 于点 D，点 E 在 AC 边上，连结 BE （1）若 AF 是ABE 的中线，且 AF5，AE6，连结 DF，求 DF 的长； （2）若 AF 是ABE 的高，延长 AF 交 BC 于点 G 如图
4、2，若点 E 是 AC 边的中点，连结 EG，求证：AGEGBE； 如图 3，若点 E 是 AC 边上的动点，连结 DF当点 E 在 AC 边上(不含端点)运动时，DFG 的大小是否改变， 如果不变，请求出DFG 的度数；如果要变，请说明理由 7.在ABC 中，AB=AC，A=60，点 D 是线段 BC 的中点，EDF=120，DE 与线段 AB 相交于点 E，DF 与线段 AC（或 AC 的延长线）相交于点 F. （1）如图 1，若 DFAC，垂足为 F，AB=4，求 BE 的长； （2）如图 2，将（1）中的EDF 绕点 D 顺时针旋转一定的角度，DF 扔与线段 AC 相交于点 F.求证：
5、 1 CF 2 BEAB+=； （3）如图 3，将（2）中的EDF 继续绕点 D 顺时针旋转一定的角度，使 DF 与线段 AC 的延长线交与点 F，作 DNAC 于点 N，若 DN=FN，求证：3()BECFBECF+=. A B F D C E 25题图1 B A F D C E G 25题图2 A B F D C E G 25题图3 3 图 1 图 2 图 3 8.已知在四边形 ABCD 中，180ABCADC+=，AB=BC. （1）如图 1，若90BAD=，AD=2，求 CD 的长度； （2） 如图 2，点 P、Q 分别在线段 AD、DC 上，满足 PQ=AP+CQ，求证： 1 90
6、2 PBQADC=； （3）如图 3，若点 Q 运动到 DC 的延长线上，点 P 也运动到 DA 的延长线上时，仍然满足 PQ=AP+CQ，则（2）中的 结论是否成立？若成立，请给出证明过程，若不成立，请写出PBQ与ADC的数量关系，并给出证明过程. 9.如图，在菱形 ABCD 中，ABC=60 ，E 是对角线 AC 上任意一点，F 是线段 BC 延长线上一点，且 CF=AE，连接 BE、 EF （1）如图 1，当 E 是线段 AC 的中点，且 AB=2 时，求ABC 的面积； （2）如图 2，当点 E 不是线段 AC 的中点时，求证：BE=EF； （3）如图 3，当点 E 是线段 AC 延长
7、线上的任意一点时， （2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， 请说明理由 10.如图 1，在菱形 ABCD 中，ABC=60 ，若点 E 在 AB 的延长线上，EFAD，EF=BE，点 P 是 DE 的中点，连接 FP 并延长交 AD 于点 G （1）过 D 作 DHAB,垂足为 H，若 DH=2 3，BE= 1 4 AB,求 DG 的长； （2）连接 CP，求证：CPFP； （3） 如图 2， 在菱形 ABCD 中，ABC=60 ， 若点 E 在 CB 的延长线上运动， 点 F 在 AB 的延长线上运动， 且 BE=BF， 连接 DE,点 P 为 DE 的中点，连接 FP、CP
8、，那么第（2）问的结论成立吗？若成立，求出 PF CP 的值；若不成立，请说 明理由 图 1 D A B C A D B C P Q 图 2 A D B C P Q 图 3 E A B C D H P F G 第 25 题图 1 A B C D P F 第 25 题图 2 E G 4 A E O C B 11.如图 1，ABC中，BEAC于点E，ADBC于点D，连接DE. （1）若ABBC=，1DE =，3BE =，求ABC的周长； （2）如图 2，若ABBC=，ADBD=，ADB的角平分线DF交BE于点F，求证：2BFDE=； （3）如图 3，若ABBC，ADBD=，将ADC沿着AC翻折得到
9、AGC，连接DG、EG，请猜想线段AE、 BE、DG之间的数量关系，并证明你的结论。 12.如图，在等腰 RtABC 中，O为斜边 AC 的中点，连接 BO，以 AB 为斜边向三角形内部作 RtABE, 且AEB=90，连接 EO. 求证： （1）OAE=OBE; （2）AE=BE+2OE. 5 13.张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图 1，在ABC中，AB=AC，点 P 为边 BC 上的任一点，过 点 P 作 PDAB，PEAC，垂足分别为 D、E，过点 C 作 CFAB，垂足为 F 求证：PD+PE=CF 小军的证明思路是：如图 2，连接 AP，由ABP与ACP面积之和等于
10、ABC的面积可以证得：PD+PE=CF 小俊的证明思路是：如图 2，过点 P 作 PGCF，垂足为 G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则 PD+PE=CF 【变式探究】如图 3，当点 P 在 BC 延长线上时，其余条件不变，求证：PDPE=CF； 请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题： 【结论运用】如图 4，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 D 落在点 B 上，点 C 落在点 C处，点 P 为折痕 EF 上的任一点， 过点 P 作 PGBE、PHBC，垂足分别为 G、H，若 AD=8，CF=3，求 PG+PH 的值； 【迁移拓展】图 5 是一个航模的截面示意图在四边形 AB
11、CD 中，E 为 AB 边上的一点，EDAD，ECCB，垂足分 别为 D、C，且 ADCE=DEBC，AB=2 13dm，AD=3dm，BD=37dmM、N 分别为 AE、BE 的中点，连接 DM、 CN，求DEM 与CEN 的周长之和 14. 6 M H G BF E D C A 15.如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、AB 上两点，且 BE=BF，过点 B 作 AE 的垂线交 AC 于点 G，过点 G 作 CF 的垂线交 BC 于点 H，延长线段 AE、GH 交于点 M. （1）求证：BFC=BEA； （2）求证：AM=BG+GM. 16.某数学活动小组在作三角形的拓展图
12、形，研究其性质时，经历了如下过程： （1）如图 1 所示，在等腰ABC 中，ABAC，分别以 AB、AC 为斜边，向ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图 1 所示， 其中 DFAB 于点 F，EGAC 于点 G，M 是 BC 的中点，连结 MD 和 ME， 求证： AFAG 2 1 AB；MDME； （2）在任意ABC 中，分别以 AB、AC 为斜边，向ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图 2 所示，M 是 BC 的中点，连结 MD 和 ME，试判断MDE 的形状（直接写答案，不需要写过程） （3）在任意ABC 中，仍分别以 AB、AC 为斜边，向ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图 3 所示
13、，M 是 BC 的中点，连 结 MD 和 ME，则 MD 与 ME 有怎样的数量关系？ 7 A E O C B 17. 18. 19.如图，在等腰 RtABC 中，O 为斜边 AC 的中点，连接 BO，以 AB 为斜边向三角形内部作 RtABE, 且AEB=90，连接 EO. 求证： （1）OAE=OBE;（2）AE=BE+2OE. 2o.如图，已知，BAC90 ，ABAC，BD 是ABC 的平分线，且 CEBD 交 BD 延长线于点 E。 （1） ，若 AD1，求 DC； （2）求证：BD2CE 8 21.如图所示，ABC中，ABAC=,BAC=90 , ADBC，DEAC，CDE沿直线BC
14、翻折到CDF， 连结AF交BE、DE、DC分别于点G、H、I. （1）求证：AFBE； （2）求证：3ADDI=. 22.已知平行四边形 ABCD 中，G 为 BC 中点，点 E 在 AD 边上，且21= (1)求证：E 是 AD 中点； (2)若 F 为 CD 延长线上一点，连接 BF，且满足23=，求证：CD=BF+DF 23. I H G F E D BC A 9 24.如图 1，ABC中，BEAC于点E，ADBC于点D，连接DE. （1）若ABBC=，1DE =，3BE =，求ABC的周长； （2）如图 2，若ABBC=，ADBD=，ADB的角平分线DF交BE于点F，求证：2BFDE=
15、； （3）如图 3，若ABBC，ADBD=，将ADC沿着AC翻折得到AGC，连接DG、EG，请猜想线段AE、 BE、DG之间的数量关系，并证明你的结论。 25.我们知道平行四边形有很多性质。现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折。会发现这其 中还有更多的结论，如图，已知平行四边形 ABCD 中，B30 ， ABBC，将ABC 沿 AC 翻折至ABC，连接B D 。 【发现与证明】：如图 1：求证：AGC 是等腰三角形； BDAC （只选一个证明哟，4 分） 【应用与解答】：如图 2：如果 AB2 3，BC1， AB 与 CD 相交于点 E，求AEC 的面积 【拓展与探索】如果 AB2 3，当 BC 的长为多少时，ABD 是直角三角形？（4 分） 10 26.在菱形 ABCD 和正三角形 BGF 中，ABC=60 ，P 是 DF 的中点，连接 PG、PC （1）如图 1，当点 G 在 BC 边上时，若 AB=10，BF=4，求 PG 的长； （2）如
